Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
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Dies sind Experimente, bei denen es | Dies sind Experimente, bei denen es | ||
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{{Vorlage:Beispiel|1= Sie stehen vor einer Urne mit $7$ roten und $13$ blauen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei $4$-maligem Ziehen mit Zurücklegen, $3$-mal eine rote Kugel zu erhalten? | {{Vorlage:Beispiel|1= Sie stehen vor einer Urne mit $7$ roten und $13$ blauen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei $4$-maligem Ziehen mit Zurücklegen, $3$-mal eine rote Kugel zu erhalten? | ||
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Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der Erfolge. | Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der Erfolge. | ||
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Der Erwartungswert ist jener Wert, den die Zufallsvariable $X$ im Mittel annimmt. | Der Erwartungswert ist jener Wert, den die Zufallsvariable $X$ im Mittel annimmt. | ||
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| − | Die Zufallsvariable $X$ zähle das Vorkommen einer $6$. Da es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt (zwei | + | Die Zufallsvariable $X$ zähle das Vorkommen einer $6$. Da es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt (zwei mögliche Ausgänge: $6$er oder kein $6$er und die Wahrscheinlichkeit für eine $6$ bleibt konstant mit $p=\frac{1}{6}$), ist $X$ binomialverteilt mit $n=30$ und $p=\frac{1}{6}$ und es gilt: |
$$P(X=k)=\binom{30}{k}\cdot (\frac{1}{6})^k\cdot (\frac{5}{6})^{30-k}$$ | $$P(X=k)=\binom{30}{k}\cdot (\frac{1}{6})^k\cdot (\frac{5}{6})^{30-k}$$ | ||
Version vom 29. Januar 2021, 16:35 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Zufallsvariablen
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Das Ergebnis eines Zufallsexperimentes kann mithilfe einer „Zufallsvariable“ $X$ beschrieben werden.
Die Zufallsvariable ordnet dabei jedem Einzelereignis eine reelle Zahl zu.
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Man unterscheidet $2$ Typen von Zufallsvariablen:
- Die diskrete Zufallsvariable hat einen abzählbaren Wertebereich (z. B. Anzahl von Personen).
- Die stetige Zufallsvariable hat als Wertebereich ein Intervall in den reellen Zahlen und damit einen nicht abzählbaren Wertebereich.
Mithilfe der Zufallsvariable wird uns nun das Berechnen der folgenden Aufgaben erleichtert.
Diskrete Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen haben einen abzählbaren Wertebereich (z. B. Anzahl von Personen).
Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
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Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$ ordnet jedem Einzelereignis seine Wahrscheinlichkeit zu:
$$f: f(x_i)=P(X=x_i)$$ wobei $x_i$ ein Einzelereignis (z. B.: $x_1...1er\ \text{würfeln},\ x_2...2er \text{würfeln}$ usw.) und $P(X=x_i)$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist: $P(X=x_1)=P(X=1er)=\frac{1}{6}...$) |
Die folgende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Zufallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
Wollen wir nun wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man beim Würfelwurf eine Zahl $\leq 3$ würfelt, so müssen wir $P(X\leq 3)$ berechnen: $$P(X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$$
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Die Verteilungsfunktion $F$ ist definiert als $F(x_i)=P(X\leq x_i)$. Sie gibt also immer die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich dem Wert von $x_i$ annimmt. |
Die folgende Graphik zeigt die Verteilungsfunktion für die Zufallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
Hinweise zur Verteilungsfunktion:
- - die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $1$ gewürfelt wird ($=P(X<1)$) ist $0$, somit sind alle Funktionswerte von $F$ links der $1$ gleich $0$.
- - Bei $X=1$ macht die Verteilungsfunktion $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $2$ gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$).
- - Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine $2$ ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt.
- - Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich $6$ gewürfelt wird, ist $1$).
- - Die Höhe der Sprünge entspricht gerade der Höhe der Funktionswerte bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion (siehe oben).
Erwartungswert und Standardabweichung
Im Kapitel Beschreibende Statistik haben wir bereits Begriffe wie die relative Häufigkeit, das arithmetische Mittel und die Standardabweichung kennen gelernt. Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es ähnliche Konzepte: Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung:
| Idee ... | In der Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der Statistik |
|---|---|---|
| Prozent | Wahrscheinlichkeit $$P(X=x_i)$$ | relative Häufigkeit $$h_i=\frac{H_i}{n}$$ |
| Mittel/Durchschnitt | Erwartungswert $E(X)$ oder $\mu$ $$\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$$ | Arithmetisches Mittel $$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot h_i$$ |
| Streuung/Abweichung vom Mittel | Standardabweichung $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$$ | Standardabweichung $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\cdot h_i}$$ |
Berechnen Sie
a) den Erwartungswert
b) die Standardabweichung
beim Wurf eines sechsseitigen Würfels, wobei die Zufallsvariable $X$ die Augensumme angibt (d. h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\}$).
