Nullstelle

Nullstelle

Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet.

Definition

Nullstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0). Formale Definition: Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: $f(x_1)=0$

Berechnung der Nullstellen

Um die Nullstellen zu berechnen, muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden. Je nach Funktionstyp von $f(x)$ kann entweder $x$ einfach freigestellt werden oder ein Lösungsverfahren (große Lösungformel/Quadkom, graphisches Lösungsverfahren im TR, Solve-Befehl) verwendet werden.

Als Richtwert, kannst du dir aber folgende Regel merken:

1. Bei linearen Gleichungen $0=k\cdot x+d$: nach $x$ umformen.
2. Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: große Lösungsformel/Quadkom
3. Bei Gleichungen mit Grad $\ge 3$: graphisches Lösungsverfahren im TR

Musterbeispiele

a) Bestimme die Nullstelle der linearen Funktion $f(x)=-2x+4$

Lösung: $$0=-2x+4 \ \ |-4$$ $$ -4=-2x \ \ |:(-2)$$ $$2=x$$ Antwort: Der Graph der Funktion schneidet bei $N(2|0)$ die $x$-Achse.

b) Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$

Lösung: $$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$ Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit $a=-1$, $b=6$ und $c=-5$ $$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$

$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$ $$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$ $$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$ $$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$ Antwort: Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die $x$-Achse.

c) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$ (siehe Abbildung rechts oben).

Lösung mithilfe des graphisches Lösungsverfahren im TR oder dem Löse-Verfahren (GeoGebra) $x_1=-1.9,\ x_2=6$ und $ x_3=7.9$