Funktionen in mehreren Unbekannten

Funktionen in mehreren Unbekannten

Funktionen in mehreren Variablen

In der Schule treten meistens Funktionen auf, die nur von einer unabhängigen Variablen abhängen. Wie wir in Abschnitt Funktionen gesehen haben, ist eine Funktion eine eindeutige Zuordnung, die jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zuordnet. Die Elemente der Definitions- und Wertemenge sind üblicherweise reelle Zahlen.

Betrachtet man jedoch Formeln, die auch als Funktionen interpretiert werden können, treten oft mehrere Variablen auf. Unter anderem deshalb ist es notwendig, den Funktionsbegriff für Funktionen mit zwei und mehr (unabhängigen) Variablen zu erweitern. Die Elemente der Definitionsmenge sind dann Zahlenpaare, Zahlentripel oder allgemein $n$-Tupel, die Wertemenge hingegen bleibt $1$-dimensional ($\mathbb{R}$).

Beispiel 1:
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist von den beiden Seitenlängen $x$ und $y$ abhängig:
\begin{align} A(x,y)=x\cdot y \end{align} $x$ und $y$ sind Elemente der Definitionsmenge. Das Ergebnis von $x \cdot y$ ist ein Wert in der Wertemenge. $A$ ist die Funktion, die den beiden Seitenlängen $x$ und $y$ den Flächeninhalt des Rechteckes zuordnet.

Beispiel 2:
Das Volumen eines Zylinders ist vom Radius $r$ und der Höhe $h$ abhängig: \begin{align} V(r,h)=r^2\cdot \pi \cdot h \end{align}

Beispiel 3:
Das Volumen eines Quaders ist von den Seitenlängen $a,b$ und $c$ abhängig: \begin{align} V(a,b,c)=a\cdot b\cdot c \end{align} Für Funktionen mit zwei (unabhängigen) Variablen (wie im Beispiel 1 und 2) erhalten wir die einfachste Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs:

Definition

Sei $D$ eine Menge von reellen Zahlenpaaren $(x,y)$. Wird jedem Zahlenpaar $(x,y)\in D$ genau eine reelle Zahl $z$ durch eine bestimmte Funktionsvorschrift $f$ mit $z=f(x,y)$ zugeordnet, dann heißt $f$ eine reelle Funktion von den beiden Variablen $x$ und $y$: \begin{align} f:D\rightarrow \mathbb{R} \text{ mit } D\subseteq \mathbb{R}^2 \\ (x,y)\mapsto z=f(x,y) \end{align}

Deutet man $x$ und $y$ als Koordinaten der $xy$-Ebene, dann stellt jedes Paar $(x,y)$ einen Punkt in dieser Ebene dar. Aufgrund der Funktionsgleichung $z=f(x,y)$ ist jedem Punkt $(x,y)$ genau ein Wert $z$ zugeordnet. Fasst man $z$ als dritte Koordinate im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ auf, so erhält man als Funktionsgraphen eine Fläche im Raum.

Graphen von Funktionen von mehr als zwei Variablen können nicht mehr geschlossen gezeichnet werden, sprich eine geometrische Interpretation ist nicht mehr möglich.

Funktionen beschreiben Abhängigkeiten

Funktionen beschreiben Abhängigkeiten zwischen Größen.

Wenn eine Größe wie der Flächeninhalt $A$ eines Kreises von einer anderen Größe wie dem Radius $r$ abhängt, so kann diese Abhängigkeit durch eine Funktion beschrieben werden. Im Beispiel gilt:

\begin{align} A(r)=r^2\cdot \pi \end{align}

Der Flächeninhalt $A$ hängt also vom Radius $r$ ab und variiert mit der Größe des Radius. Um eine solche Abhängigkeit zu kennzeichnen, ist eine eigene Schreibweise eingeführt worden, wir schreiben $A(r)$ (gesprochen „$A$ von $r$“). Die Zahl $\pi$ hingegen ist eine „feste“ Zahl und somit eine Konstante.

Die Masse eines Drehzylinders in Abhängigkeit von seinen Abmessungen $r$ und $h$ und seiner Dichte $\rho$ kann durch die Funktion $M$ mit $M(r,g,\rho)=\pi \cdot r^2\cdot h\cdot \rho$ beschrieben werden.

Ein aus Fichtenholz geschnitzter Drehzylinder hat den Durchmesser $d = 8 cm$ und die Höhe $h = 6 dm$. Die Dichte von Fichtenholz beträgt ca. $0,5 g/cm^3$. Geben Sie die Masse des in der Angabe beschriebenen Drehzylinders in Kilogramm an.

Lösung: Zunächst muss die Höhe $h$ ebenfalls in Zentimeter umgerechnet werden: $h =6 dm = 60 cm$

Den Radius $r$ erhält man durch Halbieren des Durchmessers: $r=d/2=8 cm/2=4 cm$

Anschließend können $r,h$ und $\rho$ in die Funktionsgleichung eingesetzt werden: \begin{align} M(r,h,\rho)=\pi \cdot (4 cm)^2\cdot 60 cm\cdot 0,5 g/cm^3\approx 1508 g\approx 1,5 kg \end{align}

Abhängigkeiten spielen u. a. bei der Ermittlung des jeweiligen Funktionstyps oder dem Nachweis von Proportionalitäten eine entscheidende Rolle.

So handelt es sich bei der Funktion $V$ mit $V(r)=r^2\cdot \pi \cdot h$ (d. h. $r$ ist hier die Variable) um eine quadratische Funktion, da $V$ nur von $r$ abhängig ist, während die Zahlen $\pi$ und $h$ als konstant anzusehen sind.
Ändert man jedoch die Abhängigkeit der Funktion $V$ zu $V(h)=r^2 \pi h$, so sind $\pi$ und $r$ als konstante Größen anzunehmen. Infolgedessen handelt es sich um einen linearen Funktionstypen.

Betrachtet man erneut obige Funktion $V$ mit $V(h)=r^2 \pi h$ unter der Annahme, dass $r$ als konstant angenommen wird, so erkennt man sofort: Vergrößert man $h$, so vergrößert sich auch $V$. Genauer gesagt liegt eine direkte Proportionalität vor: Verdoppelt man $h$, so verdoppelt sich auch $V$.

Für $V(r)=r^2 \pi h$ ist die Zuordnung $r\rightarrow V$ unter der Annahme, dass $h$ als konstant angenommen wird, allerdings direkt proportional zum Quadrat von $r$: Verdoppelt man $r$, so vervierfacht sich $V$.

Das Volumen eines Zylinders kann durch eine Funktion $V$ in Abhängigkeit vom Radius $r$ und von der Höhe $h$ folgendermaßen angegeben werden:
$$V(r,h)= r^2 \cdot \pi \cdot h$$ Wie verändert sich das Volumen, wenn der Radius bei konstanter Höhe verdoppelt wird?

Lösungsansatz mit Zahlen:

Wählt man beispielsweise für $r=1 cm$ und für $h=3 cm$, so erhält man für das Volumen des Zylinders $V=1^2\cdot \pi \cdot 3 cm^3=3 \pi cm^3$.
Verdoppelt man nun den Radius zu $r=2 cm$ und lässt die Höhe $h$ unverändert, so ergibt sich für $V=2^2 \cdot \pi \cdot 3 cm^3=12 \pi cm^3$.
Das Volumen hat sich bei Verdoppelung des Radius somit vervierfacht.

Allgemeiner Lösungsansatz:
$$V(r)= r^2 \cdot \pi \cdot h$$ $$V(\boldsymbol{2r})=(2r)^2 \cdot \pi \cdot h= \boldsymbol{4} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h$$

Das neue Volumen $V(2r)$ unterscheidet sich nun um den Faktor $4$ vom ursprünglichen Volumen $V(r)$. Damit wurde allgemein gezeigt, dass sich beim Verdoppeln des Radius das Volumen des Zylinders vervierfacht.

Beispielaufgaben und Interaktive Übungen

Beispielaufgaben

Jeder bewegte Körper besitzt kinetische Energie $E_{kin}$ (Bewegungsenergie). Sie ist von der Masse $m$ und der Geschwindigkeit $v$ des bewegten Körpers abhängig und berechnet sich durch die Formel $E_{kin}=\frac{1}{2} \cdot m v^2$.

Kreuzen Sie die beiden richtigen Aussagen an, wenn die jeweils nicht verwendete Variable als konstant angenommen wird.

Die 1. Aussage und die 4. Aussage sind korrekt.

Aussage	richtig
$E_{kin}(m)$ ist eine lineare Funktion.	$\quad \square$
$v(m)$ ist eine lineare Funktion.	$\quad \square$
$E_{kin}(m)$ ist eine quadratische Funktion.	$\quad \square$
$E_{kin}(v)$ist eine quadratische Funktion.	$\quad \square$
$m(v)$ ist eine quadratische Funktion.	$\quad \square$

Gegeben ist die Formel $r=\frac{2s^2 t}{u}$ für $s,t,u>0$.
Wenn $u$ und $s$ konstant sind, dann kann $r$ als eine Funktion in Abhängigkeit von $t$ betrachtet werden. Welchem Funktionstyp ist dann $r$ zuzuordnen?

Kreuzen Sie den zutreffenden Funktionstyp an.

Die 1. Aussage ist korrekt.

Aussage	richtig
Lineare Funktion	$\quad \square$
Konstante Funktion	$\quad \square$
Quadratische Funktion	$\quad \square$
Wurzelfunktion	$\quad \square$
Gebrochen rationale Funktion	$\quad \square$
Exponentialfunktion	$\quad \square$

Das Volumen eines Drehkegels kann durch eine Funktion $V$ in Abhängigkeit vom Radius $r$ und von der Höhe $h$ folgendermaßen angegeben werden: $$V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h$$ Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht. Das Volumen $V(r,h)$ bleibt unverändert, wenn der Radius $r$ $\underline{\quad 1 \quad}$ wird und die Höhe $h$ $\underline{\quad 2 \quad}$ wird.

Die Zuordnung $r\rightarrow V$ ist quadratisch, während zwischen $h$ und $V$ ein direkt proportionaler Zusammenhang besteht.

Angenommen $r$ wird verdoppelt, so würde sich $V$ aufgrund der quadratischen Zuordnung vervierfachen. Damit das Volumen $V$ unverändert bliebe, müsste $h$ infolge der direkten Proportionalität geviertelt werden. Diese Lösung ist allerdings nicht vorhanden.

Angenommen $r$ wird vervierfacht, so würde $V$ auf das Sechzehnfache anwachsen. Demzufolge bliebe $V$ nur dann unverändert, wenn $h$ „gesechzehntelt“ wird. Auch diese Lösung ist nicht vorhanden.

Bleibt nur noch der Fall, wenn $r$ halbiert wird. Dann sinkt $V$ auf ein Viertel seines ursprünglichen Werts. Somit muss $h$ vervierfacht werden, damit das Volumen $V$ unverändert bleibt.

$\underline{\quad 1 \quad}$
verdoppelt $\qquad$	$\ \square$
halbiert $\qquad$	$\ \square$
vervierfacht $\qquad$	$\ \square$

$\underline{\quad 2 \quad}$
verdoppelt $\qquad$	$\ \square$
halbiert $\qquad$	$\ \square$
vervierfacht $\qquad$	$\ \square$