Grundkompetenzen AHS

Grundkompetenzen AHS

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

Algebra und Geometrie

Grundbegriffe der Algebra

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
AG 1.1	Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können	Theorie	Beispiele
AG 1.2	Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können.

(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
AG 2.1	einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
AG 2.2	lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
AG 2.3	quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können	Theorie	Beispiele
AG 2.4	lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können	Theorie	Beispiele
AG 2.5	lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden.

Vektoren

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
AG 3.1	Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
AG 3.2	Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können	Theorie	Beispiele
AG 3.3	Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können	Theorie	Beispiele
AG 3.4	Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können	Theorie	Beispiele
AG 3.5	Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können.

Trigonometrie

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
AG 4.1	Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können	Theorie	Beispiele
AG 4.2	Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.

Funktionale Abhängigkeiten

Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
FA 1.1	für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann	Theorie	Beispiele
FA 1.2	Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können	Theorie	Beispiele
FA 1.3	zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können	Theorie	Beispiele
FA 1.4	aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
FA 1.5	Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen	Theorie	Beispiele
FA 1.6	Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können	Theorie	Beispiele
FA 1.7	Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können	Theorie	Beispiele
FA 1.8	durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können	Theorie	Beispiele
FA 1.9	einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ). Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten. Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.

Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
FA 2.1	verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können	Theorie	Beispiele
FA 2.2	aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
FA 2.3	die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können	Theorie	Beispiele
FA 2.4	charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$	Theorie	Beispiele
FA 2.5	die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können	Theorie	Beispiele
FA 2.6	direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.

Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
FA 3.1	verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können	Theorie	Beispiele
FA 3.2	aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
FA 3.3	die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
FA 3.4	indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.

Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
FA 4.1	typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen	Theorie	Beispiele
FA 4.2	zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können	Theorie	Beispiele
FA 4.3	aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können	Theorie	Beispiele
FA 4.4	den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.

Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
FA 5.1	verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können	Theorie	Beispiele
FA 5.2	aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
FA 5.3	die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können	Theorie	Beispiele
FA 5.4	charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
FA 5.5	die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
FA 5.6	die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.

Sinusfunktion, Cosinusfunktion

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
FA 6.1	grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können	Theorie	Beispiele
FA 6.2	aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
FA 6.3	die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
FA 6.4	Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele
FA 6.5	wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$	Theorie	Beispiele
FA 6.6	wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.

Analysis

Änderungsmaße

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
AN 1.1.	absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können	Theorie	Beispiele
AN 1.2.	den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können	Theorie	Beispiele
AN 1.3.	den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können	Theorie	Beispiele
AN 1.4.	das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.

Regeln für das Differenzieren

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
AN 2.1.	einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten)	Theorie	Beispiele

Ableitungsfunktion/Stammfunktion

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
AN 3.1.	den Begriff Ableitungsfunktion/Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können	Theorie	Beispiele
AN 3.2.	den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können	Theorie	Beispiele
AN 3.3.	Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Der Begriff der Ableitung(sfunktion) soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.

Summation und Integral

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
AN 4.1.	den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können	Theorie	Beispiele
AN 4.2.	einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können	Theorie	Beispiele
AN 4.3.	das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.

Wahrscheinlichkeit und Statistik

Beschreibende Statistik

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
WS 1.1	Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)

WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $	Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können	Theorie	Beispiele
WS 1.3	statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können	Theorie	Beispiele
WS 1.4	Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
WS 2.1	Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können	Theorie	Beispiele
WS 2.2	relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können	Theorie	Beispiele
WS 2.3	Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können	Theorie	Beispiele
WS 2.4	Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
WS 3.1	die Begriffe Zufallsvariable, (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung, Erwartungswert und Standardabweichung verständig deuten und einsetzen können	Theorie	Beispiele
WS 3.2	Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen	Theorie	Beispiele
WS 3.3	Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann	Theorie	Beispiele
WS 3.4	Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können	Theorie	Beispiele

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.

Schließende/Beurteilende Statistik

Inhalt$\ \ \ $	Kompetenz	Theorie	Beispiele
WS 4.1	Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können	Theorie	Beispiele