Logarithmus
Den Logarithmus brauchen wir, um Gleichungen der Form $a^x=b$ nach x auflösen zu können.
Inhaltsverzeichnis
Der Logarithmus ist der Exponent
Der Logarithmus ist eigentlich nur eine Bezeichnung für den Exponenten (Hochzahl) einer bestimmten Basis a, mit dem eine bestimmte Zahl b berechnet wird:
$$\color{red}{a}^{\color{green}{x}}=\color{blue}{b} $$ dann heißt $$\color{green}{x}=\log_{\color{red}{a}} \color{blue}{b}$$ $$\textrm{ausgesprochen: }"\color{green}{x}\ ist\ der\ Logarithmus\ zur\ \color{red}{Basis\ a}\ \color{blue}{von\ b} "$$
Beispiele
- $2^x=8 \ \rightarrow \ x=\log_2 8 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8") und natürlich gilt $x=3$ da $2^3=8$.
- $5^x=25 \rightarrow \ x=\log_5 25 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 5 von 25") und natürlich gilt $x=2$ da $5^2=25$ ist.
|
Der Logarithmus zur Basis $a$ von der Zahl $b$ ist die Bezeichnung für den Exponenten. D.h.
$$x=\log_a b \Leftrightarrow a^x=b$$ |
Berechnung mithilfe der Potenzregeln
Mithilfe der Potenzregeln und der Äquivalenz $x=log_a b \Leftrightarrow a^x=b$ lassen sich einfache Logarithmen bestimmen:
Beispiele
- $\log_5 125=\log_5 5^3 =3 \ \ \ \ \ \ \ \ $ weil $5^3=125 $
- $\log_2 16 = log_2 2^4 = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ weil $2^4=16 $
- $\log_3 \frac{1}{9}= \log_3 9^{-1}=\log_3 (3^2)^{-1}=\log_3 3^{-2}=-2\ \ \ \ \ \ \ \ $ weil $3^{-2}=\frac{1}{9} $
- $\log_{16} 4 = \log_{16} \sqrt{16}=\log_{16} 16^{\frac{1}{2} }=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ weil $16^{\frac{1}{2} }=4 $
Zwei besondere Basen
Besonders zwei Basen spielen bei der Berechnung mit Technogie eine große Rolle:
$\lg$ - Logarithmus zur Basis 10
Der Logarithmus generalis (kurz $\lg$) ist der Logarithmus zur Basis 10. Im Taschenrechner ist dies die Taste $[LOG]$.$$lg=\log_{10}=[LOG]$$
|
Beispiele:
- $\lg(10)$
- $\lg(1000)=3$
- $\lg(0.01)=-2$
$\ln$ - Logarithmus zur Basis $e$
Der Logarithmus naturalis (=natürlicher Logarithmus, kurz $\ln$) ist der Logarithmus zur Basis $e$, wobei $e=2.718...$ die berühmte Eulersche Zahl ist. Im Taschenrechner findet sich die $[Ln]$-Taste direkt unter der Taste für den Zehnerlogarithmus $[LOG]$. $$\ln=\log_e=Ln$$
|
Beispiele:
- $\ln(e)=1$
- $\ln1000)=6.91$
- $\ln(0.01)=-4.61$
Rechenregeln des Logarithmus
Mithilfe der Rechenregeln für Potenzen kommt man auf die folgenden Regeln für den Logarithmus:
Regel | Formal | Begründung und Beispiel |
---|---|---|
1. "Hoch 1"-Regel | $$\log_a a=1$$ | weil $a^1=a$. Z.B.: $$\ln e=1$$ oder $$\lg 10=1$$ |
2. "Hoch 0"-Regel | $$\log_a 1=0$$ | weil $a^0=1$ für alle $a\neq 0$. Z.B.: $$\ln 1=0$$ |
3. Produktregel | $$\log_a (u\cdot v)=\log_a u+\log_a v$$ | $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ |
4. Quotientenregel | $$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a u-\log_a v$$ | $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ |
5. Exponentenregel | $$\log_a u^r = r\cdot \log_a u$$ | $\left(a^x\right)^r=a^{r\cdot x}$ |
6. "Negativ-Regel" | $$\log_a (u\pm v)=log_a (u\pm v)$$ | Bei einer Summe oder Differenz kann man nichts verändern! |
7. Umrechnung im Taschenrechner | $$\log_a u =\frac{\log_b u}{\log_b a}$$ | Mit dieser Formel lassen sich Logarithmen mit beliebiger Basis im TR berechnen. Z.B.:
$$\log_2 1024 = \frac{\ln 1024 }{\ln 2}=10$$ |
Musterbeispiele
|
Hinweis
|
Forme durch Verwenden der Rechenregeln des Logarithmus auf:
$$\ln\left(a^3\cdot b\right)$$
$$\lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)$$
$$\lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)}$$
Gleichungen mithilfe des Logarithmus lösen
Für Anwendungsbeispiele ist vor allem die 5. Regel von Bedeutung, da sie es uns erlaubt, Gleichungen zu lösen, indenen die Variable im Exponenten steht.
$$5^x=13$$
Bestimme den Wert von x!
$$5^x=13 \ \ \vert \lg(\ )$$ $$\lg(5^x)=\lg(13)\ \ \vert 5.\ Regel$$ $$x\cdot \lg(5)=\lg(13)\ \ \vert :\lg(5)$$ $$x=\frac{\lg(13)}{\lg(5)}=1.59$$
|
* Wende den Logarithmus erst so spät wie möglich an! So gehst du den häufigsten Fehlern aus dem Weg!
|
Bestimme x:
$$2^{x+3}=16$$
$$(x+3)\cdot \lg 2= lg 16 \vert \ \ \ \ :\lg 2$$ $$ x+3=\frac{lg 16}{lg 2}\ \ \ \vert -3$$ $$x=\frac{lg 16}{lg 2}-3$$ $$x=1$$ Selbstverständlich hätte man auch schon zu Beginn sehen können, dass x=1 eine Lösung der Gleichung $2^{x+3}=16$, weil $2^4=16$ ist.
$$N_t=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}$$
Stelle $t$ frei!
Zusammenfassung
weitere Materialien
Beispiele
kommt bald