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Version vom 17. März 2016, 18:15 Uhr
Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.
Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 4 Inhaltsbereiche gegliedert:
Inhaltsverzeichnis
Algebra und Geometrie
Grundbegriffe der Algebra
| Inhalt$\ \ \ $ | Kompetenz | Theorie | Beispiele |
|---|---|---|---|
| AG 1.1 | Wissen über die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ verständig einsetzen können | Theorie | Beispiele |
| AG 1.2 | Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit | Theorie | Beispiele |
Anmerkungen:
Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengen beziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über ℝ hinausgehen.
Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können.
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
| Inhalt$\ \ \ $ | Kompetenz | Theorie | Beispiele |
|---|---|---|---|
| AG 2.1 | einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können | Theorie | Beispiele |
| AG 2.2 | lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können | Theorie | Beispiele |
| AG 2.3 | quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können | Theorie | Beispiele |
| AG 2.4 | lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können | Theorie | Beispiele |
| AG 2.5 | lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können | Theorie | Beispiele |
Anmerkungen:
Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten.
Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden.
Vektoren
| Inhalt$\ \ \ $ | Kompetenz | Theorie | Beispiele |
|---|---|---|---|
| AG 3.1 | Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können | Theorie | Beispiele |
| AG 3.2 | Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können | Theorie | Beispiele |
| AG 3.3 | Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikatio
n mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können |
Theorie | Beispiele |
| AG 3.4 | Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können | Theorie | Beispiele |
| AG 3.5 | Normalvektoren in ℝ² aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren
können |
Theorie | Beispiele |
Anmerkungen:
Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können.
Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in ℝ² und ℝ³) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in ℝ² auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können.
Trigonometrie
| Inhalt$\ \ \ $ | Kompetenz | Theorie | Beispiele |
|---|---|---|---|
| AG 4.1 | Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck
kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können |
Theorie | Beispiele |
| AG 4.2 | Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen können | Theorie | Beispiele |
Anmerkungen:
Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
Funktionale Abhängigkeiten
| Inhalt | Kompetenz | Theorie | Beispiele |
|---|---|---|---|
| 3.1. | eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der
Abhängigkeit zwischen Größen interpretieren; den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologie darstellen, Funktionswerte ermitteln und den Verlauf des Graphen im Kontext interpretieren |
Theorie | Beispiele |
| 3.2. | lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die
Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren; den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen interpretieren; eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion interpretieren. |
Theorie | Beispiele |
| 3.3. | Potenzfunktionen ($y=c\cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{R} $ sowie $y=\sqrt{x}$) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren | Theorie | Beispiele |
| 3.4. | Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften
bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten) interpretieren und damit argumentieren |
Theorie | Beispiele |
| 3.5. | Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren | Theorie | Beispiele |
| 3.6. | lineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit
einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren |
Theorie | Beispiele |
| 3.7. | die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als
Lösung(en) einer Gleichung interpretieren |
Theorie | Beispiele |
| 3.8. | Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz
bestimmen und diese im Kontext interpretieren |
Theorie | Beispiele |
| 3.9. | anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen
(lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren |
Theorie | Beispiele |
| 3.10. | Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und
die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und argumentieren |
Theorie | Beispiele |
Analysis
Änderungsmaße
| Inhalt$\ \ \ $ | Kompetenz | Theorie | Beispiele |
|---|---|---|---|
| AN 1.1. | absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können | Theorie | Beispiele |
| AN 1.2. | den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können | Theorie | Beispiele |
| AN 1.3. | den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können | Theorie | Beispiele |
| AN 1.4. | das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können | Theorie | Beispiele |
Anmerkungen:
Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext.
Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
Regeln für das Differenzieren
| Inhalt$\ \ \ $ | Kompetenz | Theorie | Beispiele |
|---|---|---|---|
| AN 2.1. | einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten) | Theorie | Beispiele |
Ableitungsfunktion/Stammfunktion
| Inhalt$\ \ \ $ | Kompetenz | Theorie | Beispiele |
|---|---|---|---|
| AN 3.1. | den Begriff Ableitungsfunktion/Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können | Theorie | Beispiele |
| AN 3.2. | den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können | Theorie | Beispiele |
| AN 3.3. | Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen | Theorie | Beispiele |
Anmerkungen:
Der Begriff der Ableitung(sfunktion) soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden.
Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
Summation und Integral
| Inhalt$\ \ \ $ | Kompetenz | Theorie | Beispiele |
|---|---|---|---|
| AN 4.1. | den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können | Theorie | Beispiele |
| AN 4.2. | einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können | Theorie | Beispiele |
| AN 4.3. | das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können | Theorie | Beispiele |
Anmerkungen:
Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext.
Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
Wahrscheinlichkeit und Statistik
| Inhalt | Kompetenz | Theorie | Beispiele |
|---|---|---|---|
| 5.1. | Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten)
grafisch darstellen und interpretieren sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise anwendungsbezogen argumentieren (Kreis-, Stab- und Balken-/Säulendiagramme, Boxplot) |
Theorie | Beispiele |
| 5.2. | Mittelwerte und Streuungsmaße von Häufigkeitsverteilungen berechnen, interpretieren und
argumentieren |
Theorie | Beispiele |
| 5.3. | die Wahrscheinlichkeit als intuitiven Grenzwert relativer Häufigkeit interpretieren | Theorie | Beispiele |
| 5.4. | die Additionsregel auf einander ausschließende Ereignisse und die Multiplikationsregel auf
unabhängige Ereignisse anwenden; Zufallsexperimente als Baumdiagramm darstellen modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren |
Theorie | Beispiele |
| 5.5. | mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten
berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren |
Theorie | Beispiele |
| 5.6. | mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren, Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ interpretieren und Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsdichte argumentieren | Theorie | Beispiele |
