Vektorrechnung

Grundlagen
Vektoren
Im $\mathbb{R^2}$
Im $\mathbb{R^3}$
Beispiele

Koordinatensystem

Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den $4$ Quadranten

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell. Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem $2$ Achsen:

die $x$-Achse (waagrecht) und
die $y$-Achse (senkrecht)

Diese sind unendlich lang und spannen die sogenannten vier Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Grafik zeigt die Positionen der Quadranten. Dort, wo die $2$ Achsen einander treffen, liegt der sogenannte Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind $(0|0)$.

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt: An den gegenüberliegenden Seiten der $x$- und $y$-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man „links“ des Ursprungs von der negativen bzw. „rechts“ des Ursprungs von der positiven $x$-Achse. Analog ist mit „oben“ bzw. „unten“ die positive bzw. negative $y$-Achse gemeint.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die $z$-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dann auch $3$ Koordinaten. Dies kann man bis ins $n$-dimensionale weiterführen.

Punkte

In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild haben wir beispielsweise die Punkte $A$ und $B$, wobei sich $A$ im ersten und $B$ im vierten Quadranten befindet, eingezeichnet. Man schreibt: $A(2|3.5), B(1|-2)$.

Punkte im $\mathbb{R^2}$

Merke

Einen allgemeinen Punkt schreibt man an als $P(x_1 \vert x_2 \vert ... \vert x_n)$ (im $n$-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) bzw. $P(x \vert y)$ (im $2$-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) oder $P(x \vert y \vert z)$ (im $3$-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).

Die erste Koordinate entspricht der $x$-Koordinate, die zweite der $y$-Koordinate, die eventuelle dritte der $z$-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die $x$- bzw. $y$-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

$A($$2$$|$$0$$)$
$B($$0$$|$$-2$$)$
$C($$-1$$|$$2$$)$

Inhaltsverzeichnis

1 Definition & Darstellung von Vektoren
- 1.1 Geometrische Darstellung von Vektoren
- 1.2 Ortsvektoren
2 Rechnen mit Vektoren
3 Mittelpunkt einer Strecke

Definition & Darstellung von Vektoren

Definition

Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als Vektor aus $\mathbb{R^2}$ bezeichnet.

Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als Vektor aus $\mathbb{R^3}$ .
Ein $n$-dimensionaler Vektor wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

Da sowohl die Rechenoperationen, als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir hier meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

Geometrische Darstellung von Vektoren

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:

Darstellung als Punkt: Dabei gibt $a$ die $x$-Koordinate und $b$ die $y$-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
Darstellung als Pfeil: Dabei gibt $a$ die $x$-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die $y$-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig: Einem Zahlenpaar (= Vektor) entspricht genau ein Punkt.
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig: Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

Beispiel: Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

Punktdarstellung des Vektors	Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors

Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.

Anmerkungen:

Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die $z$-Koordinate des Vektors angegeben wird.

Ortsvektoren

Punkt und zugehöriger Ortsvektor

Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1 \vert x_2 \vert ... \vert x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

Rechnen mit Vektoren

Addition und Subtraktion von Vektoren

Rechnerische Addition

Merke

Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren:

$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$

Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören. D. h. sie haben gleich viele Koordinaten.

Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$

$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$

$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$

Übung zur rechnerischen Addition von Vektoren

Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke hier

Übung zur rechnerischen Subtraktion von Vektoren

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Geometrische Darstellung der Vektoraddition

Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$:

Punkt + Pfeil - Darstellung:	Pfeil + Pfeil - Darstellung
An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt. In unserem Beispiel wird an den Punkt $(1 \vert 2)$ ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils $(5 \vert 5)$.	Zwei Pfeile werden aneinander gehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinander gehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$.

Anmerkung: Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.	Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ.

Vektoren bestimmen: „Spitze minus Schaft“ („Ziel minus Start“)

„Spitze minus Schaft“

Zwischen $2$ Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt die „Spitze minus Schaft“-Regel.
Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von $A$ nach $B$ geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt $B(3 \vert 3.5)$ entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt $A(1 \vert 0.5)$ dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3.5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3.5-0.5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

Gegeben sind die Punkte $A(1 \vert 2)$, $B(-3 \vert 1)$ und $C(-4 \vert -1)$. Bilde die folgenden Verbindungsvektoren:

$\ \vec{AB}$
$\ \vec{BA}$
$\ \vec{AC}$
$\ \vec{BC}$

$\ $

$\ \vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
$\ \vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
$\ \vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
$\ \vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$

Tipps:

Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler. Sei deshalb besonders achtsam.
Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

Produkt eines Vektors mit einem Skalar

Rechnerische Multiplikation

Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer reellen Zahl $k$, einem sogenannten „Skalar“, multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$.

$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$

$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$

Geometrische Darstellung der Multiplikation

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles. Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar.

Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:

$2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right) \rightarrow$ Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$.
$(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right) \rightarrow$ Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$.
$(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right) \rightarrow$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$.

(Quelle dieses Applets)

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an (z. B. $u=a$).

Wie Vektoren zueinander stehen

Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

Definition

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleich langen, gleich gerichteten und gleich orientierten Pfeile.

Der Start- bzw. Endpunkt spielen dabei keine Rolle!

Merke

$2$ Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann.

Man sagt auch: Die Vektoren sind linear abhängig.

