Integration: Unterschied zwischen den Versionen

1. Klicke links unten auf das „Play“-Symbol oder verschiebe den Schieberegler „Rechtecksanzahl“.
2. Beobachte, wie sich die Untersumme immer mehr der tatsächlichen Fläche annähert.
3. Klicke dann auf das Kästchen „Obersumme“ und wiederhole hier die Schritte 1 und 2.

• $f(x)$ heißt Integrand ( das, was integriert wird)
• $x$ ist die Integrationsvariable
• $a$ und $b$ sind die untere bzw. obere Integrationsgrenze
• $\int_{a}^{b} f (x)\,dx$ ist das bestimmte Integral und gibt die orientierte Fläche zwischen $f(x)$ und der $x$-Achse an

$$\int\limits_{0}^{2}x^2dx= \frac{x^3}{3}\vert_{0}^{2} = \frac{2^3}{3}- \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67$$

$$\int\limits_{0}^{2}\left( x^2-4\right)\ dx= \frac{x^3}{3}-4x\vert_{0}^{2} =\left[\frac{2^3}{3}-4\cdot 2\right]- \left[\frac{0^3}{3}-4\cdot 0\right] = \frac{8}{3}-8 = -\frac{16}{3}\approx -5.33$$ ACHTUNG: Du erhältst ein negatives Ergebnis, weil die Fläche unterhalb der $x$-Achse ist (siehe orientierte Fläche).

$$\int\limits_{1}^{3} 3x^2dx= 3\frac{x^3}{3}\vert_{1}^{3} = 3\frac{3^3}{3}- 3\frac{1^3}{3} = 27-1 = 26$$

$$\int\limits_{2}^{4}-5dx= -5\frac{x^1}{1}\vert_{2}^{4}=-5 \frac{4}{1}-\left(-5\frac{2}{1}\right) = -5\cdot 4 - \left(-5\cdot 2\right) = -20-(-10)=-10$$

• 

  Zieht man von der grünen Fläche (1) ...

• 

  .... die rote Fläche (2) ab, ...

• 

  ... so erhält man die blaue Fläche.

Damit ergibt sich die Formel: $$blaue\ Fläche=\underbrace{\int_0^4 f(x)dx}_{grüne\ Fläche}-\underbrace{\int_0^2 g(x)dx}_{rote\ Fläche}$$ $$blaue\ Fläche= \int_0^4 \left( -0.25x^2+4\right)dx-\int_0^2 \left( -2x+4\right) dx$$ Durch händische Berechnung oder mithilfe von Technologieeinsatz erhalten wir: $$blaue\ Fläche=\underbrace{10.\dot 6}_{grüne\ Fläche}-\underbrace{4}_{rote\ Fläche}=\underline{\underline{6.\dot 6} }$$

Hinweis: Selbstverständlich hätten wir die rote Fläche auch einfacher mithilfe der Flächenformel für rechtwinklige Dreiecke berechnen können.

Begründung:
Angenommen, wir würden simpel von $a=0$ bis $b=5.29$ rechnen, so erhielten wir nach dem Hauptsatz der Integration:

$$ \int_a^c f(x)dx=\int_0^{5.29} \left(-0.13 x³ + 1.34x² - 3x\right)\cdot dx=\left[-0.13\frac{x^4}{4}+1.34\frac{x^3}{3}-3\frac{x^2}{2}\right]_0^{5.29}=$$ $$=-0.13\frac{5.29^4}{4}+1.34\frac{5.29^3}{3}-3\frac{5.29^2}{2}=-1.3$$

Das Ergebnis $-1.3$ FE (FlächenEinheiten) kann aber aus zweierlei Gründen nicht der gesuchte Flächeninhalt sein:

1. Flächeninhalte sind immer positiv.
2. Würden wir in der obigen Abbildung den Flächeninhalt durch zählen der Kästchen abschätzen (jedes Kästchen hat eine Größe von $1x1$), so kämen wir ungefähr $6$ bis $7$ FE.

