Umkehraufgaben
Bei den Kurvendiskussionen haben wir immer mithilfe einer gegebenen Funktion ihre Eigenschaften (Nullstelle, Extremwerte, ...) bestimmt. In diesem Kapitel machen wir es nun umgekehrt. Wir kennen nun gewisse Eigenschaften einer Funktion und wollen damit die unbekannte Funktionsgleichung bestimmen.
Theorie
| Formulierungen im Text | mathematische Übersetzung |
|---|---|
| Der Punkt $P(a\vert b)$ liegt auf dem Graphen der Funktion.
Der Graph der Funktion $f$ verläuft durch $P(a\vert b)$. |
$$f(a)=b$$ |
| Die Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle $x=a$.
Die Nullstelle der Funktion $f$ befindt sich bei $N(a|0)$. |
$$f(a)=0$$ |
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ ein Extremum. | $$f'(a)=0$$ |
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ einen Wendepunkt. | $$f''(a)=0$$ |
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ die Steigung k.
Die Funktion $f$ ist an der Stelle $x=a$ parallel zur Geraden $g: y=k\cdot x+d$ |
$$f'(a)=k$$ |
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ den Steigungswinkel $\alpha$ | $$f'(a)=\tan \alpha$$ |
| Die Funktion $f$ berührt an der Stelle $x=a$ die Gerade $y=k\cdot x+d$ | $$f'(a)=k$$
und $$f(a)=k\cdot a+d$$ |
Musterbeispiele
Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 2 geht durch den Punkt $P=(0\vert 3)$ und hat den Tiefpunkt bei $(3\vert -2)$. Ermittle eine Termdarstellung.
$$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$ Da wir später die 1. Ableitung verwenden müssen, berechnen wir sie gleich: $$f'(x)=2a\cdot x+b$$ Insgesamt haben wir 3 Unbekannte zu bestimmen: $a, b$ und $c$. Somit brauchen wir 3 Gleichungen:
1. Gleichung:
"Der Graph ... geht durch den Punkt $(0\vert 3)$"$\rightarrow f(0)=3$ $$I:\ f(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=3$$ $$I:\ c=3$$
2. Gleichung:
"... hat den Tiefpunkt $(3\vert -2)$" $\rightarrow$ somit liegt auch der Punkt $(3\vert -2)$ auf dem Graphen $\rightarrow f(3)=-2$ $$II:\ f(3)=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=-2$$ $$II:\ 9a+3b+c=-2$$
3. Gleichung:
"... hat den Tiefpunkt $(3\vert -2)$" $\rightarrow f'(3)=0$ $$III:\ f'(3)=2a\cdot 3+b=0$$ $$III:\ 6a+b=0$$
Lösen des Gleichungssystems:
Somit lautet das Gleichungssystem:
$I:\ c=3$
$II:\ 9a+3b+c=-2$
$III:\ 6a+b=0$
Indem wir das Gleichungssystem lösen erhalten wir: $$a=0.56; b=-3.33; c=3$$ Somit lautet die Funktionsgleichung: $$\underline{\underline{f(x)=0.56\cdot x^2-3.33\cdot x+3} }$$
Graph mit den Punkten
Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1 und hat den Wendepunkt $W=(3\vert 4)$. Berechne die Termdarstellung.
