Grundkompetenzen AHS: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Funktionale Abhängigkeiten)
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== Funktionale Abhängigkeiten ==
 
== Funktionale Abhängigkeiten ==
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===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
 
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|3.1. 
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|FA 1.1  
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| eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der
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| für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
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Abhängigkeit zwischen Größen interpretieren;
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den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologie darstellen, Funktionswerte ermitteln
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und den Verlauf des Graphen im Kontext interpretieren
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| [[Funktionen| Theorie]]
 
| [[Funktionen| Theorie]]
 
| [[Funktionen#Beispiele | Beispiele]]
 
| [[Funktionen#Beispiele | Beispiele]]
 
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|3.2.
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|FA 1.2
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| lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die
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| Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können.
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Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren;
+
−
den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung
+
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der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen interpretieren;
+
−
eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion interpretieren.
+
 
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
 
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
 
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
 
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
 
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|3.3.
+
|FA 1.3  
−
| Potenzfunktionen ($y=c\cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{R} $ sowie $y=\sqrt{x}$) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren
+
| zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
 
| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
 
| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
 
| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
 
| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
 
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|3.4.
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|FA 1.4  
−
| Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften
+
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
−
bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten)
+
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interpretieren und damit argumentieren
+
 
| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
 
| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
 
| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
 
| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
 
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|3.5.
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|FA 1.5  
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| Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren
+
| Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen
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von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema),
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Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit
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den Achsen
 
| [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Theorie]]
 
| [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Theorie]]
 
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)#Beispiele | Beispiele]]
 
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)#Beispiele | Beispiele]]
 
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|3.6.
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|FA 1.6  
−
| lineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit
+
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext
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einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren
+
interpretieren können
 
| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum | Theorie]]
 
| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum | Theorie]]
 
| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Beispiele | Beispiele]]
 
| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Beispiele | Beispiele]]
 
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|3.7.
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|FA 1.7  
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| die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als
+
| Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
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Lösung(en) einer Gleichung interpretieren
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| [[Nullstelle | Theorie]]
 
| [[Nullstelle | Theorie]]
 
| [[Nullstelle#Beispiele | Beispiele]]
 
| [[Nullstelle#Beispiele | Beispiele]]
 
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|3.8.
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|FA 1.8  
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| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz
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| durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext
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bestimmen und diese im Kontext interpretieren
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deuten können, Funktionswerte ermitteln können
 
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
 
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
 
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
 
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
 
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|3.9.
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|FA 1.9  
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| anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen
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| einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
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(lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren
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| [[Funktionen | Theorie]]
 
| [[Funktionen | Theorie]]
 
| [[Theorie (3.9.)#Beispiele | Beispiele]]
 
| [[Theorie (3.9.)#Beispiele | Beispiele]]
 
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|3.10.
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| Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und
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die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und argumentieren
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| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
+
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| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Beispiele | Beispiele]]
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Anmerkungen:
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Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert.
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Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch f:A→B,x↦f(x) ).
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Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
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Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
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===Lineare Funktion [$f(x)=k\cdot x+d$]===
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!| Kompetenz
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|FA 2.1
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|  verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
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| [[Funktionen| Theorie]]
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| [[Funktionen#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 2.2
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|  aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten können
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| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
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| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
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|FA 2.3
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|  die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
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| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
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| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 2.4
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|  charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$ 
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| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
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| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 2.5
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|  die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
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| [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Theorie]]
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| [[Exponentialfunktionen(3.5.)#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 2.6
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|  direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$
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beschreiben können
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Anmerkungen:
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Die Parameter k und d sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
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===Potenzfunktion mit  $f(x)=a\cdot x^z+b, z\in \mathbb{Z}$]===
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|FA 3.1
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|  verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
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| [[Funktionen| Theorie]]
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| [[Funktionen#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 3.2
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|  aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können
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| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
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| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
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|FA 3.3
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|    die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können
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| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
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|FA 3.4
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|  indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw.$f(x)=a\cdot x^{–1}$beschreiben können $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$ 
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| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
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Anmerkungen:
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Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
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===Polynomfunktion mit  $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $ n \in ℕ$]===
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|FA 4.1
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|    typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
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| [[Funktionen| Theorie]]
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| [[Funktionen#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 4.2
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|    zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
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| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
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| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
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|FA 4.3
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|    aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
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| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
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| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 4.4
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|    den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen 
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| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
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| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
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Anmerkungen:
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Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige n bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $ n\le4$
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Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
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===Exponentialfunktion [$f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit a,b$\in ℝ^+$ ,λ $\in $ ℝ ===
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|FA 5.1
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|  verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
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| [[Funktionen| Theorie]]
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| [[Funktionen#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 5.2
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|  aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
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| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
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| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
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|FA 5.3 
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|  die Wirkung der Parameter a und b (bzw.$e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
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| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
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| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 5.4
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|  charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]´=e^x])$kennen und im Kontext deuten können
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| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
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| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 5.5
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|  die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
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| [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Theorie]]
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| [[Exponentialfunktionen(3.5.)#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 5.6
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|  die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
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| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum | Theorie]]
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| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Beispiele | Beispiele]]
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Anmerkungen:Die Parameter a und b (bzw. $e^λ$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
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===Exponentialfunktion [$f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit a,b$\in ℝ^+$ ,λ $\in $ ℝ ===
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|FA 6.1
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|  grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
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| [[Funktionen| Theorie]]
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| [[Funktionen#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 6.2
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|  aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
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| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
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| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
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|FA 6.3 
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|  die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können
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| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
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| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 6.4
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|  Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
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| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
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| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 6.5
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|  wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
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| [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Theorie]]
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| [[Exponentialfunktionen(3.5.)#Beispiele | Beispiele]]
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|FA 6.6
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|  wissen, dass gilt: $[sin(x)]`=cos(x), [cos(x)]`=-sin(x)$
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| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum | Theorie]]
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| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Beispiele | Beispiele]]
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Anmerkungen:Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
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Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
  
 
== Analysis ==
 
== Analysis ==

Version vom 17. März 2016, 18:31 Uhr

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 4 Inhaltsbereiche gegliedert:


Algebra und Geometrie

Grundbegriffe der Algebra

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
AG 1.1 Wissen über die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ verständig einsetzen können Theorie Beispiele
AG 1.2 Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit Theorie Beispiele

Anmerkungen:

Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengen beziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über ℝ hinausgehen.

Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können.

(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
AG 2.1 einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können Theorie Beispiele
AG 2.2 lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können Theorie Beispiele
AG 2.3 quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können Theorie Beispiele
AG 2.4 lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können Theorie Beispiele
AG 2.5 lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können Theorie Beispiele

Anmerkungen:

Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten.

Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden.

Vektoren

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
AG 3.1 Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können Theorie Beispiele
AG 3.2 Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können Theorie Beispiele
AG 3.3 Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikatio

n mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können

Theorie Beispiele
AG 3.4 Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können Theorie Beispiele
AG 3.5 Normalvektoren in ℝ² aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren

können

Theorie Beispiele

Anmerkungen:

Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können.

Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in ℝ² und ℝ³) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in ℝ² auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können.

Trigonometrie

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
AG 4.1 Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können Theorie Beispiele
AG 4.2 Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen können Theorie Beispiele

Anmerkungen:

Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.

Funktionale Abhängigkeiten

Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
FA 1.1 für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann Theorie Beispiele
FA 1.2 Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können. Theorie Beispiele
FA 1.3 zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können Theorie Beispiele
FA 1.4 aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können Theorie Beispiele
FA 1.5 Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen

von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen

Theorie Beispiele
FA 1.6 Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext

interpretieren können

Theorie Beispiele
FA 1.7 Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können Theorie Beispiele
FA 1.8 durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext

deuten können, Funktionswerte ermitteln können

Theorie Beispiele
FA 1.9 einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können Theorie Beispiele



Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch f:A→B,x↦f(x) ). Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten. Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.


Lineare Funktion [$f(x)=k\cdot x+d$]

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
FA 2.1 verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können Theorie Beispiele
FA 2.2 aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten können Theorie Beispiele
FA 2.3 die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können Theorie Beispiele
FA 2.4 charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$ Theorie Beispiele
FA 2.5 die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können Theorie Beispiele
FA 2.6 direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$

beschreiben können

Theorie Beispiele



Anmerkungen: Die Parameter k und d sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.

