Potenzen

Potenzen

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Definition

Eine Potenz besteht aus einer Basis und einer Hochzahl, dem sogenannten Exponenten:

Aufbau einer Potenz

Beispiele:

• $2^3$
• $5^x$
• $x^{-2}$
• $c^{b+a}$

Im Folgenden sind $a,\ b,\ n,\ m,\ x,\ y\in$ $\mathbb{R}$.

Rechnen mit Potenzen

Nun wollen wir lernen mit Potenzen zu rechnen. Wie können wir zum Beispiel $\left(2^3\right)^4$ oder $\frac{x^2}{x^3}$ vereinfachen? Hierbei helfen uns die Rechenregeln für Potenzen:

Potenzregel 1

Merke

1. Regel der Potenzrechnung Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. $$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$

Beweis für diese Regel

$a^n\cdot a^m=\left(\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{n-mal}\right)\cdot \left(\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal}\right)$

$=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{n+m-mal}=a^{n+m}$

Musterbeispiele

Wende die 1. Regel der Potenzrechnung an:

$x^3\cdot x^2=$

$x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5$

$2^4\cdot 2^3\cdot b^2=$

$2^4\cdot 2^3\cdot b^2=2^{4+3}\cdot b^3=2^7\cdot b^3=128\cdot b^2$

Achtung! Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da $2$ und $b$ unterschiedliche Basen sind.

Potenzregel 2

Merke

2. Regel der Potenzrechnung Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$

Beweis für diese Regel

Nehmen wir einfachheitshalber an, dass $n>m$ ist:

$\frac{a^n}{a^m} = \frac{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdot. . . \cdot a}^{n-mal} }{\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal} } \ \ \ \text{Hier können nun insgesamt $m$ Stück $a$ gekürzt werden.}$

$=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a}_{n-m-mal}=a^{n-m}$

Musterbeispiele

Wende die 1. und 2. Regel der Potenzrechnung an:

$\frac{x^3}{x^2}=$

$\frac{x^3}{x^2}=x^{3-2}=x^1=x$

$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=$

$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=2^{4+3-5}=2^2=4$

Potenzregel 3

Merke

3. Regel der Potenzrechnung Potenzen werden potenziert („hoch-genommen“), indem man die Exponenten multipliziert. $$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$$

Beweis für diese Regel

$\left(a^n\right)^m = \underbrace{\left(a^n\right) \cdot \left(a^n\right) \cdot . . . \cdot \left(a^n\right)}_{m-mal}$

$\overset{(Regel \ 1)}{=}$ $a^{\overbrace{n+n+. . . +n}^{m-mal} }=a^{n \cdot m}$

Musterbeispiele

Wende die 3. Regel der Potenzrechnung an:

$\left(x^3\right)^2=$

$\left(x^3\right)^2=x^{3\cdot 2}=x^6$

$\left(x^{-3}\right)^2=$

$\left(x^{-3}\right)^2=x^{-6}$

Potenzregel 4

Merke

4. Regel der Potenzrechnung Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a$ ungleich $0$ ist. Der Term $0^0$ ist nicht definiert. Genauere Informationen zu $0^0$ findest du hier. $$a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$$

Beweis für diese Regel

$a^0=a^{n-n} \overset{Regel \ 2}{=} \frac{a^n}{a^n} \overset{kürzen}{=} 1$

Musterbeispiele

Wende die 4. Regel der Potenzrechnung an:

$x^0=$

$x^0=1$

$12341234^0=$

$12341234^0=1$

Potenzregel 5

Merke

5. Regel der Potenzrechnung Ein negatives Vorzeichen im Exponenten bewirkt, dass man den Kehrwert bildet. $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$ Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner, oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten. $$\frac{1}{a^{-n} }=a^n$$

Beweis für diese Regel

$a^{-n}=a^{0-n} \overset{(Regel \ 2)}{=} \frac{a^0}{a^{n} } \overset{(Regel \ 4)}{=} \frac{1}{a^n} $

Musterbeispiele

Wende die ersten 5 Regeln der Potenzrechnung an:

$\frac{x^2}{x^{-3} }=$

$\frac{x^2}{x^{-3} }\underbrace{=}_{5.\ Regel}\frac{x^2\cdot x^3}{1}\underbrace{=}_{1.\ Regel} x^5$

$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=$

$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=\frac{x^2\cdot x^3\cdot y^2\cdot y^{-1}\cdot y^{-3} }{1}=x^5\cdot y^{-2}$

Tipp: Oft ist es am einfachsten, alle Terme in den Zähler zu heben (mit Regel 5) und dann Regel 1 zu verwenden.