Zuerst bestimmen wir die 1. und 2. Ableitung, da wir diese gleich brauchen werden: $$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$$ $$f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$$ $$f''(x)=6\cdot a\cdot x+2\cdot b$$
1. Gleichung:
"Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1"$\rightarrow P(1\vert 0)$ liegt auf dem Graphen $\rightarrow f(1)=0$ $$I:\ f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=0$$ $$I:\ a+b+c+d=0$$
2. Gleichung:
"Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 berührt die x-Achse bei x=1" $\rightarrow $ die Steigung ist hier 0 $\rightarrow f'(1)=0$. $$II:\ f'(1)=3a\cdot 1^2+2b\cdot 1+c=0$$ $$II:\ 3a+2b+c=0$$
3. Gleichung:
"...hat den Wendepunkt $W=(3\vert 4)$"$\rightarrow f(3)=4$ $$III:\ f(3)=a\cdot 3^3+b\cdot 3^2+c\cdot 3+d=4$$ $$III:\ 27a+9b+3c+d=4$$
4. Gleichung:
"...hat den Wendepunkt $W=(3\vert 4)$"$\rightarrow $ die Krümmung ist 0 bei x=3 $\rightarrow f''(3)=0$ $$IV:\ f''(3)=6a\cdot 3+2b=0$$ $$IV:\ 18a+2b=0$$
Lösen des Gleichungssystems:
Nun müssen wir nur noch das Gleichungssystem mit den 4 Gleichungen lösen:
$I:\ a+b+c+d=0$
$II:\ 3a+2b+c=0$
$III:\ 27a+9b+3c+d=4$
$IV:\ 18a+2b=0$
Und erhalten: $\rightarrow a=-0.25 ;b=2.25;c=-3.75;d=1.75$ Somit lautet die Funktionsgleichung: $$\underline{\underline{f(x)=-0.25\cdot x^3+2.25 \cdot x^2-3.75 \cdot x+1.75} }$$
Graph mit den Punkten
Der Graph einer Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung. Die Tangente im Ursprung hat eine negative Steigung und schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel von 135° ein. Im Punkt $(1\vert 5)$ hat die Tangente die Steigung 14.
$$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$$ $$f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$$
1. Gleichung:
"... geht durch den Ursprung"$\rightarrow P(0\vert 0)$ liegt auf dem Graphen $\rightarrow f(0)=0$ $$I:f(0)=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d$$ $$\underline{I:\ d=0}$$
2. Gleichung:
"Die Tangente im Ursprung hat eine negative Steigung und schließt mit der positiven x-Achse einen Winkel von 135° ein."$\rightarrow f'(0)=$ $k=\tan(135°)$
$$II:\ f'(0)=3a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=\tan(135°)$$ $$ \underline{II:\ c=-1}$$
3. Gleichung:
"Im Punkt $(1\vert 5)$ ..." $\rightarrow f(1)=5$ $$III:\ f(1)=a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=5$$ $$\underline{III:\ a+b+c+d=5}$$ Hinweis: Da wir schon aus der Gleichung I wissen, dass d=0 ist, könnten wir auch einfach $a+b+c=5$ schreiben!
4. Gleichung:
"Im Punkt $(1\vert 5)$ hat die Tangente die Steigung 14"$\rightarrow f'(1)=14$ $$IV:\ f'(1)=3\cdot a\cdot 1^2+2\cdot b\cdot 1+c=14$$ $$\underline{IV:\ 3a+2b+c=14}$$ Hinweis: Hier verwenden wir die Tatsache, dass die Steigung des Graphen an einer Funktion gerade der Steigung der Tangente an dieser Stelle entspricht.
Lösen des Gleichungssystems:
Somit lautet das Gleichungssystem
$I:\ d=0$
$II:\ c=-1$
$ III:\ a+b+c+d=5 $
$ IV:\ 3a+2b+c=14 $
Lösen wir dieses Gleichungssystem, so erhalten wir: $a=3; b=3; c=-1; d=0$
Damit lautet der gesuchte Term für $f(x)$:
$$\underline{\underline{f(x)=3x^3+3x^2-x} }$$
? $\ $ Quiz zum Thema Umkehraufgaben
Beispiele
- $Bifie$ Wasserstrahl (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Nullstelle
- $Bifie$ Minirampe (mittel)
- Hier brauchst du auch Wissen über Kurvendiskussionen sowie über Steigung und Steigungswinkel und über Integration (Aufgabe a)
- $Bifie$ Ortsumfahrung (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Quadratische Funktionen und Bestimmen der Tangentengleichung
- $Bifie$ Schispringen (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Quadratische Funktionen und Bestimmen der Tangentengleichung
