Formeln

Formeln

Was ist eine Formel?

Eine mathematische Formel ist eine Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Größen herstellt.

Beispiel: Die Flächenformel für das rechtwinklige Dreieck lautet $$ A=\frac{a\cdot b}{2}$$ und stellt einen Zusammenhang zwischen der Dreiecksfläche $A$ und den beiden Katheten $a$ und $b$ dar.

Beispiele für Formeln:

• Satz des Pythagoras: $a^2+b^2=c^2$
• Große Lösungsformel: $x_{1,2} =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$
• 1. Binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Umformen von Formeln

Oft ist es wichtig, eine Formel umzuformen, um eine Variable freizustellen. Um die Formel umzuformen, verwendet man Äquivalenzumformungen.

Wichtig ist dabei immer folgendes:

$\hspace{0.3em}$ Merke:

Wenn die freizustellende Variable in einem Nenner steht, immer zuerst den Bruch auflösen (z. B. mit dem Nenner multiplizieren) Anschließend immer zuerst die Terme auf die andere Seite bringen, die von der freizustellenden Variablen am weitesten entfernt sind.

Musterbeispiel:

Gegeben ist die Flächenformel des Trapezes: $$ A=\frac{a+c}{2}\cdot h $$

a) Stelle $h$ frei.
b) Stelle $a$ frei.

Lösung für a)

$$ A=\frac{a+c}{2}\cdot h \ \ \ |\cdot 2$$ $$ 2\cdot A=(a+c)\cdot h\ \ \ |:(a+c) \ \ \textrm{Achtung: Klammer nicht vergessen!}$$ $$ \underline{\underline{\frac{2\cdot A}{a+c}=h}}$$

Lösung für b)

$$A=\frac{a+c}{2}\cdot h \ \ \ |:h$$ $$\frac{A}{h}=\frac{a+c}{2}\ \ \ |\cdot 2$$ $$\frac{2\cdot A}{h}=a+c \ \ \ |-c$$ $$\underline{\underline{\frac{2\cdot A}{h}-c=a}}$$

Hinweis 1: Bei dieser Aufgabe hätte man auch zuerst mit $2$ multiplizieren und erst nachher durch $h$ dividieren können (oder beides gleichzeitig) - das Ergebnis wäre dasselbe.

Hinweis 2: Wer will, kann in der letzten Zeile $c$ auch in den Zähler „heben“ und erhält: $$\frac{2\cdot A-c\cdot h}{h}=a$$

Matura-Aufgaben

• $Bifie$: Regenrinne (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Funktionen.

• $Bifie$: Hochbeet (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Lineare Funktionen

• * $Bifie$: Autorennspiel (Bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für c) Wahrscheinlichkeitsrechnung

• $Bifie$: Milchverpackung (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für b) Trigonometrie und für c) Binomialverteilung

• $Bifie$: Torten (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Gleichungssysteme sowie Funktionen und für d) Binomialverteilung