Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient

Definition

Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, bei $n$ Versuchen $k$ Treffer zu erhalten. $\binom{n}{k}$ wird ausgesprochen als „n über k“

Zum Beispiel ist der Wert des Binomialkoeffizienten $\binom{5}{2}=10$, da es bei $5$ Versuchen insgesamt $10$ Möglichkeiten gibt, zweimal erfolgreich zu sein. Dies wären die folgenden Varianten ($E...$ Erfolg, $x...$ kein Erfolg):

1. $(E,E,x,x,x)$
2. $(E,x,E,x,x)$
3. $(E,x,x,E,x)$
4. $(E,x,x,x,E)$
5. $(x,E,E,x,x)$
6. $(x,E,x,E,x)$
7. $(x,E,x,x,E)$
8. $(x,x,E,E,x)$
9. $(x,x,E,x,E)$
10. $(x,x,x,E,E)$

Im Folgenden siehst du die Berechnung mittels Technologieeinsatz und die händische Berechnung samt der Herleitung des Koeffizienten:

Berechnung mittels Technologie

• GeoGebra: Im CAS-Fenster oder in der Eingabe gibt es den Befehl $BinomialKoeffizient[n,k]$. Z. B.:

$$\binom{5}{2}=Binomialkoeffizient[5,2] \textrm{ und liefert die Zahl } 10$$

• TI-8x-Befehl: Unter $[MATH]\rightarrow PRB$ gibt es den Befehl $nCr$. Z. B.:

$$\binom{5}{2}=5\ [nCr]\ 2 \textrm{ und liefert die Zahl } 10$$

Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens

Schau dir folgendes Video eines sogenannten Galtonbretts an:

Die Kugeln fallen bei jedem Hölzchen entweder nach links oder nach rechts. Interessant dabei ist, dass alle Kugeln, die am Ende im selben Behälter landen, gleich oft nach links und nach rechts gefallen sind. Z. B.:

• Alle Kugeln, die im Behälter ganz links landen, sind bei jedem Hölzchen nach links gefallen (da es sehr unwahrscheinlich ist, immer nach links zu fallen, befinden sich hier auch keine Kugeln).
• Alle Kugeln, die in den 2. Behälter von links fallen, müssen einmal nach rechts fallen und sonst immer nach links.
• Alle Kugeln, die in den 3. Behälter von links fallen, müssen zweimal nach rechts fallen und sonst immer nach links.
• ...

Es stellt sich nun die Frage, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, bei insgesamt $n$ Hölzchen (= Möglichkeiten nach links oder rechts zu fallen) insgesamt $k$-mal nach links und $(n-k)$-mal nach rechts zu fallen.

Die Antwort ist $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$ wobei

• $n!$ heißt „$n$-Faktorielle“ oder „$n$-Fakultät“ und bedeutet: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$ (alle Zahlen von $1$ bis $n$ multipliziert).
• $\binom{n}{k}$ ist der sogenannte Binomialkoeffizient und gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, bei $n$ Fällen insgesamt $k$-mal nach links und $(n-k)$-mal nach rechts zu gehen.

Begründung für diese Formel:

1. Begründung für $n!$:
Nehmen wir an, wir haben $4$ Personen und insgesamt $4$ Plätze, auf die wir sie setzen können. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Personen zu reihen? Erklärung: Betrachte zuerst das folgende Video (ab Minute 18:22).

Antwort: Es gibt $$4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$$ Möglichkeiten $4$ Personen auf $4$ Plätze zu setzen. (für den ersten Platz gibt es $4$ Möglichkeiten, für den zweiten Platz noch $3$, für den dritten Platz noch $2$, und für den letzten Platz noch $1$).

2. Begründung für $\frac{n!}{(n-k)!}$:
Nehmen wir nun an, wir haben $9$ Personen, aber immer noch $4$ Plätze. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, aus den $9$ Personen $4$ zufällig auszuwählen und auf die $4$ Plätze zu setzen? Erklärung: Betrachte zuerst das folgende Video (ab Minute 26:09).

Antwort: Es gibt $$\frac{9!}{(9-4)!}=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6$$ Möglichkeiten $4$ von $9$ Personen auf die Plätze zu setzen.

3. Begründung für $\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$:
Nun überlegen wir uns, wir haben $9$ Personen und $4$ Plätze. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann, die Plätze zu besetzen, wenn uns die Reihenfolge egal ist? Erklärung: Wir wissen bereits, dass es $\frac{9!}{(9-4)!}$ Platzierungsmöglichkeiten gibt. Zwei dieser Möglichkeiten wären die folgenden:

und

Da uns dieses Mal die Reihenfolge egal ist, gehören beide Bilder zum selben Ergebnis. Genauso gehören alle weiteren Vertauschungen von dieser Ziehung zur selben Kombination. Insgesamt können wir diese Kombination auf $4!$-Möglichkeiten vertauschen. Somit erhalten wir als Gesamtformel: $$\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$$ wobei wir mit $\frac{1}{4!}$ alle Variationen, die sich nur in der Reihenfolge unterscheiden, abziehen.

Zusammenfassend heißt das: Insgesamt gibt es $\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$ Möglichkeiten, aus einer Menge von $9$ Personen, $4$ Leute auszuwählen, ohne dabei die Reihenfolge zu beachten.

Eine verkürzte Schreibweise ist nun der sogenannte Binomialkoeffizient $$\binom{9}{4}=\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$$ der angibt, wie viele Möglichkeiten es gibt, $9$ Personen auf $4$ Plätze zu setzen, wenn die Reihenfolge egal ist.

Allgemein: $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus $n$ Elementen $k$ auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge).

Hier noch eine weitere Erklärung mit dem Galton-Brett:

Merke

Der Binomialkoeffizient $$\binom{n}{k} =\frac{n!}{k!\cdot (n−k)!}$$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Objekten insgesamt $k$ auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge).