Kosten- und Preistheorie: Unterschied zwischen den Versionen

• Zuerst stellen wir die lineare Preisfunktion der Form $p(x)=k\cdot x+d$ auf, wobei $x$ die Mengeneinheiten und $p(x)$ den Preis pro Stück angibt.

Die Funktion kann mithilfe der beiden Punkte bestimmt werden.

1. Variante: Wir setzen die Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ in die Funktionsgleichung ein und berechnen $k$ und $d$, indem wir das Gleichungssystem lösen (hierbei eignet sich z. B. das Additionsverfahren): $$p(x)=k\cdot x+d$$

1. Punkt: $I:\ \ 3.75= k\cdot 5+d$

2. Punkt: $\underline{II:2.50=k\cdot 10+d\ \ "-"}$

$$\ \ \ \ 1.25=-5\cdot k\ \ \ \rightarrow k=-0.25 \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir die Preisfunktion $p$ mit $$p(x)=-0.25x+5$$

Bestimmung der Funktionsgleichung mithilfe des Steigungsdreiecks.

2. Variante: Da es sich um eine lineare Funktion handelt, kann $k$ auch mithilfe des Steigungsdreiecks bei den Punkten $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ ermittelt werden: $$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{2.50-3.75}{10-5}=-0.25$$ Somit ist $k=-0.25$. Um $d$ zu berechnen, setzt man einen der beiden Punkte und $k$ in die Funktionsgleichung ein: Punkt $(5\vert 3.75)$ und $k=-0.25$ in $p(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt ergeben: $$3.75=-0.25\cdot 5+d$$ $$\rightarrow 3.75+1.25=d \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir: $$p(x)=-0.25\cdot x+5$$

• Nun bestimmen wir mit der Preisfunktion den Höchstpreis und die Sättigungsmenge:

Höchstpreis: $p(0)=d=5$.

Der Höchstpreis beträgt $5€$ pro Mengeneinheit.

Sättigungsmenge: $p(x)=0$

$$0=-0.25x+5$$ $$-5=-0.25x$$ $$x=20$$

Die Sättigungsmenge beträgt somit $20$ Mengeneinheiten.

Preisfunktion mit Höchstpreis und Sättigungsmenge

• Die Erlösfunktion erhalten wir mit:

$$E(x)=x\cdot p(x)$$ $$E(x)=x\cdot (-0.25x+5$$ $$E(x)=-0.25x^2+5x$$

Graphen der Preis- und Erlösfunktion

• Die Nullstellen ermitteln wir, indem wir die Erlösfunktion gleich null setzen:

$$0=E(x)$$ $$0=-0.25x^2+5x$$ Durch herausheben von $x$, Quadkom oder den Löse-Befehl erhalten wir $x_1=0$ und $x_2=20$.

• Nun bestimmen wir den maximalen Erlös:

1. Variante: Mithilfe der Eigenschaften einer quadratischen Funktion.

Die Erlösfunktion $E$ mit $E(x)=-0.25x^2+5x$ ist eine quadratische Funktion mit $2$ Nullstellen. Wie jede quadratische Funktion hat sie aufgrund ihrer Symmetrie ihren Scheitelpunkt (Extremstelle) genau zwischen den beiden Nullstellen. $$x_{max}=\frac{0+20}{2}=10$$ Das Erlösmaximum befindet sich somit bei $x=10$ Mengeneinheiten. Der Erlös beträgt $E(10)=25$ Geldeinheiten.

2. Variante: Mithilfe des Maximum-Befehls (siehe Ti-Taschenrechner bzw. GeoGebra). Das Ergebnis siehst du in der rechten Abbildung

Erlösfunktion mit Erlösmaximum

3. Variante: Mithilfe der Differentialrechnung. Für ein Maximum muss gelten, dass $f'(x)=0$ und $f''(x)<0$ ist: $$E'(x)=-0.5x+5$$ $$0=-0.5x+5\ \ \ \rightarrow x=10$$ Und nun zur 2. Ableitung: $$E''(x)=-0.5$$ $$ E''(10)=-0.5<0 \ \ \ \rightarrow HP$$ Somit befindet sich bei $x=10$ ein Hochpunkt und der Erlös an dieser Stelle beträgt $E(10)=25$.

