Beschreibende Statistik: Unterschied zwischen den Versionen

Begriffe

$n...$ Umfang der Stichprobe

$x_1...$ Zahl an der 1. Stelle

$x_i...$ Zahl an der $i.$ Stelle

$\{ x_1;x_2;.....;x_n \} ...$ Stichprobe (z. B. $\{ 1; 2; 5; 5; 5; 10;\}$ )

$a_1...$ erster Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_1=1$)

$a_4...$ vierter Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_4=10$)

$a_i...$ $i.$ Wert, der in der Stichprobe vorkommt

Arten von Merkmalen/Daten

Im Groben unterscheidet man zwischen $3$ Arten von Merkmalen:

• Nominale Merkmale können nicht sinnvoll durch eine Zahl beschrieben oder in eine Reihenfolge gebracht werden. Beispiele sind „Geschlecht“ und „Haarfarbe“.
• Ordinale Merkmale können in eine Reihenfolge gebracht werden, eignen sich aber nicht für Rechnungen (wie z. B. Addition). Beispiele sind „Platzierung bei einem Rennen“ und „Bildungsabschlüsse“.
• Metrische Merkmale können durch Zahlen beschrieben werden, mit denen man auch rechnen kann. Beispiele sind „Gehalt“, „Alter“ und „Schuhgröße“.

Absolute und relative Häufigkeit

Definition

Die absolute Häufigkeit $H_i$ gibt an, wie oft das $i-$te Element in der Stichprobe auftritt. Z. B.: In der Menge $\{ 1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl $2$ genau $H=3$, da die $2$ insgesamt dreimal vorkommt.

Aus der absoluten Häufigkeit kann man noch nicht darauf schließen, ob ein Merkmal wirklich häufig auftritt oder nicht, da es immer auch auf die Gesamtanzahl $n$ der untersuchten Werte ankommt.

So ist eine absolute Häufigkeit von $100$ für $n=150$ sehr groß, für $n=1$ Mrd. dagegen wohl eher klein.

In solchen Fällen ist es hilfreich zu wissen, wie viel Prozent der Gesamtmenge $n$ dieses Merkmal besitzen. Dies wird berechnet mit ...

Definition

Die relative Häufigkeit $h_i$ gibt an, mit wie viel Prozent ein Merkmal in Bezug auf die Gesamtmenge $n$ auftritt. Es gilt: $$h_i=\frac{H_i}{n}$$ Z. B.: In der Menge $\{1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl $2$ genau $H=3$, die relative Häufigkeit ergibt sich dann mit: $$h=\frac{H}{n}=\frac{3}{7}\approx 43\%$$

Diagramme

Säulen- und Balkendiagramm

In Säulendiagrammen gibt die $y$-Achse die absolute Häufigkeit (oder relative Häufigkeit) eines Merkmals auf der $x$-Achse an.

Säulendiagramm der Schuhgrößen

Bei Balkendiagrammen sind die Achsen vertauscht.

Balkendiagramm der Schuhgrößen

Histogramm

Analog zum Säulen- und Balkendiagramm können absolute Zahlen und Prozentsätze auch in einem Histogramm dargestellt werden. In beiden Fällen ist auf eine geeignete Beschriftung der Achsen zu achten. Im Unterschied zu einem Säulendiagramm entsprechen die absoluten oder relativen Häufigkeiten nun nicht mehr den Höhen der Säulen, sondern den rechteckigen Flächen der Säulen. Auf Zwischenräume bei den einzelnen Säulen kann auch verzichtet werden. Bei einem Histogramm mit Klasseneinteilung werden zuerst die Werte zu Klassen zusammengefasst, wobei möglichst gleich breite Klassen anzustreben sind. Für die Höhe der Rechtecke gilt: $$\text{Rechteckshöhe}=\frac{\text{absolute bzw. relative Häufigkeit}}{\text{Klassenbreite}}$$

Im Beispiel fassen wir die Schuhgrößen in Klassen mit der Klassenbreite $2$ zusammen und erstellen eine Häufigkeitstabelle.

Anhand der Daten aus der Tabelle lassen sich abschließend Histogramme mit absoluten bzw. relativen Häufigkeiten erstellen.

Histogramm mit absoluten Häufigkeiten

Histogramm mit relativen Häufigkeiten

Kreisdiagramm

Bei Kreisdiagrammen entspricht ein Kreissegment der relativen Häufigkeit eines Merkmals. Alle Kreissegmente zusammen (d. h. alle relativen Häufigkeiten) ergeben einen ganzen Kreis (d. h. $100 \%$).

Kreisdiagramm der Schuhgrößen

Merke

Kreisdiagramm mit 3d-Effekt Schummeln mit Kreisdiagrammen Bei dreidimensionalen Kreisdiagrammen erscheinen Segmente im hinteren Bereich kleiner als Segmente im vorderen Bereich. Deshalb sollte man auf den 3d-Effekt verzichten.

Boxplot (Kastenschaubild)

Boxplot-Diagramme geben einen Überblick über die Verteilung der Daten, indem Sie die Datenreihe in vier $25 \%$-Bereiche teilen. Hierbei bildet der Bereich zwischen den Quartilen den „Kasten“, von dem aus die Antennen zum minimalen und maximalen Wert gehen ($x_{min}$ und $x_{max}$).

Boxplot-Diagramm

Merke

In jedem der $4$ Bereiche eines Boxplot-Diagramms liegen ca. $25 \%$ aller Werte

Gegeben ist das folgende Boxplot-Diagramm, das aus den Daten der Schuhgrößen erstellt wurde.

Boxplot der Daten für die Schuhgrößen

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind und begründen Sie diese Entscheidung:

1. Die Anzahl der Werte zwischen $36$ und $37$ ist mit Sicherheit geringer als die Anzahl der Werte zwischen $42$ und $46$.
2. Weniger als $25 \%$ aller Werte sind kleiner oder gleich $42$.

$\ $

1. Falsch! Da jeder Bereich ca. $ 25 \%$ aller Werte umfasst, liegen in beiden Bereichen ungefähr gleich viele Werte.
2. Falsch! Es sind mindestens $75 \%$ aller Werte kleiner oder gleich $42$ (oder weniger als $25 \%$ aller Werte sind größer als $42$).

Hilfreiche GeoGebra-Applets

• Boxplot (Andreas Lindner): https://www.geogebra.org/m/n59E5Dtm
• Boxplot Game (Barbara Baker): https://www.geogebra.org/m/JRgG3xec
• Median und arithmetischer Mittelwert (Sandi Reichenberger): https://www.geogebra.org/m/hK3SSww7
• Sammlung von Statistik-Applets (Kurt Söser): https://www.geogebra.org/m/R2ABEB3M

Manipulieren von Liniendiagrammen

Die folgende Tabelle bildet die Grundlage für das Einführungsbeispiel:

Anzahl der im Straßenverkehr Getöteten in Österreich:

Quelle: Statistik Austria

Das entsprechende Liniendiagramm sieht folgendermaßen aus:

Die an sich schon beeindruckende Statistik kann aber durchaus noch beeindruckender dargestellt werden, indem verschiedene Manipulationsmöglichkeiten angewendet werden.

Gezielte Auswahl der Datenreihe

In den Jahren 1999 bis 2014 sind die Werte bis auf eine kleine Ausnahme immer gesunken. Diese Daten nehmen wir im folgenden Diagramm.

Verkürzung der $y$-Achse

Um das Sinken der Werte noch deutlicher zu machen, wird die $y$-Achse erst bei $400$ gestartet.

Schon beeindruckender, nicht?

Dehnen und Stauchen der Achsen

Eine einfache Art, die Steilheit des Graphen zu verändern, ist das Stauchen der $x$-Achse bzw. entsprechendes Dehnen der $y$-Achse.

Quiz: Beschreibende Statistik (WS 1.1-1.4)

Um „das Mittel“ zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Dabei hat jede Vor- und Nachteile:

Arithmetisches Mittel $\bar{x}$

Definition

Das arithmetische Mittel, auch Durchschnitt oder Mittelwert genannt, ist nur bei metrisch skalierten Merkmalen anwendbar und wird berechnet, indem man alle vorhandenen Werte addiert und die Summe dieser Werte dann durch die Gesamtanzahl der Werte dividiert.

Beachte: Es gibt Merkmale in Datenlisten, die eine Berechnung des arithmetischen Mittels unmöglich machen (z. B.: Augenfarben, Güteklassen, …). Auch bei Schulnoten, genauer zur Berechnung einer „Durchschnittsnote“, wird oftmals das arithmetische Mittel fälschlicherweise herangezogen. Schulnoten sind ausschließlich ordinal skaliert, denn die Abstände zwischen den Noten sind nicht genauer definiert.

Beispiel: Bei einem Test erzielten $5$ Teilnehmer*innen folgende Punktezahlen: $\{ 1;2;2;2;5\}$. Das arithmetische Mittel (= „Durchschnittspunktezahl“) ergibt: $$\bar{x}=\frac{1+2+2+2+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

Definition

Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ ist definiert als $$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$ $$(\text{Summe aller Werte dividiert durch die Gesamtanzahl})$$ Formal mithilfe des Summenzeichens: $$\bar{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i$$

Idee des arithmetischen Mittels als Schwerpunkt

Das gewichtete arithmetische Mittel

Sind bereits die absoluten oder relativen Häufigkeiten für das arithmetische Mittel bekannt, so kann auch eine der folgenden Formeln für das „gewichtete arithmetische Mittel“ verwendet werden:

Merke

Formel mit der absoluten Häufigkeit $$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$ $$(\text{Summe aller Werte mal deren absolute Häufigkeit dividiert durch die Gesamtanzahl})$$

Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der absoluten Häufigkeiten:

Gegeben sind die folgenden Punktezahlen: $\{ 1;2;2;2;5\} $. Zuerst erstellen wir die Häufigkeitstabelle:

Merke

Formel mit der relativen Häufigkeit $$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i $$ $$(\text{Summe aller Werte mal deren relative Häufigkeit})$$ Wichtig: Eine fast identische Formel wird später wieder für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable verwendet.

Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der relativen Häufigkeiten:

Gegeben sind die Punktezahlen $\{ 1;2;2;2;5\} $. Um das arithmetische Mittel zu berechnen, lesen wir die Werte sowie die relativen Häufigkeiten aus der Häufigkeitstabelle und setzen in die Formel ein:

Zusammenfassung

Welche Formel verwende ich für $\bar{x}$?

Ist Folgendes gegeben ... ... verwende ich diese Formel absolute Häufigkeiten $H_i$ $$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$ relative Häufigkeiten $h_i$ $$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i $$ weder $H_i$ noch $h_i$ $$\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

Neben dem arithmetischen Mittel gibt es nun noch einen weiteren wichtigen Zentralwert, den ...

Median $Q_2$ ($=$ mittleres oder 2. Quartil)

Definition

Sortiert man eine Datenliste der Größe nach, so ist der Median $Q_2$ der Wert in der Mitte der geordneten Liste. Liegen genau zwei Werte in der Mitte (was immer dann der Fall ist, wenn die Anzahl der Werte $n$ gerade ist), so ist $Q_2$ das arithmetische Mittel dieser beiden Werte. Formal: $\begin{align} &Q_2=x_{\frac{n+1}{2} }&& \textrm{ für ungerade $n$}\\ &Q_2=\frac{1}{2}\cdot \left(x_{\frac{n}{2} }+ x_{\frac{n}{2}+1 } \right)&& \textrm{ für gerade $n$}\\ \end{align}$

Beispiel für den Median

Gegeben ist die folgende Liste an Punktezahlen: $\{1;2;2;2;5\}$. Ermitteln Sie den Median $Q_2$.

Lösung: Insgesamt sind es $n=5$ Werte. Da die Liste bereits nach Größe geordnet ist, können wir den Median einfach ablesen:

Antwort: Der Median $Q_2$ ist der Wert an der dritten Stelle und somit $Q_2=2$.

$Aha!$ $\ $ Mithilfe dieses Applets kannst du die wichtigsten Eigenschaften des arithmetischen Mittels (Mittelwert) und des Medians noch einmal überprüfen.

Vorteil des Medians - Nachteil des arithmetischen Mittels

Vergleichen wir noch einmal das arithmetische Mittel und den Median unserer Liste $\{1; 2; 2; 2; 5\}$. $$\bar{x}=2.4 \textrm{ und } Q_2=2$$ Warum ist das arithmetische Mittel größer als der Median?

Antwort: Der Grund liegt darin, dass das arithmetische Mittel durch den „Ausreißer“ $5$ verzerrt wurde. Der Median hat sich dadurch nicht verändert.

Merke

Allgemein gilt: Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ kann durch einzelne Ausreißer stark beeinflusst werden. Der Median $Q_2$ wird davon in der Regel nicht beeinflusst. Hinweis: Als Ausreißer gelten Zahlen, die im Vergleich zu den anderen Werten sehr klein oder sehr groß sind.

$Aha!$ $\ $ Zur besseren Verdeutlichung kannst du dir dieses Arbeitsblatt ansehen (klicke dabei zuerst auf „Median“ und „Mittelwert“ und verändere dann die Zahlen).

Modus/Modalwert

Definition

Der Modus (auch Modalwert genannt) ist der häufigste Wert in einer Datenreihe (d. h. jener Wert mit der größten absoluten Häufigkeit). Beispiel: Gegeben ist die Datenreihe $\{1; 2; 2; 2; 5\}$. Dann ist der Modus gleich $2$, da $2$ mit einer absoluten Häufigkeit von $H=3$ erscheint.

Geometrisches Mittel

Das Geometrische Mittel wird verwendet, um einen „durchschnittlichen Faktor“ zu ermitteln. So kann damit beispielsweise der durchschnittliche Wachstumsfaktor oder die durchschnittliche Verzinsung berechnet werden.

Definition

Sind $r_1,\ ...,\ r_5$ verschiedene Wachstumsfaktoren, dann ist $$\bar{x}_{geo}=\sqrt[n]{r_1\cdot r_2\cdot r_3\dots r_n}$$ der durchschnittliche Wachstumsfaktor. Das Geometrische Mittel $\bar{x}_{geo}$ ist die $n$-te Wurzel aller $n$ Faktoren.

Streuung von Daten

Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, wie wir verschiedene Arten von Zentralmaßen bestimmen. Ein Zentralmaß allein sagt uns allerdings noch nicht viel über die Verteilung (= Streuung) der Werte aus.

In beiden Graphiken ist das arithm. Mittel $\bar{x}=1$, ....

... allerdings ist im linken Bild die Streuung der Werte eindeutig größer als im rechten Bild.

Beide Datenmengen in den Abbildungen haben denselben Mittelwert, aber unterschiedliche Streuungen. Die Werte im rechten Bild liegen näher um den Mittelwert $1$ als die Werte im linken Bild.

Aus diesem Grund lernen wir nun noch zusätzliche Kennzahlen für die Streuung von Werten kennen, um solche Datenmengen besser unterscheiden zu können.

Spannweite

Definition

Die Spannweite ist die Differenz (Abstand) zwischen dem kleinsten und dem größten Wert der Datenmenge. $$\text{Spannweite}=x_{max}-x_{min}$$

Beispiel: Gegeben sei die Datenliste $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme die Spannweite.

Lösung: $x_{max}=5;\ x_{min}=1$ $$\text{Spannweite}=x_{max}-x_{min}=5-1=4$$

Antwort: Die Spannweite beträgt $4$.

Varianz und Standardabweichung

Eine andere Möglichkeit, um die Streuung anzugeben wäre folgende: Wir berechnen den durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$. Diesen durchschnittlichen Abstand nennen wir Standardabweichung oder kurz $\sigma$ (= sigma).

Definition

Die Standardabweichung $\sigma$ ist ein Maß für die Abweichung aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$ und wird berechnet mit $$\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} }$$ Verkürzt: $$\sigma=\sqrt{ \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n} }$$ Die Varianz $\sigma ^2$ ist das Quadrat der Standardabweichung: $$\sigma ^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} =\frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n}$$

Quartile

Definition

Die Quartile $Q_1,\ Q_2\,\ Q_3$ teilen die Werte der Datenmenge insgesamt in $4$ Bereiche. Quartile einer Datenmenge mit $5$ Werten. $Q_1$ ist zwischen dem 1. und 2. Wert, $Q_3$ zwischen dem 4. und 5. Berechnung: Zuerst berechnen wir den Median $Q_2$, der die Daten in zwei Hälften teilt. $Q_2$ ist gleichzeitig das zweite Quartil $Q_2$. Das erste Quartil $Q_1$ ist der mittlere Wert in der linken Hälfte. Das dritte Quartil $Q_3$ ist der mittlere Wert der zweiten Hälfte.

Die Quartile sind vor allem für die Erstellung eines Boxplot-Diagramms relevant.

Gegeben ist die Datenliste $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme $x_{min},\ x_{max}$ sowie alle Quartile und erstelle damit ein Boxplot-Diagramm.

$\ $

• $x_{min}=1$
• $x_{max}=5$
• $\{1\underbrace{;}_{Q_1}2;\ \underbrace{2}_{Q_2 }\ ;\ 2\underbrace{;}_{Q_3} 5\}$

  $Q_1=\frac{1+2}{2}=1.5$,

  $Q_2=2$ und

  $Q_3=\frac{2+5}{2}=3.5$

Boxplot-Diagramm der Liste $\{1;2;2;2;5\}$

Merke

Der Quartilsabstand ist der Abstand zwischen den Quartilen $Q_1$ und $Q_3$. $$\text{Quartilsabstand}=Q_3-Q_1$$ Graphisch entspricht dies der Länge der „Box“ im Boxplot-Diagramm.

• $Bifie$ : Schiunfälle (leicht)

Siehe auch Wachstums- und Zerfallsprozesse

• $Bifie$ : Radausflug (mittel-mittel-mittel-leicht)

Siehe auch

* Wachstums- und Zerfallsprozesse

* Trigonometrie

• $Bifie$ : Reinanken] (mittel-mittel-leicht)

• $Bifie$: Weinbau und Weinkonsum (mittel-mittel-leicht)

Siehe auch

• Lineare Optimierung

• $Bifie$: Photovoltaik (2) (leicht)
  

Siehe auch

• Finanzmathematik

GeoGebra

Ti-8x

Excel

Dieser Bereich ist nur für spezielle Schulformen (z. B. HLW und HAK) relevant.

Die Regression ist eine Methode in der Statistik, den Zusammenhang (= Korrelation) zwischen zwei Merkmalen zu überprüfen.

Einleitung

Beispiel einer typischen linearen Regression

Sind zwei metrische Merkmale gegeben (z. B. Alter und Verdienst in einer Firma), so kann mithilfe der Regression der Zusammenhang dieser Merkmale überprüft und beschrieben werden.

Zuerst werden die Merkmale in einer Punktwolke dargestellt. Die Regression versucht nun, den Graphen einer Funktion „möglichst gut“ durch diese Punkte zu legen. „Möglichst gut“ bedeutet dabei, dass die Summe der Quadrate der $y$-Abstände zwischen Funktion und Punkten so gering wie möglich sein soll.

$Aha!$ $\ $ Dieses Arbeitsblatt zeigt dir die grundlegende Idee am Beispiel einer linearen Regression, bei der die „bestmögliche“ Gerade gesucht ist:

Da wir im Unterricht die Regressionsgleichung immer mithilfe des Technologieeinsatzes lösen, überspringen wir die Herleitung der Regressionsgleichungen.

Regressionsgleichung mithilfe von Technologie berechnen und darstellen

Lineare Regression

Bei der linearen Regression werden die Daten mithilfe einer linearen Funktion („Gerade“) verbunden.

Musterbeispiel

Alter (X)	Gehalt (Y)
25	1800
27	2500
28	2400
35	3000
40	3000
40	2000
50	3600

Gegeben ist die folgende Tabelle, die das Alter und Gehalt der Bediensteten in einer Firma angibt.

a) Stellen Sie die Daten in einer Punktwolke dar, wobei das Alter die $x$- und das Gehalt die $y$-Koordinate eines jeden Punktes angeben soll.

b) Ermitteln Sie die Gleichung der Regressionsgeraden und zeichnen Sie diese in die Graphik ein.

c) Berechnen Sie mithilfe der Gleichung der Regressionsgeraden jenes Gehalt, über das eine 45-jährige Person verfügen sollte.

d) Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Regressionsgeraden jenes Alter, bei dem ein Gehalt von $€4 200$ erreicht werden sollte.

a) Stellen Sie die Daten in einer Punktwolke dar, wobei das Alter die $x$- und das Gehalt die $y$-Koordinate eines jeden Punktes angeben soll.

Punktwolke: Jeder Punkt entspricht einer Person, mit $x$-Koordinate als Alter und $y$-Koordinate als Gehalt.

b) Ermitteln Sie die Gleichung der Regressionsgeraden und zeichnen Sie diese in die Graphik ein.

Durch Einsatz von Technologie erhalten wir die Gleichung $$f(x)=49.59x+878.63$$

Da die Regressionsgerade eine positive Steigung hat, herrscht ein positiver Zusammenhang, d. h je Älter eine Person ist, desto höher ist in der Regel ihr Gehalt. (Die Bedeutung des Korrelationskoeffizienten lernst du im nächsten Abschnitt).

c) Berechnen Sie mithilfe der Gleichung der Regressionsgeraden jenes Gehalt, über das eine 45-jährige Person verfügen sollte.

Aus der Angabe wissen wir, dass $x=45$. Gesucht ist nun der passende $y$-Wert $y=f(45)$. $$f(x)=49.59x+878.63$$ $$f(45)=49.59\cdot 45+878.63$$ $$f(45)=3110.18 $$ Bei einem Alter von 45 Jahren ist ein Gehalt von $€3 110.18$ zu erwarten.

Graphische Lösung der Aufgaben c) und d)

d) Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Regressionsgeraden jenes Alter, bei dem ein Gehalt von $€4 200$.

Gegeben ist die $y$-Korrdinate $y=f(x)=4200$. Gesucht ist nun der $x$-Wert: $$f(x)=49.59x+878.63$$ $$4200=49.59x+878.63$$ Durch Freistellen von $x$ (siehe Äquivalenzumformungen) erhalten wir $$x=66.97$$ Bei einem Alter von ca. $67$ Jahren wäre ein Gehalt von $€4 200$ zu erwarten (vorausgesetzt, die Person ist noch nicht in Pension).

Korrelationskoeffizient $r$

Durch Berechnung der Regressionsgeraden kann noch keine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs zweier Merkmale ($X$ und $Y$) ausgesagt werden. Dazu benötigt man den

Definition

Korrelationskoeffizient $r$ Der Korrelationskoeffizient $r$ gibt an, wie stark zwei Merkmale $X$ und $Y$ zusammenhängen. Je stärker die Korrelation, desto näher ist $r$ bei $+1$ (bei einem positiven Zusammenhang) oder bei $-1$ (bei einem negativen Zusammenhang). Je weiter entfernt $r$ von $\pm 1$ ist, desto schwächer ist die Korrelation. Ist $r$ bei $0$, so herrscht keine Korrelation. Aussage des Korrelationskoeffizienten $r$ über den Zusammenhang (= Korrelation)

$Aha!$ $\ $ In folgendem GeoGebra-Applet lernst du, wie die Korrelation durch die Lage der Punkte verändert wird.

• Beispiele für Punktwolken und dazugehörende Korrelationskoeffizienten.
• 

  $r=-1$ (starke negative Korrelation)

• 

  $r=-0.77$ (starke negative Korrelation)

• 

  $r=-0.2$ (schwache negative Korrelation)

• 

  $r=0$ (keine Korrelation)

• 

  $r=0.8$ (starke positive Korrelation)

• 

  $r=0.98$ (starke positive Korrelation)
  Liegen alle Punkte auf der Geraden, so ist $r=1$ oder $r=-1$, je nachdem ob der Zusammenhang positiv oder negativ ist.

Korrelation und Kausalität

Merke

Eine starke Korrelation (d. h. $\vert r\vert$ nahe bei 1) bedeutet noch lange nicht, dass es auch einen ursächlichen Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen gibt. Oft spielen z. B. noch viel mehr Einflüsse eine Rolle.

Beispiele für Korrelation aber (wahrscheinlich) keinen direkten ursächlichen Zusammenhang:

• Die Größe der Bevölkerung ($X$) hat Auswirkungen auf die Geschwindigkeit der Plattentektonik ($Y$).

Je mehr Menschen auf einer Kontinentalplatte leben, desto schneller bewegt sich diese. Beispiele: Indien, Japan.

• Ein Rückgang an Störchen führt zu einer Abnahme an Neugeburten (Quelle).

Tatsächlich spielt hier eine dritte Variable, nämlich die Verstädterung einer Region eine Rolle.

Matura-Aufgaben

Merke

Schrittfolge zur Berechnung von Regressionsaufgaben Schritt: Bestimme die $x$-Variablen (unabhängige Variable) und $y$-Variable (abhängige Variable). Schritt: Berechne die Regressionsgerade und den Korrelationskoeffizienten. Schritte: Verwende die Regressionsgerade, um die weiteren Aufgaben und Interpretationen zu lösen.

$Bifie$: Schotterwerk (leicht-mittel-mittel)
siehe auch

• Kosten- und Preistheorie

$Bifie$: Reisekosten (leicht-leicht-schwer-leicht)
siehe auch

• Differenzen- und Differentialquotient
• Steigung und Steigungswinkel

$Bifie$: Preis und Absatz (mittel)
siehe auch

• Kosten- und Preistheorie

$Bifie$: Hustensaft (mittel-mittel-leicht)
siehe auch

• Normalverteilung
• Lineare Optimierung

$Bifie$: Intelligenzquotient (leicht-leicht-leicht)
siehe auch

• Normalverteilung
• Lineare Optimierung

$Bifie$: Kängurusprünge (leicht-mittel-leicht)
siehe auch

• Wahrscheinlichkeitsrechnung

$Bifie$: Elektronikhersteller (mittel-schwer-leicht)
siehe auch

• Kosten- und Preistheorie
• Normalverteilung

$Bifie$: Sektkellerei (mittel-leicht-schwer)
siehe auch

• Kosten- und Preistheorie

$Bifie$: Fahrzeugtests (2) (mittel)
siehe auch

• Wachstums- und Zerfallsprozesse

$Bifie$: CeBit (2) ((leicht-mittel-mittel)
siehe auch

• Integration
• Binomialverteilung

$Bifie$: Jahresumsatz ((leicht-leicht-mittel)
siehe auch

• Beschreibende Statistik
• Gleichungssysteme (2.7.)

$Bifie$: Kostenanalyse (leicht-mittel-leicht)
siehe auch

• Kosten- und Preistheorie
• Lineare Optimierung

$Bifie$: Urlaubsreisen (mittel-leicht-leicht)
siehe auch

• Finanzmathematik
• Lineare Optimierung