3. Schritt: Positive Fläche bestimmen

Die positive Fläche befindet sich zwischen $b=3.29$ und $c=5.29$. Somit erhalten wir: $$\int_{3.29}^{5.29}f(x)dx=\int_{3.29}^{5.29}\left(-0.13 x³ + 1.34x² - 3x\right) dx=\left[-0.13\frac{x^4}{4}+1.34\frac{x^3}{3}-3\frac{x^2}{2}\right]_{3.29}^{5.29}=$$ $$=\left[-0.13\frac{5.29^4}{4}+1.34\frac{5.29^3}{3}-3\frac{5.29^2}{2}\right] -\left[0.13\frac{3.29^4}{4}+1.34\frac{3.29^3}{3}-3\frac{3.29^2}{2}\right]=2.83$$

Den tatsächlichen Flächeninhalt erhältst du durch Addition der positiven Werte der einzelnen Flächen.

4. Schritt: Negative Fläche bestimmen $$\int_0^{3.29}f(x)dx=\int_0^{3.29}\left(-0.13 x³ + 1.34x² - 3x\right) dx=\left[-0.13\frac{x^4}{4}+1.34\frac{x^3}{3}-3\frac{x^2}{2}\right]_0^{3.29}=$$ $$=-0.13\frac{3.29^4}{4}+1.34\frac{3.29^3}{3}-3\frac{3.29^2}{2}-0=-4.14$$

5. Schritt: positive Fläche und den Betrag der negativen Fläche addieren

$$Flächeninhalt=\vert \int_0^{3.29} f(x)dx\vert + \int_{3.29} ^{5.29} f(x)dx=\vert -4.14\vert +2.83=6.97\ FE$$

Antwort: Der tatsächliche Flächeninhalt beträgt somit $6.97$ FE.

Der gesuchte Flächeninhalt setzt sich aus einer linken, negativen Fläche und einer rechten, positiven Fläche zusammen.

2. Schritt: Grenzen und Nullstellen berechnen: $$f(x)=0$$ $$\frac{x^2}{2}-2=0$$ $$x^2=4$$ $$x_1=-2 \textrm{ und } x_2=2$$

Somit erhalten wir folgende Aufteilung der Flächen im Bereich $[0;4]$:

• negative Fläche von $0$ bis $2$
• positive Fläche von $2$ bis $4$

3. Schritt: Positive Fläche

$$\int_{2}^{4} f (x)dx=\frac{16}{3}$$

4. Schritt: Negative Fläche

$$\int_{0}^{2} f (x)dx=-\frac{8}{3}$$

5. Schritt: Addition der gesamten Fläche

$$\vert \int_{0}^{2} f (x)dx\vert + \int_{2}^{3} f (x)dx=$$ $$=\vert -\frac{8}{3} \vert + \frac{16}{3}=\frac{24}{3}=8$$

Antwort: Der gesuchte Flächeninhalt beträgt $8$ FE.

a) Anhand der Skizze sieht man leicht, dass die Funktion punktsymmetrisch ist. Die Flächen links und rechts vom Ursprung heben sich auf.

Rechnerisch lässt sich dies leicht zeigen: $$\int_{-2}^2 x^3 dx= \left[ \frac{x^4}{4}\right]_{-2}^2=\frac{2^4}{4}-\frac{(-2)^4}{4}=\frac{16}{3}-\frac{16}{3}=0$$ Es gilt sogar allgemein für ein beliebiges Intervall $$\int_{-a}^a x^3 dx= \left[ \frac{a^4}{4}\right]_{-2}^2=\frac{a^4}{4}-\frac{(-a)^4}{4}=\frac{a^4}{3}-\frac{a^4}{3}=0$$

b) Nun wollen wir die Fläche berechnen. Hierzu gibt es $2$ Möglichkeiten.