Bestimmen des Grenzerlöses

$$E'(5)=-0.5\cdot 5+5$$ $$E'(5)=2.5 \textrm{ GE pro Mengeneinheit}$$

Interpretation: Produziert man statt fünf Mengeneinheiten noch eine zusätzliche sechste, so steigt der Erlös (ungefähr) um $2.5$ Geldeinheiten.

Graph der Kostenfunktion $K$

a) Die Kostenfunktion lautet $K(x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$. Der konstante Term gibt die Fixkosten an, der Term mit den $x$ gibt die variablen Kosten an:

• Fixkosten: $10$
• Variable Kosten: $0.017x^3−0.38x^2+3.3x$

b) Gefragt sind die Kosten bei $x=12$ ME und gesucht ist $K(12)$: $$K(12)=0.017\cdot 12 ^3−0.38 \cdot 12^2+3.3\cdot 12+10=24.256 \textrm{ GE}$$

c) Die Kosten betragen $K(x)=60$ und gesucht ist $x$: $$60=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$$ Mithilfe von Technologie (siehe TI-Befehle bzw. GeoGebra) erhalten wir: $$x=20$$ A: Bei einer Produktion von $20$ ME fallen Kosten von $60$ GE an.

$$K(x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$$ $$K'(x)=0.051x^2-0.76x+3.3$$ $K'(x)$ gibt uns die Grenzkostenfunktion an. Nun müssen wir nur noch die Grenzkosten bei $20$ ME, d. h. $K'(20)$ bestimmen: $$K'(20)=0.051\cdot 20^2-0.76\cdot 20+3.3$$ $$K'(20)=8.5\textrm{ GE/ME} $$ Die Grenzkosten bei einer Produktionsmenge von $x=20$ ME betragen $8.5$ GE/ME.

Interpretation: Bei einer Produktion von $20$ Mengeneinheiten fallen für eine zusätzlich produzierte $21$. Mengeneinheit Kosten von ca. $8.5$ GE/ME an.

$$K(x)=0.017x^3 - 0.38x^2 + 3.3x + 10$$ $$\bar{K}(x)=\frac{0.017x^3 - 0.38x2 + 3.3x + 10}{x}$$ $$\bar{K}(x)=0.017x^2 - 0.38x + 3.3 +\frac{10}{x}$$ $$\bar{K}(x)=0.017x^2 - 0.38x + 3.3+10x^{-1}$$

Nun berechnen wir das Minimum der Stückkostenfunktion. Entweder mit dem Minimumbefehl (TI-Befehle,GeoGebra) oder (wie hier) mithilfe der Differentialrechnung (siehe Ableitung bestimmen bzw. Kurvendiskussionen):

Graph der Stückkostenfunktion

Um das Minimum zu berechnen, ermitteln wir zuerst $\bar{K}'(x)$ und setzen dies dann gleich $0$: $$\bar{K}'(x)=0.034x - 0.38 -10x^{-2}$$ $$0=0.034x - 0.38 -10x^{-2}\ \ \ \ \vert \cdot x^2$$ $$0=0.034x^3-0.38x^2-10$$ Diese Gleichung löst man am besten graphisch (siehe TI-Befehle bzw. GeoGebra) oder mit dem Löse-Befehl (siehe TI-Befehle bzw. GeoGebra) und erhält: $$x_{opt}=12.93$$

Antwort: Das Betriebsoptimum liegt bei $12.93$ Mengeneinheiten.

Die dazugehörenden Stückkosten, die sogenannte langfristige Preisuntergrenze, liegen bei: $$\bar{K}(x_{opt})=\bar{K}(12.93)= 2 \textrm{ GE pro ME}$$

$$K_v (x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x$$

• daraus erhalten wir die variable Stückkostenfunktion

$$\bar{K_v}(x)=\frac{0.017x^3−0.38x^2+3.3x}{x}=0.017x^2−0.38x+3.3$$

• Nun müssen wir für das Betriebsminimum nur noch das Minimum der Stückkostenfunktion bestimmen:

$$\bar{K_v}(x)=0.017x^2−0.38x+3.3$$ $$\bar{K_v}'(x)=0.034x-0.38$$ $$0=0.034x-0.38\ \rightarrow \underline{\underline{x_{min}= 11.18} }$$ Das Betriebsminimum liegt somit bei $11.18$ Mengeneinheiten.

