Kosten- und Preistheorie
Die folgenden zwei Videos zeigen geben dir eine Zusammenfassung aller wichtigen Punkte der Kosten- und Preistheorie. Details zu den einzelnen Begriffen findest du unterhalb der Videos.
Auflistung aller wichtigen Begriffe | Beispiel |
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Inhaltsverzeichnis
Preisfunktion der Nachfrage
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Die Preisfunktion der Nachfrage, auch „Nachfragefunktion“ oder „Preis-Absatz-Funktion“ genannt, gibt den Preis $p$ in Abhängigkeit der produzierten Menge $x$ an. |
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$ $
$$p_h=p(0)$$
$$p(x_S)=0$$
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Eine Firma kann von ihrem Produkt $5$ Mengeneinheiten verkaufen, wenn sie den Preis auf $3.75€$ pro Stück festlegt. Senkt sie den Preis auf $2.50€$ pro Stück, so kann sie $10$ Mengeneinheiten des Produktes verkaufen.
- Modellieren Sie die lineare Preisfunktion.
- Ermitteln Sie daraus den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.
- Zuerst stellen wir die lineare Preisfunktion der Form $p(x)=k\cdot x+d$ auf, wobei $x$ die Mengeneinheiten und $p(x)$ den Preis pro Stück angibt.
1. Variante: Wir setzen die Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ in die Funktionsgleichung ein und berechnen $k$ und $d$, indem wir das Gleichungssystem lösen (hierbei eignet sich z. B. das Additionsverfahren): $$p(x)=k\cdot x+d$$
- 1. Punkt: $I:\ \ 3.75= k\cdot 5+d$
- 2. Punkt: $\underline{II:2.50=k\cdot 10+d\ \ "-"}$
$$\ \ \ \ 1.25=-5\cdot k\ \ \ \rightarrow k=-0.25 \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir die Preisfunktion $p$ mit $$p(x)=-0.25x+5$$
2. Variante: Da es sich um eine lineare Funktion handelt, kann $k$ auch mithilfe des Steigungsdreiecks bei den Punkten $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ ermittelt werden: $$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{2.50-3.75}{10-5}=-0.25$$ Somit ist $k=-0.25$. Um $d$ zu berechnen, setzt man einen der beiden Punkte und $k$ in die Funktionsgleichung ein: Punkt $(5\vert 3.75)$ und $k=-0.25$ in $p(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt ergeben: $$3.75=-0.25\cdot 5+d$$ $$\rightarrow 3.75+1.25=d \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir: $$p(x)=-0.25\cdot x+5$$
- Nun bestimmen wir mit der Preisfunktion den Höchstpreis und die Sättigungsmenge:
- Höchstpreis: $p(0)=d=5$.
- Der Höchstpreis beträgt $5€$ pro Mengeneinheit.
- Sättigungsmenge: $p(x)=0$
$$0=-0.25x+5$$ $$-5=-0.25x$$ $$x=20$$
- Die Sättigungsmenge beträgt somit $20$ Mengeneinheiten.
Erlösfunktion
Allgemein
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Der Gesamterlös $E$ (auch Umsatz genannt) ergibt sich aus dem Produkt der verkauften Menge und dem dazugehörigen Preis:
$$E(x)=x\cdot p(x)$$ |
Gegeben ist die Preisfunktion $p$ mit $p(x)=-0.25x+5$.
- Stellen Sie die dazugehörige Erlösfunktion auf.
- Bestimmen Sie die sogenannten Erlösgrenzen, dies sind die Nullstellen der Erlösfunktion.
- Berechnen Sie den maximalen Erlös.
- Die Erlösfunktion erhalten wir mit:
$$E(x)=x\cdot p(x)$$ $$E(x)=x\cdot (-0.25x+5$$ $$E(x)=-0.25x^2+5x$$
- Die Nullstellen ermitteln wir, indem wir die Erlösfunktion gleich null setzen:
$$0=E(x)$$ $$0=-0.25x^2+5x$$ Durch herausheben von $x$, Quadkom oder den Löse-Befehl erhalten wir $x_1=0$ und $x_2=20$.