1. Möglichkeit: Positive und negative Fläche addieren: Da wir, wie man anhand der Skizze erkennt, wieder eine negative und eine positive Fläche haben, rechnen wir beide einzeln und addieren anschließend die Beträge: $$\underbrace{\vert \int_{-2}^0 x^3 dx \vert}_{linke\ Fläche}+\underbrace{\int_{0}^2 x^3 dx}_{rechte\ Fläche}=$$ $$=\underbrace{\vert -4 \vert}_{linke\ Fläche}+\underbrace{4 }_{rechte Fläche}=\underline{\underline{8} }$$

2. Möglichkeit: Da die linke Fläche gleich groß ist wie die rechte Fläche, reicht es, nur eine von beiden zu berechnen und anschließend das Ergebnis zu verdoppeln: $$Fläche=2\cdot \int_{0}^2 x^3 dx=2\cdot 4=\underline{\underline{8} } $$

2. Schritt: Grenzen und Nullstellen Die Nullstellen erhalten wir mit $f(x)=0$: $$x^2+2x=0$$ $$x\cdot (x+2)=0$$ $$\rightarrow x_1=0 \textrm{ und } x_2=-2$$

Der gesuchte Flächeninhalt teilt sich somit in eine linke, negative Fläche im Intervall $[-2;0]$ und eine rechte, positive Fläche im Intervall $[0;1]$ auf.

Schritte 3-5: $$\underbrace{\vert \int_{-2}^0 f(x) dx \vert}_{linke\ Fläche}+\underbrace{\int_{0}^1 f(x) dx}_{rechte\ Fläche}=\underbrace{\vert -\frac{4}{3} \vert}_{linke\ Fläche}+\underbrace{\frac{4}{3} }_{rechte Fläche}=\underline{\underline{\frac{8}{3}=2.\dot 6 } }$$

Die Fläche besteht aus insgesamt $3$ Teilflächen, die einzeln bestimmt werden müssen.

2. Schritt: Grenzen und Nullstellen Zuerst berechnen wir die Nullstellen: $$0.1x^3 - 0.8x^2 + 1.5x=0$$ $$x\cdot (0.1x^3-0.8x+15=0$$ $$\rightarrow x_1=0, x_2=3 \textrm{ und } x_3=5$$ Somit erhalten wir $3$ Teilflächen, die wir einzeln berechnen müssen:

1. Teilfläche: $[0;3]$, positiv
2. Teilfläche: $[3;5]$, negativ
3. Teilfläche: $[5;6]$, positiv

Schritte 3-5: $$\underbrace{ \int_0^3 f(x)dx}_{1}+\underbrace{\vert \int_3^5 f(x)dx\vert }_{2}+\underbrace{\int_5^6 f(x)dx}_{3}=$$ $$=\underbrace{ 1.58}_{1}+\underbrace{\vert -0.53\vert}_{2} +\underbrace{0.79}_{3}=\underline{\underline{2.9} }$$

Antwort: Der Inhalt der Fläche beträgt $2.9$ FE.

• 

  Zuerst werden die Schnittpunkte bestimmt.

• 

  Als nächstes berechnet man die große Fläche mit $\int_a^b f(x) dx$ und ...

• 

  ... zieht davon die kleine Fläche $\int_a^b g(x)dx$ ab.

• 

  Als Ergebnis erhält man die gesuchte blaue Fläche.

300px Die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ lauten $(-2\vert -3)$.

1. Schritt: Funktionen gleichsetzen. $$f(x)=g(x)$$ $$2x+1=x−1$$

2. Schritt: Gleichung nach $x$ auflösen (siehe Äquivalenzumformungen):

$$2x+1=x−1$$ $$2x=x−2$$ $$x=−2$$

Die $x$-Koordinate des Schnittpunktes lautet $x=-2$.

3. Schritt: $y$-Koordinate durch Einsetzen der $x$-Koordinate berechnen:

$$f(-2)=2\cdot (-2)+1$$

$$y=-3$$

Schnittpunkt: $(-2\vert -3)$

$$f(x)=g(x)$$ $$x^2=4$$ $$x=\pm 2$$ Somit haben wir einen Schnittpunkt bei $x=-2$ und einen bei $x=2$ (Hinweis: Die $y$-Koordinaten sind für die weitere Berechnung nicht erforderlich.).

2. Schritt: Flächen berechnen und voneinander abziehen:

Indem man von der großen Fläche die kleine abzieht, erhält man die gesuchte Fläche.