Zuletzt berechnen wir noch die kurzfristige Preisuntergrenze $\bar{K_v}(x_{min})$: $$\bar{K_v}(x)=0.017x^2−0.38x+3.3$$ $$\bar{K_v}(11.18)=0.017\cdot 11.18^2−0.38\cdot 11.18+3.3$$ $$\underline{\underline{\bar{K_v}(x)=1.18} }$$ Die kurzfristige Preisuntergrenze beträgt somit $1.18$ GE und wird erreicht, wenn $x_{min}=11.18$ ME produziert werden.

$$ G(x)=E(x)-K(x)$$ $$G(x)=x\cdot (-0.25x+5)-(0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10)$$ $$G(x)=-0.25x^2+5x-0.017x^3+0.38x^2-3.3x-10$$ $$\underline{G(x)=-0.017x^3+0.13x^2+1.7x-10}$$

b) Der Gewinnbereich ist jener Bereich, wo $G(x)\geq 0$ gilt. Somit bestimmen wir zuerst die Nullstellen mit $G(x)=0$. $$G(x)=-0.017x^3+0.13x^2+1.7x-10$$ $$0=-0.017x^3+0.13x^2+1.7x-10$$ Mithilfe von Technologie (für den TI-Taschenrechner eignet sich hier der zero-Befehl) erhalten wir: $$\underline{x_1=5.22 \textrm{ und } x_2=11.90}$$ Somit ist der Gewinnbereich das Intervall $[5.22;11.90]$.

c) Das Gewinnmaximum erhalten wir, indem wir den Hochpunkt der Gewinnfunktion bestimmen. Somit müssen wir zuerst die erste Ableitung bestimmen und dann die Gleichung $G'(x)=0$ lösen: $$G(x)=-0.017x^3+0.13x^2+1.7x-10$$ $$G'(x)=-0.051 x² + 0.26x + 1.7$$ $$0=-0.051 x² + 0.26x + 1.7$$ Lösen wir die quadratische Gleichung (z. B. mit der großen Lösungsformel oder mit Quadkom), so erhalten wir: $$x_1=-3.76 \textrm{ und } x_2=8.86$$ Da eine negative Menge für den maximalen Gewinn nicht infrage kommt, bleibt nur noch $x_2=8.86$ als mögliche Stelle für das Gewinnmaximum übrig. Ob sich hier wirklich ein Hochpunkt befindet, können wir z. B. mithilfe der 2. Ableitung herausfinden: $$G''(x)=-0.102 x + 0.26 $$ $$G''(8.86)=-0.102 8.86 + 0.26 <0 \rightarrow \textrm{ Hochpunkt}$$ Somit befindet sich der maximale Gewinn bei $x_{max}=8.86$ ME. Der maximale Gewinn beträgt: $$G(x_{max})=G(8.86)=-0.017\cdot 8.86^3+0.13\cdot 8.86^2+1.7\cdot 8.86-10=3.44\textrm{ GE}$$

d) Mithilfe des Gewinnbereichs und des Gewinnmaximums bei $(8.86\vert 3.44)$ und ein paar weiterer berechneter Punkte (siehe Wertetabelle) erhalten wir den Graphen der Gewinnfunktion:

Graph der Gewinnfunktion mit Gewinnbereich, dem Break-even-Point und dem Gewinnmaximum

Tangente an die Gewinnfunktion bei x=7

e) Zeichnet man die Tangente an die Gewinnfunktion bei $x=7$ und anschließend das Steigungsdreieck ein, so erhält man eine Steigung von ca. $1$.

Rechnerisch erhalten wir die Steigung mithilfe der 1. Ableitung an der Stelle $x=7$: $$G'(x)=-0.051 x² + 0.26x + 1.7$$ $$G'(7)=1.02$$ Erhöht man die Produktionsmenge bei $x=7$ um eine weitere Einheit, so beträgt der zusätzliche Gewinn ca. $1.02$ GE (= Grenzgewinn bei $x=7$).

In den Graphen der Preisfunktion $p$ wurde der Cournot'sche Punkt eingezeichnet.

a) Indem wir für $x_{max}=8.86$ in die Preisfunktion einsetzen, erhalten wir den passenden Preis: $$p(8.86)=−0.25\cdot 8.86+5$$ $$p(8.86)=2.785$$ Der maximale Gewinn wird bei einem Preis von $2.785$ GE/ME erreicht.

b) Die Koordinaten des Cournot'schen Punktes lauten $$P(x_{max}\vert p(x_{max})=(8.86\vert 2.785))$$ Dieser kann im Graphen der Preisfunktion markiert werden (siehe Abbildung rechts).