Potenzregel 6

Merke

6. Regel der Potenzrechnung Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden Faktor mit dem Exponenten potenziert („hoch-nimmt“). $$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ \text{und} \ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$

Beweis für diese Regel

$(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot . . . \cdot (a \cdot b)}_{n-mal}$

$\overset{(Vertauschungsgesetz)}{=} \underbrace{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}_{n-mal} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot . . . \cdot b}_{n-mal}$ $=a^n\cdot b^n$

Musterbeispiele

Wende die Regeln der Potenzrechnung an:

$(x\cdot y)^3=$

$(x\cdot y)^3=x^3\cdot y^3$

$(x^2\cdot y^3)^{-4}=$

$(x^2\cdot y^3)^{-4}=(x^2)^{-4}\cdot (y^3)^{-4}=x^{-8}\cdot y^{-12}$

$\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)=$

$\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)=$

Zuerst wenden wir Regel 7 an. Zusätzlich erinnern wir uns, dass bei der Bruchrechnung dividiert wird, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird: $\frac{x^4\cdot y^6}{z^{-4} }\cdot \frac{x^2}{z^4\cdot y^{-3} }$ Nun multiplizieren wir die Brüche und wenden Regel 1-4 an: $\frac{x^4\cdot y^6\cdot x^2}{z^{-4}\cdot z^4\cdot y^{-3} } $ $\frac{x^6\cdot y^6\cdot y^{3} }{z^0}=\frac{x^6\cdot y^9}{1}=x^6\cdot y^9$

$(2x)^3-2x^3=$

$(2x)^3-2x^3=8x^3-2x^3=6x^3$

Potenzregel 7

Merke

7. Regel der Potenzrechnung Der Wurzelexponent $n$ kann als Nenner des Exponenten angeschrieben werden. $$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$$

Beweis für diese Regel

Wurzelziehen und Potenzieren sind Umkehroperationen. Daraus folgt:

${\left(\sqrt[n]{a} \right)}^n=a$. Es gilt aber auch $\left(a^{\frac{1}{n} }\right)^n \overset{Regel 3}{=}a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a.$ Daraus folgt, dass $\sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n} }$ sein muss.

Musterbeispiele

Wende die Regeln der Potenzrechnung an:

$\sqrt[3]{5}=$

$\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3} }$

$\sqrt[3]{5^{12} }=$

$\sqrt[3]{5^{12} }=5^{\frac{12}{3} }=5^{4}=625$

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }=$

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }= \frac{2}{x^{\frac{2}{3} } }= 2\cdot x^{-\frac{2}{3} }$

Zusammenfassendes Video

1.Regel	$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$	Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
2.Regel	$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$	Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
3.Regel	$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$	Potenzen werden potenziert („hoch-genommen“), indem man die Exponenten multipliziert.
4.Regel	$a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$	Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a \neq 0$ ist.
5.Regel	$a^{-n}=\frac{1}{a^n} \ \text{und} \ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$	Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
6.Regel	$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ \text{und} \ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} $	Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden Faktor mit dem Exponenten potenziert („hoch-nimmt“).
7.Regel	$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$	Der Wurzelexponent $n$ kann als Nenner des Exponenten angeschrieben werden.

• Aufgaben von Aufgabenfuchs

Vereinfache den Term so weit wie möglich:

$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y^{-4}\right) ^2}=$

Lösung:

$$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y^{-4}\right) ^2}$$ Zuerst wenden wir die Regel 6 an und bringen die Zahlen ganz nach vor. Wichtig ist dabei, dass die negativen Vorzeichen in der Basis verschwinden, wenn mit einem geraden Exponenten potenziert wird, da z. B. $(-x^2)^4=(-x^2)\cdot (-x^2) \cdot (-x^2) \cdot (-x^2) =+x^8$ ist: $$\frac{(-5)^4\cdot x^8\cdot y^{-16} }{3^2\cdot 3^2\cdot x^{-10}\cdot y^{-8} }$$ Nun bringen wir alle Potenzen mit einer Variablen hinauf in den Zähler und verwenden dabei die Regel 5: $$\frac{625\cdot x^8\cdot x^{10}\cdot y^{-16}\cdot y^8 }{81}$$ Nun wenden wir Regel 1 an: $$\frac{625 \cdot x^{18}\cdot y^{-8} }{81}$$ Formen wir das noch um, ergibt sich: $$\frac{625\cdot x^{18} }{81\cdot y^{8} }$$

• Rechnen mit Termen
• Binomische Formeln
• Gleichung und Äquivalenzumformungen
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