- Nun bestimmen wir den maximalen Erlös:
1. Variante: Mithilfe der Eigenschaften einer quadratischen Funktion.
Die Erlösfunktion $E$ mit $E(x)=-0.25x^2+5x$ ist eine quadratische Funktion mit $2$ Nullstellen. Wie jede quadratische Funktion hat sie aufgrund ihrer Symmetrie ihren Scheitelpunkt (Extremstelle) genau zwischen den beiden Nullstellen. $$x_{max}=\frac{0+20}{2}=10$$ Das Erlösmaximum befindet sich somit bei $x=10$ Mengeneinheiten. Der Erlös beträgt $E(10)=25$ Geldeinheiten.
2. Variante: Mithilfe des Maximum-Befehls (siehe Ti-Taschenrechner bzw. GeoGebra). Das Ergebnis siehst du in der rechten Abbildung
3. Variante: Mithilfe der Differentialrechnung. Für ein Maximum muss gelten, dass $f'(x)=0$ und $f''(x)<0$ ist: $$E'(x)=-0.5x+5$$ $$0=-0.5x+5\ \ \ \rightarrow x=10$$ Und nun zur 2. Ableitung: $$E''(x)=-0.5$$ $$ E''(10)=-0.5<0 \ \ \ \rightarrow HP$$ Somit befindet sich bei $x=10$ ein Hochpunkt und der Erlös an dieser Stelle beträgt $E(10)=25$.
Grenzerlös
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Der Grenzerlös $E'(x)$ gibt die (ungefähre) Zunahme/Abnahme des Erlöses an, wenn eine weitere Mengeneinheit produziert wird. |
- Bestimmen Sie den Grenzerlös der Erlösfunktion $E$ mit $E(x)=-0.25x^2+5x$ bei einer Menge von $x=5$ ME und interpretieren Sie das Ergebnis.
Hinweis!
Kostenfunktion
Definition und Aufbau der Kostenfunktion
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Die Gesamtkosten für die Produktion werden durch die Kostenfunktion $K$ angegeben. Die Kostenfunktion besteht dabei aus $2$ Termen:
$$K(x)=K_v (x)+F$$ $K_v (x)...$ variable Kosten (jene Kosten, die von der produzierten Menge $x$ abhängig sind) $F...$ Fixkosten, die auch bei einer Produktion von $0$ ME anfallen. |
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Typische Eigenschaften einer "ertragsgesetzlichen Kostenfunktion"
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Gegeben ist die Kostenfunktion $K$ mit
$$K(x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$$
a) Bestimmen Sie die Fixkosten und die variablen Kosten der Funktion.
b) Berechnen Sie die Kosten bei einer Produktion von $12$ ME. Geben Sie auch an, wie hoch die variablen Kosten sind.
c) Ermitteln Sie die Produktionsmenge, wenn Kosten von $60$ GE anfallen.
a) Die Kostenfunktion lautet $K(x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$. Der konstante Term gibt die Fixkosten an, der Term mit den $x$ gibt die variablen Kosten an:
- Fixkosten: $10$
- Variable Kosten: $0.017x^3−0.38x^2+3.3x$
b) Gefragt sind die Kosten bei $x=12$ ME und gesucht ist $K(12)$:
$$K(12)=0.017\cdot 12 ^3−0.38 \cdot 12^2+3.3\cdot 12+10=24.256 \textrm{ GE}$$
c) Die Kosten betragen $K(x)=60$ und gesucht ist $x$: $$60=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$$ Mithilfe von Technologie (siehe TI-Befehle bzw. GeoGebra) erhalten wir: $$x=20$$ A: Bei einer Produktion von $20$ ME fallen Kosten von $60$ GE an.
Grenzkosten
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Die Grenzkosten $K'(x)$ geben die (ungefähre) Zunahme/Abnahme der Kosten an, wenn eine weitere Mengeneinheit produziert wird. $K'(x)$ bezeichnet dabei die 1. Ableitung von $K(x)$. |
Bild mit Tangente und Steigungsdreieck
Gegeben ist die Kostenfunktion $$K(x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$$
- Bestimmen Sie die Grenzkosten bei einer Produktionsmenge von $20$ ME.
- Interpretieren Sie das Ergebnis.
$$K(x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$$ $$K'(x)=0.051x^2-0.76x+3.3$$ $K'(x)$ gibt uns die Grenzkostenfunktion an. Nun müssen wir nur noch die Grenzkosten bei $20$ ME, d. h. $K'(20)$ bestimmen: $$K'(20)=0.051\cdot 20^2-0.76\cdot 20+3.3$$ $$K'(20)=8.5\textrm{ GE/ME} $$ Die Grenzkosten bei einer Produktionsmenge von $x=20$ ME betragen $8.5$ GE/ME.
Interpretation: Bei einer Produktion von $20$ Mengeneinheiten fallen für eine zusätzlich produzierte $21$. Mengeneinheit Kosten von ca. $8.5$ GE/ME an.
Stückkostenfunktion, Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze
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Die Stückkosten $\bar{K}(x)$ geben die durchschnittlichen Kosten pro Stück (oder Mengeneinheit) an und berechnen sich, indem die Gesamtkosten durch die Stückzahlen dividiert werden, d. h. mit
$$\bar{K}(x)=\frac{K(x)}{x}$$ $x...$ Anzahl der produzierten Stückzahlen (oder Mengeneinheiten). $K(x)...$ Gesamtkosten $\bar{K}(x)...$ durchschnittliche Kosten pro Stück/Mengeneinheit |
Interessant bei den durchschnittlichen Kosten ist jene Stelle, bei der die Kosten pro Stück minimal sind. Diese Stelle nennt man das
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Betriebsoptimum $x_{opt}$
... ist jene Stelle, bei der die Stückkosten $\bar{K}(x)$ ein Minimum (Tiefpunkt) haben. Die dazugehörigen Stückkosten $\bar{K}(x_{opt})$ nennt man langfristige Preisuntergrenze (oder auch kostendeckender Preis). |
Gegeben ist die Kostenfunktion $K$ mit $$K(x)=0.017x^3 - 0.38x^2 + 3.3x + 10$$
- Berechnen Sie das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze.
$$K(x)=0.017x^3 - 0.38x^2 + 3.3x + 10$$ $$\bar{K}(x)=\frac{0.017x^3 - 0.38x2 + 3.3x + 10}{x}$$ $$\bar{K}(x)=0.017x^2 - 0.38x + 3.3 +\frac{10}{x}$$ $$\bar{K}(x)=0.017x^2 - 0.38x + 3.3+10x^{-1}$$
Nun berechnen wir das Minimum der Stückkostenfunktion. Entweder mit dem Minimumbefehl (TI-Befehle,GeoGebra) oder (wie hier) mithilfe der Differentialrechnung (siehe Ableitung bestimmen bzw. Kurvendiskussionen):
Um das Minimum zu berechnen, ermitteln wir zuerst $\bar{K}'(x)$ und setzen dies dann gleich $0$: $$\bar{K}'(x)=0.034x - 0.38 -10x^{-2}$$ $$0=0.034x - 0.38 -10x^{-2}\ \ \ \ \vert \cdot x^2$$ $$0=0.034x^3-0.38x^2-10$$ Diese Gleichung löst man am besten graphisch (siehe TI-Befehle bzw. GeoGebra) oder mit dem Löse-Befehl (siehe TI-Befehle bzw. GeoGebra) und erhält: $$x_{opt}=12.93$$
Antwort: Das Betriebsoptimum liegt bei $12.93$ Mengeneinheiten.
Die dazugehörenden Stückkosten, die sogenannte langfristige Preisuntergrenze, liegen bei: $$\bar{K}(x_{opt})=\bar{K}(12.93)= 2 \textrm{ GE pro ME}$$
Variable Stückkostenfunktion, Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze
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Die variablen Stückkosten $\bar{K_v}(x)$ geben die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück an.
$$\bar{K_v}(x)=\frac{K_v(x)}{x}$$ (Hinweis: $\bar{K_v}$ ist jener Term von $K(x)$ ohne die Fixkosten $F$). |
Auch hier interessieren wir uns für jene Stelle, an der die variablen Stückkosten minimal sind:
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Das Betriebsminimum $x_{min}$ ist jene Stelle, bei der die variablen Stückkosten minimal sind.
Die dazugehörenden variablen Stückkosten $\bar{K_v}(x_{min})$ werden kurzfristige Preisuntergrenze genannt. |
Gegeben ist die Kostenfunktion $K$ mit $$K(x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$$ Bestimmen Sie
- die variablen Kosten $K_v (x)$,
- die variable Stückkostenfunktion $\bar{K_v}(x)$ sowie
- das Betriebsminimum zusammen mit der kurzfristigen Preisuntergrenze.
$$K_v (x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x$$
- daraus erhalten wir die variable Stückkostenfunktion
$$\bar{K_v}(x)=\frac{0.017x^3−0.38x^2+3.3x}{x}=0.017x^2−0.38x+3.3$$
- Nun müssen wir für das Betriebsminimum nur noch das Minimum der Stückkostenfunktion bestimmen:
$$\bar{K_v}(x)=0.017x^2−0.38x+3.3$$ $$\bar{K_v}'(x)=0.034x-0.38$$ $$0=0.034x-0.38\ \rightarrow \underline{\underline{x_{min}= 11.18} }$$ Das Betriebsminimum liegt somit bei $11.18$ Mengeneinheiten.
Zuletzt berechnen wir noch die kurzfristige Preisuntergrenze $\bar{K_v}(x_{min})$: $$\bar{K_v}(x)=0.017x^2−0.38x+3.3$$ $$\bar{K_v}(11.18)=0.017\cdot 11.18^2−0.38\cdot 11.18+3.3$$ $$\underline{\underline{\bar{K_v}(x)=1.18} }$$ Die kurzfristige Preisuntergrenze beträgt somit $1.18$ GE und wird erreicht, wenn $x_{min}=11.18$ ME produziert werden.
Gewinnfunktion
Allgemein
Mithilfe des Erlöses (Umsatz) und der Kosten können wir nun den Gewinn berechnen:
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Sei $x$ die Menge der produzierten und zugleich verkauften Mengeneinheiten, dann erhält man den Gewinn $G$ aus
$$G(x)=E(x)-K(x)$$ Der Gewinn ergibt sich, wenn man vom Erlös die Kosten abzieht. |
Folgende Punkte sind bei der Analyse der Gewinnfunktion relevant:
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$ $
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Gegeben sind die Kosten- und die Preisfunktion eines Betriebes:
$$K(x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$$
$$p(x)=−0.25x+5$$
a) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion.
b) Bestimmen Sie den Gewinnbereich.
c) Berechnen Sie das Gewinnmaximum.
d) Fertigen Sie eine Skizze der Gewinnfunktion an und markieren Sie den Gewinnbereich, den Break-even-Point und das Gewinnmaximum.
e) Ermitteln Sie graphisch die Steigung der Gewinnfunktion bei $x=7$ ME. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis rechnerisch.
$$ G(x)=E(x)-K(x)$$
$$G(x)=x\cdot (-0.25x+5)-(0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10)$$
$$G(x)=-0.25x^2+5x-0.017x^3+0.38x^2-3.3x-10$$
$$\underline{G(x)=-0.017x^3+0.13x^2+1.7x-10}$$
b) Der Gewinnbereich ist jener Bereich, wo $G(x)\geq 0$ gilt. Somit bestimmen wir zuerst die Nullstellen mit $G(x)=0$.
$$G(x)=-0.017x^3+0.13x^2+1.7x-10$$
$$0=-0.017x^3+0.13x^2+1.7x-10$$
Mithilfe von Technologie (für den TI-Taschenrechner eignet sich hier der zero-Befehl)
erhalten wir:
$$\underline{x_1=5.22 \textrm{ und } x_2=11.90}$$
Somit ist der Gewinnbereich das Intervall $[5.22;11.90]$.
c) Das Gewinnmaximum erhalten wir, indem wir den Hochpunkt der Gewinnfunktion bestimmen. Somit müssen wir zuerst die erste Ableitung bestimmen und dann die Gleichung $G'(x)=0$ lösen:
$$G(x)=-0.017x^3+0.13x^2+1.7x-10$$
$$G'(x)=-0.051 x² + 0.26x + 1.7$$
$$0=-0.051 x² + 0.26x + 1.7$$
Lösen wir die quadratische Gleichung (z. B. mit der großen Lösungsformel oder mit Quadkom), so erhalten wir:
$$x_1=-3.76 \textrm{ und } x_2=8.86$$
Da eine negative Menge für den maximalen Gewinn nicht infrage kommt, bleibt nur noch $x_2=8.86$ als mögliche Stelle für das Gewinnmaximum übrig.
