Schnittpunkt zweier Funktionen
Inhaltsverzeichnis
Bedeutung von Schnittpunkten
Die Berechnung von Schnittpunkten ist sehr wichtig, da die Schnittpunkte oft eine besondere Bedeutung in Sachkontexten haben:
- Die Schnittpunkte zweier Geschwindigkeitsgraphen geben z.B. an, wann die Geschwindigkeiten gleich groß sind.
- Schneidet man eine Kostenfunktion mit einer Erlösfunktion, so geben die Schnittpunkte an, wann Kosten und Erlös gleich groß sind.
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Die Interpretation von Schnittpunkten im Sachkontext ist deshalb sehr wichtig. Überlege dir hierzu immer, was die Funktionsgraphen "aussagen" und was die "Gleichheit" der beiden Graphen aussagt.
Berechnung von Schnittpunkten
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Der Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen ist jener Punkt, an dem beide Funktionen den gleichen $x$-Wert und den gleichen $y$-Wert haben.
Der Schnittpunkt kann berechnet werden, indem man die Funktionen gleichsetzt: $$f(x)=g(x)$$ Die entstandene Gleichung wird nach $x$ aufgelöst. Man erhält den $x$-Wert des Schnittpunktes. Für den $y$-Wert des Schnittpunktes muss jetzt der $x$-Wert in eine der Funktionsgleichungen eingesetzt werden. (Es ist egal, in welche der beiden Funktionen, da der $y$-Wert im Schnittpunkt bei beiden derselbe ist.)
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Die Anzahl der Schnittpunkte zweier Funktionen reicht von 0 (z.B. bei zwei parallelen und verschiedenen Geraden) bis $\infty$ (z.B. bei zwei identen Geraden).
Übungsbeispiele
$f(x)=2x+1$ und $g(x)=x−1$. Ermitteln Sie den Schnittpunkt der beiden Funktionen.
1. Schritt: Funktionen gleichsetzen: $$f(x)=g(x)$$ $$2x+1=x−1$$
2. Schritt: Gleichung nach $x$ auflösen (siehe Äquivalenzumformungen):
$$2x+1=x−1$$ $$2x=x−2$$ $$x=−2$$
Die $x$-Koordinate des Schnittpunktes lautet $x=-2$.
3. Schritt: $y$-Koordinate durch Einsetzen der $x$-Koordinate berechnen:
$$f(-2)=2\cdot (-2)+1$$
$$y=-3$$
Schnittpunkt: $(-2\vert-3)$
