Exponentialfunktionen

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Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite Wachstums- und Zerfallsprozesse.

Graph der Exponentialfunktion


Definition
Grün rufezeichen.png
Exponentialfunktionen sind Funktionen, deren Funktionsgleichung die Form

$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } a, b \in \mathbb{R}^+$$ oder $$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$


Hinweise

  • In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im Exponenten.
  • Im Term $a^x$ ist $a$ die Basis.
  • $e$ steht für die Eulersche Zahl.
  • $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen.
  • $\lambda$ ist der griechische Buchstabe Lambda.


Graph der Exponentialfunktion

Je nach Größe der Parameter $a$ und $b$ bzw. $\lambda$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$


$b$ gibt den Schnittpunkt mit der $y$-Achse an.

Begründung: Beim Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist die $x$-Koordinate gleich $0$. Die dazugehörige $y$-Koordinate erhält man dann durch: $f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$ (mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)

Exp-fkt.gif


$a$ und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.
Für $a>1$ oder $\lambda>0$

ist der Graph monoton steigend. Je größer $a$ bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph.

Amimation für ag1.gif
Für $0<a<1$ oder $\lambda<0$ ist der Graph monoton fallend und nähert sich immer mehr der $x$-Achse. Amimation für ak1-280.gif



Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion

  • Die $x$-Achse ist eine Asymptote des Graphen. D. h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
  • Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um „denselben Faktor“ vermehrt (wenn $a>1$) oder vermindert (wenn $0<a<1$) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:

$$f(x+1)=f(x)\cdot a\ \ \textrm{ bzw. }\ \ \ \frac{f(x+1)}{f(x)}=a$$

  • Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z. B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z. B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
  • siehe Wachstums- und Zerfallsprozesse


Graph mit $a>1$
Graph mit $0<a<1$



Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man $2$ Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse ist, da so $b$ einfach bestimmt werden kann.

1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach)

Angabe: Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|12)$. Bestimme die Parameter $a$ und $b$.


Lösung:

Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:

x y
0 3
2 12
$\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Da $f$ bei $(0|3)$ die $y$-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$




2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel)

Angabe: Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(1|4)$ und $(2|16)$ bestimme die Parameter $a$ und $b$.


Lösung:

Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:

x y
1 4
2 16
$\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit $2$ Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des Einsetzungsverfahrens lösen: Hierzu stellen wir in $I$ die Unbekannte $a$ frei: $I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$ $\frac{4}{b}$ und setzen dies nun in $II$ ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ $\frac{4}{b}$ $)^2$ $$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$ $$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$ $$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$ $$II: \ b^2=1 $$ $$II: \ b=\pm 1$$ Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$.

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$


Antwort: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$




3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach)

Angabe: Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|27)$. Bestimme die Parameter $\lambda$ und $b$.


Lösung:


1. Punkt $(0|3)$: Da der Graph die $y$-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1).

2. Punkt $(2|27)$: Wir setzen diesen Punkt und $b=3$ nun in die Funktionsgleichung, um $\lambda$ zu erhalten: $$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$ $$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$ Nun wenden wir den Logarithmus an: $$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$ $$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$ $$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$ $$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$ $$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$



Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.



Beispiel zur Bestimmung von Funktionswert und Argument

1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht)

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimme jene Argumente für die gilt

  • a) $f(x)=0.3$
  • b) $f(x)=0$
  • c) $f(x)=-0.5$


Lösung:

Lösung für a)


Graphische Lösung der Aufgabe

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist: $$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$ $$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$ $$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$ $$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$ $$\underline{\underline{x = 4.74}}$$ Alternative Lösungswege:

Lösung für b)

Da die $x$-Achse des Graphen von $f(x)$ eine Asymptote ist, hat $f(x)$ keine Nullstellen und somit gibt es kein $x$ für das gilt $f(x)=0$. Alternativer Lösungsweg:

$$ f(x)=0$$ $$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$ $$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$ $$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$ Da der Logarithmus nur für positive $x$-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$), ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung $\ln(0)$ überprüfen kannst). Somit hat die Gleichung $-0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

Lösung für c)

Auch hier gibt es keine Lösung, da der Wertebereich der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der $x$-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt (siehe Abbildung bei Lösung a) ).


2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht)

Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.

  • a) Bestimme wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
  • b) Berechne, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
  • c) Fertige eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.


Lösung:

Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.

Lösung a) $$f(5)=100\cdot 0.76^5=25.36 $$

Lösung für b) $$f(x)=50\ \ \ \ \textrm{gesucht ist x}$$ $$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$ $$0.76^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$ $$\log 0.76^x= \log 0.5$$ $$x\cdot \log 0.76=\log 0.5$$ $$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.76}$$ $$\underline{\underline{x=2.53}}$$ Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der Logarithmus verwendet.

Lösung c): siehe Abbildung rechts


Quiz: Exponentialfunktionen (FA 5.1-5.6)


Weitere Materialien


Matura-Aufgaben

Siehe auch Logarithmus
Siehe für Aufgabe b) und c) auch Differenzen- und Differentialquotient