Ob sich hier wirklich ein Hochpunkt befindet, können wir z. B. mithilfe der 2. Ableitung herausfinden:
$$G''(x)=-0.102 x + 0.26 $$
$$G''(8.86)=-0.102 8.86 + 0.26 <0 \rightarrow \textrm{ Hochpunkt}$$
Somit befindet sich der maximale Gewinn bei $x_{max}=8.86$ ME. Der maximale Gewinn beträgt:
$$G(x_{max})=G(8.86)=-0.017\cdot 8.86^3+0.13\cdot 8.86^2+1.7\cdot 8.86-10=3.44\textrm{ GE}$$
d) Mithilfe des Gewinnbereichs und des Gewinnmaximums bei $(8.86\vert 3.44)$ und ein paar weiterer berechneter Punkte (siehe Wertetabelle) erhalten wir den Graphen der Gewinnfunktion:
e) Zeichnet man die Tangente an die Gewinnfunktion bei $x=7$ und anschließend das Steigungsdreieck ein, so erhält man eine Steigung von ca. $1$.
Rechnerisch erhalten wir die Steigung mithilfe der 1. Ableitung an der Stelle $x=7$: $$G'(x)=-0.051 x² + 0.26x + 1.7$$ $$G'(7)=1.02$$ Erhöht man die Produktionsmenge bei $x=7$ um eine weitere Einheit, so beträgt der zusätzliche Gewinn ca. $1.02$ GE (= Grenzgewinn bei $x=7$).
Der Cournot'sche Punkt
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Der Cournot'sche Punkt
Sei $x_{max}$ jene Menge, bei der der Gewinn maximal ist und $p(x_{max})$ der Preis bei dieser Menge. Dann bezeichnet der Punkt $(x_{max} \vert p(x_{max}))$ den Cournot‘schen Punkt. Dieser liegt auf dem Graphen der Preisfunktion $p$. |
Der Cournot'sche Punkt gibt somit an, bei welcher Menge der maximale Gewinn liegt und wie groß der Preis sein muss.
Der Preis ist gegeben durch die Preisfunktion $p$ mit
$$p(x)=−0.25x+5$$
Durch Analyse der Gewinnfunktion weiß das Unternehmen, dass der maximale Gewinn bei einer Menge von $x_{max}=8.86$ erzielt wird.
a) Berechnen Sie den dazugehörigen Preis pro Mengeneinheit, bei dem der maximale Gewinn erreicht wird.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Cournot'schen Punktes.
a) Indem wir für $x_{max}=8.86$ in die Preisfunktion einsetzen, erhalten wir den passenden Preis: $$p(8.86)=−0.25\cdot 8.86+5$$ $$p(8.86)=2.785$$ Der maximale Gewinn wird bei einem Preis von $2.785$ GE/ME erreicht.
b) Die Koordinaten des Cournot'schen Punktes lauten $$P(x_{max}\vert p(x_{max})=(8.86\vert 2.785))$$ Dieser kann im Graphen der Preisfunktion markiert werden (siehe Abbildung rechts).
Übungs- und Überblicksdokumente
? Arbeitsblatt zum lösen von Aufgaben (Kurt Söser) Wichtig!
Zusammenfassung aller wichtigen Begriffe der Kosten- und Preistheorie
Maturaaufgaben
Vorgerechnetes Video-Beispiel |
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- für Aufgabe a) benötigst du auch Wissen über die Umkehraufgaben
- für Aufgabe a) benötigst du auch Wissen über die Regression
- für Aufgabe a) benötigst du auch Wissen über die Regression
- für Aufgabe a) benötigst du auch Wissen über die Regression
- für c) benötigst du Wissen über die Kurvendiskussionen und das Bestimmen der Ableitungsfunktion
$Bifie$ Erweiterung der Produktionspalette
- für b) benötigst du Wissen über die Rentenrechnung
- für Aufgabe c) benötigst du auch Wissen über die Wahrscheinlichkeitsrechnung (5. Klasse)