Fläche unter $f(x)=A_{\cup}$
Fläche unter $g(x)=A_{ \Box }$
Dann ist die gesuchte Fläche $A$: $$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$$

$A_{ \Box }=a\cdot a=4\cdot 4=16$
Alternativ kann man hier auch das bestimmte Integral verwenden: $$A_{ \Box }=\int_{-2}^2 g(x)dx=\int_{-2}^2 4dx=\left[ 4x\right]_{-2}^2=4\cdot 2-\left[ 4\cdot (-2)\right]=\underline{16}$$

$$A_{\cup}=\int_{-2}^2 f(x)dx=\int_{-2}^2 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}=\frac{16}{3}\approx \underline{5.33}$$

Damit erhält man für $A$: $$A=A_{ \Box }-A_{\cup}=\int_{-2}^2 g(x)dx-\int_{-2}^2 f(x)dx$$ $$A=16-5.33=\underline{\underline{10.67} }$$ Wichtig: Da hier der Graph von $g$ oberhalb von $f$ liegt, muss man die Formel wie hier gezeigt anschreiben.

1. Schritt: Schnittpunkte $$f(x)=g(x)$$ $$-0.5 x² + 4x - 5=0.5x² - 4x + 7$$ $$0=x^2-8x+12$$ $$x_1=2\textrm{ und } x_2=6$$

2. Schritt: Anwenden der Formel $$\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ $$\int_2^6 \left((-0.5 x² + 4x - 5)-(0.5x² - 4x + 7))\right)dx$$ $$\int_2^6 \left(-x^2+8x-12\right)dx=10.67$$

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt $10.67$ FE.

$$f(x)=g(x)$$ $$x=x^3-9x^2+24x-15$$ Mithilfe von Technologie erhält man: $$x_1=1,\ x_2=3 \textrm{ und } x_3=5$$

Jede der Teilflächen hat einen Inhalt von $4$ FE.

2. Schritt: Berechnung des Flächeninhaltes

Die gesuchte Fläche besteht aus zwei Flächeninhalten, die wir getrennt voneinander berechnen würden, weil $f$ und $g$ abwechselnd oben bzw. unten sind.

Die Rechnung $\int_1^5 (f(x)-g(x))dx$ wäre falsch, da hier $0$ herauskommt (prüfe es selbst nach).

• Linke Fläche: Hier ist $g$ oben und $f$ unten:

$$\int_1^3 (g(x)-f(x))dx=\int_1^3 (x^3-9x^2+24x-15-x)dx=\underline{4}$$

• Rechte Fläche: Hier ist $f$ oben und $g$ unten:

$$\int_3^5 (f(x)-g(x))dx=\int_1^3 (x-(x^3-9x^2+24x-15))dx=\underline{4}$$

• Gesamt: $4+4=\underline{\underline{8} } $

Die eingeschlossene Fläche hat $8$ FE.

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ $$v(t)=\int 5.5 \cdot dt$$ $$v(t)=5.5 \cdot t + v_0$$ $$v(t)=5.5 \cdot t$$

Antwort: Die Geschwindigkeitsfunktion lautet $v(t)=5.5 \cdot t$.

b) Bestimmen Sie mithilfe von $v$ die Wegfunktion $s$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$ $$s(t)=\int 5.5t \cdot dt$$ $$s(t)=5.5 \cdot \frac{t^2}{2} +c$$ $$s(t)=2.75 \cdot t^2$$

Antwort: Die Funktionsgleichung lautet $s(t)=2.75 \cdot t^2$.

c) $180$ Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).

Berechnen Sie ...

- ... die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.

$$s(t)=2.75 \cdot t^2$$ $$s(180)=2.75 \cdot 180^2$$ $$s(180)=89 100 m$$

Antwort: Nach $180$ Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von $89 100 m$.

Das $k$ der Tangente gibt die Geschwindigkeit an.

- ... die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt.

$$v(t)=5.5 \cdot t$$ $$v(180)=5.5 \cdot 180$$ $$v(180)=990 m/s$$

$$990 m/s \rightarrow 3 564 km/h$$

Antwort: Nach $180$ Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von $3 564 km/h$ erreicht.

d) In etwa $36\, 000 km$ Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.

$$36\, 000\, 000=2.75 \cdot t^2$$ $$t\approx 3618.14$$

Antwort: Nach ca. $3618.14$ Sekunden erreichen wir mit unserer Rakete die Höhe $36\, 000\, 000$ Meter.