Rentenrechnung

Inhaltsverzeichnis

1 Definition: Rente
2 Begriffe
3 Musterbeispiel
4 Formeln
5 Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente
6 Musterbeispiel einer unterjährigen Rente
7 Musterbeispiel für eine Rentenrechnung mit Restbetrag
8 Musterbeispiel mit Anzahlung + Rente + Restwert (Leasing)
9 TVM-Solver (Rechnen im TR)
10 Finanzmathematik-Befehle für GeoGebra
11 Beispiele

Definition: Rente

Definition

Unter einer Rente versteht man Einzahlungen, die

in gleichen Zeitabständen
UND
immer in gleicher Höhe

getätigt werden. Die Einzahlungen werden als Raten (R) bezeichnet.

Beispiele einer Rente sind:

Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
"Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

Begriffe

Neben der Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird) unterscheidet man folgende Punkte:

Unterscheidungsmerkmal	Anfang	Ende
Zeitpunkt der Einzahlung	vorschüssig = am Anfang der Zahlungsperiode	nachschüssig = am Ende der Zahlungsperiode
Zeitpunkt des Gesamtwertes	Barwert = Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)	Endwert = Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
Einzahlungsperiode	Ganzjährige Rente =Einzahlungen erfolgen jährlich	Unterjährige Rente = Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).

!Wichtig! Bei unterjährigen Renten muss der äquivalente Zinssatz berechnet werden.

Musterbeispiel

Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren (ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer KESt von 25%.

Lösung

Gegeben und Gesucht
- Rate R=1200
- nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
- ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
- $i=4\%$
  $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\ \rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
- Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat)
Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$
Antwortsatz
Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

Formeln

Sei

$ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen

$ r\dots $ der (äuqivalente) Aufzinsungsfaktor

$ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$

	vorschüssig	nachschüssig
Endwert	$$E=R\cdot r\cdot\frac{r^n-1}{r-1}$$	$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$
Barwert	$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$	$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$

Herleitung der Formeln

Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$ Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich. Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann erhält man den Endwert, indem man alle Einzahlung auf das Ende verzinst und dann zusammenaddiert:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$ wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Dies ist nun eine sogenannte geometrische Reihe, da jeder Summand sich nur durch die Multiplikation mit r unterscheidet. Unter folgendem Link findest du die Herleitung der für die geometrische Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: Herleitung der Endwertformel

In der Notation des offiziellen Formelheftes für die Matura lautet die Formeln folgendermaßen (wobei q=r ist):

	vorschüssig	nachschüssig
Endwert	$$E=R\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$$	$$E=R\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$$
Barwert	$$B=R\cdot\frac{q^n-1}{q-1} \cdot \frac{1}{q^{n-1} }$$	$$B=R\cdot \frac{q^n-1}{q-1}\cdot \frac{1}{q^n }$$

Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente

Angabe: Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme den nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die KESt von 25%.

b) Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate.

Lösung a)

$R=1000$
$i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
$n=15$
vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
$E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir: $$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$ $$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$ $$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

Lösung b)

Der Satz "die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg): $$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$ $$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$ $$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben. Das angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert am ANFANG der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$ der neue Barwert.

$B=E_{20}=22208.07$
$n=20$
$r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
$R=?$
vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir: $$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$ $$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$ $$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R $$ $$ \frac{22208.07\cdot (0.97087-1)}{(0.97087^{20}-1)}=R $$ $$ \underline{\underline{1449.25=R}}$$

Antwort: Frau Aah kann 20 Jahre lang € 1449.25 abheben.

FN (N =20, I% = 3, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn)

Musterbeispiel einer unterjährigen Rente

Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss zuerst der passende äquivalente Zinssatz berechnet werden.

z.B.: Wird monatlich eingezahlt, so brauchen wir den (äquivalenten) Monatszinssatz $i_{12}$.

Angabe: Frau Des nimmt einen Kredit von € 15000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.

Lösung

$B=15000$
$n=10\cdot 12=120$
$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
nachschüssig
$R=$?

Durch Verwendung der nachschüssigen Barwertformel ergibt sich:

$\begin{align} B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) && \textrm{und} : (v\cdot (v^{120}-1))\\ \end{align}$

$\begin{align} \frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&&=R &&\\ \end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatlich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = -15000, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END)$\rightarrow$ PMT=158.29
Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1!
(Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = -15000, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END)$\rightarrow$ PMT= 158.29)

Musterbeispiel für eine Rentenrechnung mit Restbetrag

Auf Petras Sparbuch befindet sich momentan ein hoher Geldbetrag, von dem sie die nächsten 16 Jahre lang jährlich nachschüssig je € 1000 abheben könnte. (i=5 % p.a.)

Berechne, wie oft sie dafür statt € 1000 insgesamt € 2000 jedes Halbjahr abheben könnte.
Ermittle zusätzlich, wie hoch der Restbetrag ist, der zeitgleich mit der letzten Vollrate fällig ist.

Händische Berechnung

Berechnung mit dem TVM-Solver

1. Zuerst berechnen wir den Barwert von Petras 16 nachschüssigen Abhebungen (= wie viel hat sie heute auf dem Konto, um 16 Mal € 1000 abzuheben)

B=?,
nachschüssig,
R=1000,
n=16,
i=5 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05$\rightarrow$ v=0.95…

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^{16}-1}{v-1} $$ $$\underline{\underline{B=10.837.77}}$$

TVM-Solver:

N=16,
i=5,
PV=? $\rightarrow \underline{\underline{PV=10.837.77}}$
PMT=-1000 (Minus, da sie 1000 abhebt),
FV=0 (da € 0 auf dem Konto bleiben),
P/Y=1,
C/Y=1,
End

2. Nun berechnen wir, wie oft Petra von den 10837.77 die € 2000 jedes halbe Jahr abheben kann. Gefragt ist also das n.

!Achtung! Wenn mehrmals im Jahr abgehoben wird (=unterjährige Rente), brauchen wir beim händischen Rechnen den konformen Aufzinsungsfaktor $r_m$ In diesem Fall brauchen wir r_2, da jedes halbe Jahr abgehoben wird.

B=10837.77
R=2000
n=?
r=1.05 $\rightarrow r_2=\sqrt{1.05}=1.02469…\rightarrow v_2=\frac{1}{r_2}=0.975$…

$$B=R\cdot v_2\cdot \frac{(v_2)^n-1}{v_2-1} \ \ \rightarrow n=5.89$$

Somit kann sie 5 Vollraten abheben, für die 6. Rate reicht es gerade nicht mehr aus (dies sind die 0.89)

Beim TVM-Sover brauchen wir den konformen Zinssatz nicht. Hier reicht es, für P/Y (=Zahlungen pro Jahr, Payments per Year) den Wert 2 einzusetzen:

N=? $\rightarrow N=5.89$
i=5
PV=10837.77 (Wert von vorher drinnen stehen lassen)
PMT=-2000
FV=0
P/Y=2 (da 2mal im Jahr abgehoben wird)
C/Y=1
End

3. Zuletzt berechnen wir den Restbetrag, jenen Betrag, der bei der letzten Abhebung von € 2000 noch auf dem Konto bleibt. Die folgende Graphik soll den Sachverhalt verdeutlichen.

Darstellung aller Auszahlungen (rot)

Sei B_5 der Barwert der 5 Auszahlungen von € 2000, dann kann die obige Abbildung mithilfe des Äquivalenzprinzips folgendermaßen angeschrieben werden:

$$ 10837.77 = B_5 +\frac{ \textrm{Restbetrag}}{(r_2)^5}$$ Zusätzlich erhält man $B_5$ mithilfe der nachschüssigen Barwertformel $ B_5=R\cdot v_2 \cdot \frac{(v_2)^5-1}{v_2-1} $, wobei $R=2000$ und $v_2=0.975…$ (siehe oben) ist. Dadurch erhält man: $$ B_5=9299.82$$ Der Barwert aller Abhebungen in den 5 Semestern beträgt 9299.82. Daraus ergibt sich für den Restbetrag, dass $$ B=B_5+\frac{Restbetrag}{(r_2)^5} $$ $$ 10837.77= 9299.82+\frac{Restbetrag}{(r_2)^5} $$ $$ \frac{Restbetrag}{(r_2)^5} =1537.95 $$ $$\underline{\underline{Restbetrag=1737.46}}$$

Somit wird am Ende ein Restbetrag von zusätzlich € 1737.46 abgehoben.

Alternativ hätte auch alles auf das Ende des 5. Semesters aufgezinst werden können. Hier hätten wir ebenfalls 1737.46 erhalten.

Wir wollen also wissen, wie viel am Ende (=FV=Restbetrag) noch auf dem Konto bleibt, wenn wir 5 Mal (N=5) abgehoben haben:

N=5
i=5
PV= 10837.77

PMT= -2000

FV=? $\rightarrow FV=1737.46$
P/Y=2
C/Y=1
End

Somit beträgt der Restbetrag noch € 1737.46, die mit der letzten Rate ebenfalls abgehoben werden.

Musterbeispiel mit Anzahlung + Rente + Restwert (Leasing)

Anna plant ein Fahrzeug im Wert von € 21000 zu leasen. Der Händler macht ihr dabei das folgende Angebot: Sie muss € 5000 als Anzahlung sofort überweisen und die nächsten 36 Monate nachschüssig eine bestimmte Monatsrate einzahlen. Nach den 36 Monaten beträgt der Restwert noch € 9000. Bestimmen Sie die Höhe der Rate, wenn mit einem Zinssatz von 3 % p.a. gerechnet wird.

Lösung:

Händische Berechnung

Berechnung mit dem TVM-Solver

Zuerst veranschaulichen wir die Zahlungen graphisch:

Darstellung der Aus- (rot) und Einzahlungen (grün)

Beim händischen Rechnen werden alle Zahlungen auf einen Zeitpunkt verzinst (siehe Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen). Hier wird nun alles auf das dritte Jahr (=36 Monate) aufgezinst (genauso gut könnte aber auch alles auf den Beginn abgezinst werden).

Aus der der Graphik ergibt sich damit die folgende Gleichung:

$$21000\cdot r^3=5000 \cdot r^3+ \textrm{Endwert der 36 nachschüssigen Monatsraten} + 9000 $$ $$ 21000\cdot 1.03^3=5000 \cdot 1.03^3+ R\cdot\frac{r_{12}^{36}-1}{r_{12}-1} + 9000 $$ wobei $r_{12}=\sqrt[12]{1.03}=1.002466$ der monatliche Aufzinsungsfaktor ist.

Mithilfe des Solve-Befehls erhält man: $$\underline{\underline{R=225.64}}$$

A: Die monatliche Rate liegt bei € 225.64.

TVM-Solver: