Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen
- Einleitung
- Lösungsmenge einer linearen Ungleichung
- Ungleichungssysteme
- Interaktive Übungen
- Weitere Aufgaben
- Weiterführende Themen
Lineare Ungleichungen setzen sich aus zwei Termen zusammen, die durch eines der vier Ungleichheitszeichen $\leq, <, \geq, >$ verbunden sind.
Beispiele: $$y\leq 2x+3$$ oder $$2x-y>3$$
Lösungsmenge einer linearen Ungleichung
Die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung wird als sogenannte „Halbebene“ im Koordinatensystem eingezeichnet.
Gib die Lösungsmenge der Ungleichung $2x-y\geq -1$ graphisch in einem Koordinatensystem an.
1. Zuerst stellen wir $y$ in der Ungleichung frei:
$$2x-y\geq -1 \ \ \vert -2x$$
$$-y\geq -2x-1 \ \ \vert \cdot (-1)$$
- Achtung: Bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen ändert sich das Ungleichheitszeichen! (siehe Ungleichung)
$$y\leq 2x+1$$
2. Nun zeichnen wir zuerst die Gerade für $y=2x+1$ (siehe lineare Funktionen)
3. Wir wissen, dass die Lösungsmenge eine der Halbebenen oberhalb oder unterhalb der Geraden ist. Diese zwei Fälle sind möglich:
Um herauszufinden, welche dieser Halbebenen die richtige ist, gibt es nun $2$ Möglichkeiten:
a) Einsetzen eines beliebigen Punktes auf einer der Halbebenen in die Ungleichung
Hierzu nehmen wir einen beliebigen Punkt (z. B. $(0,0)$ oder $(1,4)$) und überprüfen, ob dieser Punkt die Ungleichung $y\geq 2x+1$ erfüllt. Dies geschieht, indem wir ihn in die Ungleichung einsetzen.
Erhalten wir eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der entsprechenden Halbebene. Erhalten wir eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht auf der Halbebene, womit die Lösungsmenge die Halbebene gegenüber vom Punkt sein muss.
| Einsetzen von $(0,0)$ in $y\leq 2x+1$ ein | Einsetzen von $(1,4)$ in $y\leq 2x+1$ ein |
|---|---|
| $$y\leq 2x+1$$
$$0 \leq 2\cdot 0+1$$ $$0\leq 0+1$$ $$ 0\leq 1\ \textrm{wahre Aussage}$$ Somit liegt der Punkt $(0,0)$ in der Halbebene. Dadurch wissen wir, dass die untere Halbebene die Lösungsmenge sein muss. |
$$y\leq 2x+1$$
$$4 \leq 2\cdot 1+1$$ $$4\leq 2+1$$ $$ 4\leq 3\ \textrm{falsche Aussage}$$ Somit liegt der Punkt $(1,4)$ NICHT in der Halbebene. Dadurch wissen wir, dass die untere Halbebene die Lösungsmenge sein muss. |
Hinweis:
- Selbstverständlich reicht es, nur einen Punkt in die Ungleichung einzusetzen.
- Achte darauf, dass der eingesetzte Punkt nicht auf der Geraden liegt! Er sollte immer eindeutig in einer der beiden Halbebenen liegen.
b) Richtiges Deuten des Ungleichheitszeichens
Anstelle des Einsetzens eines Punktes, können wir auch durch richtiges Deuten des Ungleichheitszeichens die entsprechende Halbebene herausfinden:
Die Ungleichung $y\leq 2x+1$ bedeutet, dass die $y$-Koordinate (= vertikale Koordinate) immer kleiner oder gleich dem Wert $2x+1$ sein muss. Somit muss die $y$-Koordinate immer unterhalb der Geraden sein. Demzufolge muss die gesuchte Halbebene unterhalb der Geraden sein.
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Methode zum Skizzieren der Lösungsmenge: 1. Schritt: Forme die Ungleichungen zuerst nach $y$ um. Beachte dabei, dass sich die Richtung des Ungleichheitszeichens bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen ändert.
2. Schritt: Zeichne nun zuerst die Gerade der linearen Funktion in das Koordinatensystem. Beachte dabei, dass
Alternativ kannst du auch einen Punkt des Koordinatensystems in die Ungleichung einsetzen und überprüfen, ob dieser auf der Halbebene liegt. |
Gib die Lösungsmengen der folgenden $3$ Ungleichungen graphisch an. Zeichne dabei die Lösung jeder Ungleichung in ein separates Koordinatensystem:
a) $\quad y\geq 0$
b) $\quad 3x+2y\leq 50$
c) $\quad x<15$
d) $\quad y<10$
Von den angeführten Beispielen muss nur b) $3x+2y\leq 50$ umgeformt werden:
a) $\quad y\geq 0$
b) $\quad 3x+2y\leq 50 \rightarrow 2y\leq -3x+50 \rightarrow$ $y\leq -\frac{3}{2}x+25$
c) $\quad x<15$
d) $\quad y<10$
2. Schritt: Zeichnen der Geraden
a) Die Gerade $y=0$ ist waagrecht und schneidet die $y$-Achse bei $0$.
b) Die Gerade $y=-\frac{3}{2}x+25$ wird mithilfe des Steigungsdreieckes eingezeichnet.
c) $x=15$ ist eine senkrechte Gerade, die bei $15$ die $x$-Achse schneidet.
d) Die Gerade $y=10$ ist parallel zur $x$-Achse und schneidet bei $10$ die $y$-Achse.