Potenzfunktion mit $f(x)=a\cdot x^z+b, z\in \mathbb{Z}$]

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
FA 3.1 verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können Theorie Beispiele
FA 3.2 aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können Theorie Beispiele
FA 3.3 die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können Theorie Beispiele
FA 3.4 indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw.$f(x)=a\cdot x^{–1}$beschreiben können $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$ Theorie Beispiele



Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.


Polynomfunktion mit $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $ n \in ℕ$]

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
FA 4.1 typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen Theorie Beispiele
FA 4.2 zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können Theorie Beispiele
FA 4.3 aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können Theorie Beispiele
FA 4.4 den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen Theorie Beispiele



Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige n bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $ n\le4$

Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.

Exponentialfunktion [$f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit a,b$\in ℝ^+$ ,λ $\in $ ℝ

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
FA 5.1 verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können Theorie Beispiele
FA 5.2 aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können Theorie Beispiele
FA 5.3 die Wirkung der Parameter a und b (bzw.$e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können Theorie Beispiele
FA 5.4 charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]´=e^x])$kennen und im Kontext deuten können Theorie Beispiele
FA 5.5 die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können Theorie Beispiele
FA 5.6 die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können Theorie Beispiele



Anmerkungen:Die Parameter a und b (bzw. $e^λ$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.

Exponentialfunktion [$f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit a,b$\in ℝ^+$ ,λ $\in $ ℝ

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
FA 6.1 grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können Theorie Beispiele
FA 6.2 aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können Theorie Beispiele
FA 6.3 die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können Theorie Beispiele
FA 6.4 Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können Theorie Beispiele
FA 6.5 wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$ Theorie Beispiele
FA 6.6 wissen, dass gilt: $[sin(x)]`=cos(x), [cos(x)]`=-sin(x)$ Theorie Beispiele



Anmerkungen:Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.

Analysis

Änderungsmaße

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
AN 1.1. absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können Theorie Beispiele
AN 1.2. den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können Theorie Beispiele
AN 1.3. den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können Theorie Beispiele
AN 1.4. das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können Theorie Beispiele


Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.

Regeln für das Differenzieren

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
AN 2.1. einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten) Theorie Beispiele



Ableitungsfunktion/Stammfunktion

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
AN 3.1. den Begriff Ableitungsfunktion/Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können Theorie Beispiele
AN 3.2. den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können Theorie Beispiele
AN 3.3. Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen Theorie Beispiele


Anmerkungen:

Der Begriff der Ableitung(sfunktion) soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden.

Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.

Summation und Integral

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
AN 4.1. den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können Theorie Beispiele
AN 4.2. einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können Theorie Beispiele
AN 4.3. das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können Theorie Beispiele


Anmerkungen:

Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext.

Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.

Wahrscheinlichkeit und Statistik

Beschreibende Statistik

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
WS 1.1 Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können Theorie Beispiele


Anmerkungen:
(un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)

WS 1.2 $\ \ \ $ Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können. Theorie Beispiele
WS 1.3 statistische Kennzahlen (absoluteund relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können Theorie Beispiele
WS 1.4 Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwen-dung einer bestimmten Kennzahl begründen können Theorie Beispiele


Anmerkungen:



Wahrscheinlichkeitsrechnung

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
WS 2.1 Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können. Theorie Beispiele
WS 2.2 relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können Theorie Beispiele
WS 2.3 Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können Theorie Beispiele
WS 2.4 Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können. Theorie Beispiele




Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
WS 3.1 die Begriffe Zufallsvariable, (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung, Erwartungswertund Standard-abweichungverständig deuten und einsetzen können. Theorie Beispiele
WS 3.2 Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilterZufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Bino-mialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen Theorie Beispiele
WS 3.3 Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können Theorie Beispiele
WS 3.4 Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können Theorie Beispiele





Schließende/Beurteilende Statistik

Inhalt$\ \ \ $ Kompetenz Theorie Beispiele
WS 4.1 Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil pinterpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialvertei-lung durchführen können Theorie Beispiele


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