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge	$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge	$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
parallel (unterschiedliche Orientierung):	$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$
linear unabhängig	$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$	z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$

Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

Wenn es ein $k$ gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:

Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen

$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren linear unabhängig und somit nicht parallel zueinander sind.

Möglichkeit 2: „Vergleichen und Probieren“

Vergleicht man die $x$-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß ist wie $2$. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste. Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die $y$-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.

Betrag und Einheitsvektor

Betrag eines Vektors; Einheitsvektor

Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch Betrag eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.

Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$

Der Einheitsvektor $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge $1$. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0} =\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$ bzw. $ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge $1$ besitzt.

Merke

Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$

Vektoren bestimmter Länge

Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren, könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \frac{\vec{v}}{k} = l \cdot \vec{v_0}$.

Mittelpunkt einer Strecke

Mittelpunkt M der Strecke AB

Willst du den Mittelpunkt zwischen $2$ Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:

Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), so erhältst du den Mittelpunkt. Also:

$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$

Dies lässt sich folgendermaßen weiter vereinfachen: $$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{2\vec{A}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$$

Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab Grundlagen der Vektorrechnung.

Vektoren

Normalvektoren

Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau $2$ Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser $2$ Normalvektoren.

Merke

Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.

Vertausche die Koordinaten und ändere ein Vorzeichen.

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

Merke

Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas „eigenartig“. Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären: Angenommen in einer Preisliste stehen $10$ Kugelschreiber, die jeweils $2€$ kosten und $20$ Bleistifte, die jeweils $0.50€$ kosten. In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

Produkt	Stückzahl	Preis pro Stück (in $€$)
Kugelschreiber	$10$	$2$
Bleistift	$20$	$0.50$

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert und anschließend die Summe gebildet werden. Genau das macht das Skalarprodukt: $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

Winkel zwischen zwei Vektoren

Winkel zwischen $2$ Vektoren

$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

bzw. $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$

Heißt es, den Winkel zwischen $2$ Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als $180°$ ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von $360°$ ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$).
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

Orthogonalitätskriterium

Merke

Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt). $$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist. $$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

Übungsaufgabe

Geraden

Darstellungsformen

Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und einen Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

Parameterdarstellung

Parameterdarstellung einer Geraden

$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$

wobei

$X \in g$ ist ein beliebiger Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
$P \in g$ ist ein bekannter Punkt auf der Geraden
$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Grafik rechts $\lambda$)
$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt („Richtungsvektor“)

Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden. (Genauere Informationen zu Ortsvektoren findest du unter Grundlagen der Vektorrechnung.)
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und $2$ Gleichungen aufzustellen: $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

Normalvektorform

Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

Allgemeine Geradengleichung

Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Geraden direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es $2$ Möglichkeiten:

1. Multiplikation mit Normalvektor: Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

2. Elimination des Parameters: Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung. Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von $x$ und $y$. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form $y=kx+d$ umformen.

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

ident sein, d. h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte.
parallel sein, d. h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt.
einander schneiden, d. h. sie haben genau einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt).

Sind $2$ Geraden in Parameterdarstellung gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren.
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten $2$ Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die $2$ Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel.

Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die $2$ Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die $2$ Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in $2$ Unbekannten (die $2$ Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt.

Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right)$. Ermittle deren gegenseitige Lage und ggf. deren Schnittpunkt!

Betrachten wir zuerst deren Richtungsvektoren:

$$\left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) = -2 \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \parallel h$$ Nun überprüfen wir, ob der Punkt der Geraden $h$ auf $g$ liegt: $$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) \ \rightarrow \ \begin{cases} 0 = -3 + 4s \ \rightarrow \ s_1 = \frac{3}{4} \\ 2 = 1 - 2s \ \rightarrow \ s_2 = -\frac{1}{2} \end{cases} \ \rightarrow \ s_1 \neq s_2 \ \Rightarrow \ g \not\equiv h$$

Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$. Ermittle deren gegenseitige Lage und ggf. deren Schnittpunkt!

$$\nexists \ k \in \mathbb{R} : \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right) = k \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h \ \Rightarrow \ g \times h$$

$$\begin{align} I: \ &-3&+&2s&=&0&+&t \\ II: \ &1&-&s&=&2&+&2t \end{align}$$ $$I + 2 \cdot II: \ -1 = 4 + 5t \ \rightarrow \ t = -1$$ $$t \ in \ h: S = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + (-1) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right)$$

Sind die $2$ Geraden in der allgemeinen Geradenform gegeben, so haben wir bereits $2$ Gleichungen, die wir nach $x$ und $y$ auflösen. Dieses $x$ und $y$ sind die Koordinaten des Schnittpunktes. Sollte sich keine Lösung ergeben, so schneiden sich die Geraden nicht.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von Gleichungssystemen genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

Normalabstand Punkt - Gerade

Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q|y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen $Q$ und $g$ zu berechnen, gehe wie folgt vor:

Merke

1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.

2. Schneide $g$ und $q$ und du erhältst deren Schnittpunkt $S$.
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.

In der Grafik rechts hätten wir z. B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3|4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

Hesse'sche Abstandsformel

Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q|y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. $$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} |$$ wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge $1$) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden

Gespiegelter Punkt Q'

Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q|y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also:

$$Q' = S + \vec{QS}$$

Vektoren

Kreuzprodukt

Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sogenannte Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.

Merke

Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt

$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$

Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.

$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir in den folgenden beiden Unterabschnitten.