3. Schritt: Ermitteln der entsprechenden Halbebene durch Einsetzen eines Punktes (der Punkt $(1,1)$ eignet sich hier für alle Ungleichungen) oder durch Beachten des Ungleichheitszeichens:
a) Aufgrund des $\geq$ ist die obere Halbebene der Lösungsbereich.
b) Aufgrund des $\leq$ ist die untere Halbebene die gesuchte Lösungsmenge.
c) Aufgrund des $<$ ist die linke Halbebene die Lösungsmenge. Zusätzlich muss die Gerade gestrichelt gezeichnet werden!
d) Aufgrund des $<$ ist die untere Halbebene die Lösungsmenge. Zusätzlich muss die Gerade gestrichelt gezeichnet werden!
Weitere Aufgaben
Ungleichungssysteme
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Ein Ungleichungssystem besteht aus mehreren Ungleichungen.
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Gib die Lösungsmenge des folgenden Ungleichungssystems graphisch an:
$$I:\ y\geq 0$$
$$II:\ 3x+2y\leq 50 $$
$$III: x<15$$
Anschließend markieren wir jenen Bereich, der von allen Ungleichungen überlappt wird.
Das folgende Applet zeigt dir diese $2$ Schritte:
Antwort: Der Lösungsbereich ist somit jene unendlich große Fläche, der von allen $3$ Ungleichungen begrenzt wird.
Zusammenfassung
Textaufgaben, die zu Ungleichungssystemen führen
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Ungleichungssysteme können auch in Form von Textaufgaben vorliegen. Um eine solche Aufgabe zu lösen, geht man wie folgt vor:
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Raimund stellt mithilfe von Äpfeln und Trauben zwei Sorten von Fruchtsäften her.
- Für einen Liter der Sorte „Fruchtgenuss“ braucht er $2 kg$ Äpfel und $1 kg$ Trauben.
- Für einen Liter der Sorte „Happy fruits“ braucht er je ein $kg$ Äpfel und Trauben.
- Insgesamt hat Raimund $5 kg$ Äpfel und $3 kg$ Trauben.
a) $\ $ Raimund will wissen, wie viele Liter jeder Sorte er herstellen kann. Stelle dazu das zugehörige Ungleichungssystem auf.
b) $\ $ Ermittle graphisch jenen Bereich, der Raimunds mögliche Produktionsmengen angibt.
c) $\ $ Begründe, ob es für Raimund möglich ist, einen Liter „Fruchtgenuss“ und $2.5$ Liter „Happy fruits“ zu produzieren?
d) $\ $ Gib zwei mögliche Produktionsmengen für die beiden Sorten an.
a) Raimund will wissen, wie viele Liter jeder Sorte er herstellen kann. Stelle dazu alle zugehörigen Ungleichungen auf.
Zuerst definieren wir die Unbekannten $x$ und $y$. Da wir wissen wollen, wie viele Liter er von jeder Sorte herstellen kann, ist
$x$... Anzahl der Liter Fruchtgenuss
$y$... Anzahl der Liter Happy fruits
Nun stellen wir die zugehörigen Ungleichungen auf. Eine mögliche Hilfe kann das Erstellen einer Tabelle sein:
| $\ $ | $$x \; \textrm{Fruchtgenuss}$$ | $$y \; \textrm{Happy fruits}$$ | Maximum |
|---|---|---|---|
| Äpfel in $kg$ | $$2$$ | $$1$$ | $$\leq 5$$ |
| Trauben in $kg$ | $$1$$ | $$1$$ | $$\leq 3$$ |
Daraus lassen sich nun einfach die Ungleichungen herauslesen:
Zeile Äpfel: $2x+1y\leq 5$
Zeile Trauben: $1x+1y\leq 3$
Selbstverständlich gilt auch, dass $x$ und $y$ nur positiv sein dürfen, da wir ja nicht negative Liter herstellen können, somit erhalten wir das folgende Ungleichungssystem:
$$I: x\geq 0$$
$$II: y\geq 0$$
$$III: 2x+y\leq 5$$
$$IV: x+y\leq 3$$
b) Ermittle graphisch jenen Bereich, der Raimunds mögliche Produktionsmengen angibt.
Hierzu formen wir zuerst alle Ungleichungen auf $y$ um.
$$I: x\geq 0$$ $$II: y\geq 0$$ $$III: 2x+y\leq 5\ \ \rightarrow y\leq -2x+5$$ $$IV: x+y\leq 3\ \ \ \rightarrow y\leq -x+3$$
Dann zeichnen wir die Geraden ein und markieren jenen Bereich, der auf allen $4$ Halbebenen liegt und erhalten:
Der rot markierte Bereich gibt uns nun alle möglichen Produktionsmengen an.
c) Begründe, ob es für Raimund möglich ist, einen Liter „Fruchtgenuss“ und $2.5$ Liter „Happy fruits“ zu produzieren?
Antwort: Es ist nicht möglich $x=1$ Liter „Fruchtgenuss“ und $y=2.5$ Liter „Happy fruits“ zu produzieren, da der Punkt $(1,2.5)$ nicht in der Lösungsmenge liegt.
Hinweis: Eine alternative Argumentation wäre gewesen, dass wir nicht genug Trauben zur Verfügung haben. Raimund bräuchte hier nämlich insgesamt $3.5 kg$ Trauben.
d) Gib zwei mögliche Produktionsmengen für die beiden Sorten an.
Alle Punkte die im oder am Rand des Planungsfeldes liegen sind passende Lösungen.
Z. B.:
- Punkt $(1,1)$: Ein Liter „Fruchtgenuss“ und ein Liter „Happy fruits“.
- Punkt $(2,1)$: Ein Liter „Fruchtgenuss“ und ein Liter „Happy fruits“.
Quiz: Lineare Ungleichungen (AG 2.4)
