Integration
- Überblickspräsentation
- Unbestimmtes Integral
- Idee der Integration
- Bestimmtes Integral
- Anwendung 1
- Anwendung 2
- Anwendung 3
- Technologieeinsatz
- Übungs- und Maturaaufgaben
Das unbestimmte Integral - Berechnung der Stammfunktion
Für fast jede uns bekannte Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation (siehe Äquivalenzumformungen). Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion.
Die passende Umkehroperation zum Differenzieren (Ableitungen bestimmen) ist die Integration.
Wir haben bereits gelernt, dass wir zu einer Funktion $f$ die Ableitungsfunktion $f'$ bestimmen können mithilfe der Ableitungsregeln.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff Stammfunktion.
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Stammfunktion
Die Funktion $F$ heißt Stammfunktion der Funktion $f$, wenn gilt: $$F'(x)=f(x)$$ Eine andere Schreibweise, die wir erst später rechtfertigen, ist: $$F(x)=\int f(x)\cdot dx$$ |
Musterbeispiel
$f(x)=2x$ | $\rightarrow$ | $F_1(x)=x^2$ $F_2(x)=x^2+3$ $F_3(x)=x^2-7.2$ |
weil $F_1'(x)=2x$ weil $F_2'(x)=2x$ weil $F_3'(x)=2x$ |
Alle diese Funktionen $F_1,\ F_2$ und $F_3$ sind Stammfunktionen von $f(x)=2x$, da die konstanten Zahlen durch das Ableiten wegfallen. Aus diesem Grund geben wir eine allgemeine Stammfunktion an:
Allgemeine Stammfunktion
$f(x)=2x \ \ \ \rightarrow \ \ \ F(x)=x^2+c$ mit $c\in$ $\mathbb{R}$. | weil $F'(x)=f(x) \leftrightarrow (x^2+c)'=2x$ |
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Integrationskonstante $c$
Die Integrationskonstante $c$ ist jener unbekannte konstante Term ($c\in$ $\mathbb{R}$) der Stammfunktion, der durch das Ableiten wieder wegfällt.
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Beispiele
$f(x)=5$
$f(x)=3x^2$
$f(x)=x^2$
$f(x)=5x+2$
Integrationsregeln
Regel | Bemerkung | |
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Potenzregel | $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$ | Exponent um $1$ erhöhen und mit dem neuen Exponenten dividieren.
Die Potenzregel gilt für alle Potenzen mit $n\neq -1$ |
Summenregel | $$\int [f(x)± g(x)]\,dx=\int f (x)\,dx±\int g (x)\,dx$$ | Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden einzeln integriert. |
Faktorregel | $$\int c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int f (x)\,dx$$ | Einen konstanten Faktor kann man herausheben. Dies gilt auch für Brüche. |
Regel für $\frac{1}{x}$ | $$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$ | Wobei $ln(x)$ der Logarithmus zur Basis $e$ ist.
Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}=x^{-1}$ |
Regel für die Exponentialfunktion $e^x$ | $$\int e^x=e^x+c$$ | Wie beim Ableiten ändert sich auch beim Integrieren nichts. |
Trigonometrische Funktionen | $$\int sin(x)\cdot dx=-cos(x)+c$$ $$\int cos(x)\cdot dx=sin(x)+c$$ |
Beispiele
Bestimmen Sie alle Stammfunktionen:
$f(x)=3.7$
$f(x)=2x+3$
$f(x)=-x+\frac{1}{2}$
$f(x)=\frac{x^2}{2}$
$f(x)=9x^2-8x+7$
$f(x)=\frac{1}{x}$
$f(x)=\frac{1}{x^2}+x^{-3}-\frac{5}{3}$
Interaktive Übungen
Quiz: Ableitungsfunktion/Stammfunktion (AN 3.1)
Zusatzmaterial
Die folgenden Materialien wurden von Schüler*innen der HLW Marienberg erstellt:
? $\ $ Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral
? $\ $ Zuordnungsaufgaben zu den Integrationsregeln
Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke
Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke
Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche
Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche
Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen
Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen
Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven
Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven
Übungs- und Maturaaufgaben
- ? Quiz-Aufgabe (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")
- $Bifie$ Volumenstrom (mittel-schwer-mittel)
- hierbei werden auch die Themen wie die momentane Änderungsrate und Umkehraufgaben benötigt.
- hier brauchst du auch Wissen über Kurvendiskussionen und über das Lösen von Gleichungssystemen bzw. Umkehraufgaben.
- $Bifie$ Wasserkanal (mittel-mittel-leicht)
- hier brauchst du auch Wissen über Kurvendiskussionen bzw. Steigung und Steigungswinkel sowie den Flächeninhalt eines Trapezes'.
- $Bifie$: Energieverbrauch beim Joggen (mittel)
- Welche Inhalte brauchst du hier noch: exponentielle Abnahme und Differenzen- und Differentialquotient.
- $Bifie$ Schmuckstück (leicht-mittel-mittel)
- Was brauchst du hier noch: Quadratische Funktionen bzw. Umkehraufgaben.
- Hier brauchst du auch Wissen über Kurvendiskussionen sowie über Steigung und Steigungswinkel und über Umkehraufgaben.