Der Erwartungswert $E(X)=\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$. Setzen wir die Werte aus der Tabelle in die Formel ein, so erhalten wir: $$ \sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=\underbrace{1}_{x_1}\cdot \underbrace{\frac{1}{6} }_{P(X=x_1) }+2\cdot \frac{1}{6} +3\cdot \frac{1}{6} +4 \cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\underline{\underline{3.5} }$$
Der Erwartungswert $\mu$ beträgt also $3.5$. Natürlich kann man aber beim einmaligen Würfeln nicht $3.5$ würfeln. Man kann den Erwartungswert aber so interpretieren, dass, wenn man lange genug würfelt, der Durchschnitt bei $3.5$ liegen wird.
b) Die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$
Setzen wir wieder alles in die Formel ein (siehe obige Wertetabelle und $\mu=3.5$): $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}=\\ \sqrt{(1-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(2-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(3-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(4-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(5-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(6-3.5)^2\cdot \frac{1}{6} }\\ =\underline{\underline{1.71} }$$
Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens
Exkurs 2: Lotto
Mit dieser Überlegung können wir uns nun ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für einen Lottogewinn berechnen. Beim Lotto werden insgesamt $6$ von $45$ Kugeln gezogen. Dabei ist die Reihenfolge egal.
- Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist somit $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus $45$ Kugeln werden $6$ gezogen).
- Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{6}=1$
Somit ist die Wahrscheinlichkeit für einen Lotto-$6$er: $$P(\text{Lotto-}6er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{6}}{\binom{45}{6}}=\frac{1}{8.145.060}$$
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto $5$ der $6$ richtigen Kugeln auszuwählen.
- Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist wieder $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus $45$ Kugeln werden $6$ gezogen).
- Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{5}=6$ (aus $6$ Kugeln werden $5$ gezogen) Mal $\binom{39}{1}$ (= aus $39$ Kugeln wird eine gezogen).
$$P(5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{5}\cdot \binom{39}{1} }{\binom{45}{6} }=\frac{6\cdot 39}{8.145.060}\approx 0.00002873 \ \ (= 0.002873 \%)$$
Inhaltsverzeichnis
Bernoulli-Experimente und die Binomialverteilung
Definition und Formel
Im Folgenden betrachten wir ein sogenanntes
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Bernoulli-Experiment (benannt nach dem schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli).
Dies sind Experimente, bei denen es
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Typische Beispiele hierfür wären:
- Ziehen von roten und blauen Kugeln aus einer Urne mit Zurücklegen: Die Zufallsvariable $X$ zählt das Auftreten von roten Kugeln.
- Mehrmaliges Würfeln mit einem Würfel: Die Zufallsvariable $X$ zählt das Auftreten eines $6er$.
- Multiple-Choice-Tests: Die Zufallsvariable $X$ zählt die richtigen Antworten.
Sie stehen vor einer Urne mit $7$ roten und $13$ blauen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei $4$-maligem Ziehen mit Zurücklegen, $3$-mal eine rote Kugel zu erhalten?
$$P(X=3)=?$$
- Anzahl der Pfade zu unserem Ergebnis: Um von $4$ Ziehungen $3$-mal eine rote Kugel zu ziehen gibt es $\binom{4}{3}=4$ Möglichkeiten, nämlich:
$(r,r,r,b)$; $(r,r,b,r)$; $(r,b,r,r,)$; $(b,r,r,r)$.
Hinweis: $\binom{4}{3}$ (gesprochen „$4$ über $3$“) ist der sogenannte Binomialkoeffizient.
- Die Wahrscheinlichkeit für dreimal rot und einmal blau ist bei jedem Pfad $p^3\cdot (1-p)^1$ mit $p=\frac{7}{20}$.
- Begründung: Nehmen wir zum Beispiel $(r,r,r,b)$.
Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen ist $p=\frac{7}{20}$. Die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen ist $(1-p)=\frac{13}{20}$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis $(r,r,r,b)$ aufgrund der 1. Pfadregel/Multiplikationsregel $$p\cdot p\cdot p\cdot (1-p)=p^3\cdot (1-p)^1$$ Für die anderen Möglichkeiten $(r,r,b,r)$; $(r,b,r,r,)$ und $(b,r,r,r)$ kommt man auf dasselbe Resultat. Somit erhalten wir: $$P(X=3)=\underbrace{\binom{4}{3} }_{\textrm{Anzahl der Pfade} }\cdot \underbrace{p^3\cdot (1-p)^1}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen dieser Pfade} }=4\cdot (\frac{7}{20})^3\cdot \frac{13}{20}= 0.1115=11.15\%$$
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Binomialverteilung und Formel
Es wird ein Bernoulli-Experiment ($2$ mögliche Ausgänge: Erfolg oder Misserfolg) $n$-mal durchgeführt, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ konstant bleibt. Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der Erfolge. Dann ist $X$ binomialverteilt (kurz: $B(n;p)$) mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion $$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$ |
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Die Formel für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:
$$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$ setzt sich folgendermaßen zusammen:
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Für eine Zufallsvariable $X$, die $B(n;p)-$verteilt ist, gilt:
Der Erwartungswert ist jener Wert, den die Zufallsvariable $X$ im Mittel annimmt.
Die Standardabweichung ist ein Maß für die im Mittel zu erwartende Abweichung der Zufallsvariable $X$ vom Erwartungswert $\mu$. |
Ein Würfel wird $30$-mal geworfen.
- a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $8$-mal eine $6$ zu würfeln?
- b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit niemals eine $6$ zu würfeln?
- c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit maximal einmal eine $6$ zu würfeln?
- d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine $6$ zu würfeln?
- e) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung.
- a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $8$-mal eine $6$ zu würfeln?
$$P(X=k)=\binom{30}{k}\cdot (\frac{1}{6})^k\cdot (\frac{5}{6})^{30-k}$$
a) Gesucht ist $P(X=8)$. Setzen wir das in die Formel ein, so erhalten wir:
$$P(X=8)=\binom{30}{8}\cdot (\frac{1}{6})^8\cdot (\frac{5}{6})^{30-8}=0.0632=6.32\% $$
Hinweis: Zur Berechnung des Binomialkoeffizienten $\binom{30}{8}$ klicke hier.
b) Gesucht ist $P(X=0)$, dies kann entweder einfach über die 1. Pfadregel (Multiplikationsregel) mit $P(X=0)=(\frac{5}{6})^{30}=0.0042=0.42\%$ berechnet werden, oder mit der Formel für die Binomialverteilung: $$P(X=k)=\binom{30}{0}\cdot (\frac{1}{6})^0\cdot (\frac{5}{6})^{30-0}=0.0042=0.42\% $$
c) Gesucht ist $P(X\leq 1)$: $$P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)=\underbrace{0.0042}_{P(X=0)}+\underbrace{\binom{30}{1}\cdot (\frac{1}{6})^1\cdot (\frac{5}{6})^{30-1} }_{P(X=1)}=0.0042+0.0253=0.0295=2.95\% $$
d) Betrachten wir die obige Abbildung von Aufgabe c). Dann ist die Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine $6$ zu ziehen $(P(X\geq 2))$ gerade die weiß eingefärbte Fläche.
Mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit erhalten wir:
$$P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1)=1-0.0295=0.9705=97.05\% $$
e)
- $E(X)=n\cdot p=30\cdot \frac{1}{6}=5$ (Dies kann man auch aus den obigen Graphen herauslesen!)
- $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{30\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6} }=\sqrt{\frac{25}{6} }\approx 2.04$.
Typischer Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung wird in der Regel als Histogramm dargestellt.
$Aha!$ Im folgenden Arbeitsblatt lernst du den Graphen einer binomialverteilten Zufallsvariable besser kennen.
Eigenschaften des Graphen
Rechtsschiefe Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.2$. Damit ist $E(X)=2$ und $\sigma=1.26$
Symmetrische Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.5$. Damit ist $E(X)=5$ und $\sigma=1.58$
Linksschiefe Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.7$. Damit ist $E(X)=7$ und $\sigma=1.45$
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Eigenschaften:
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Zusammenfassungsvideos
Berechnung mithilfe von Technologie
Wähle deine Technologie
Musterbeispiel
Eine Lehrerin erstellt für ihre Schülerinnen und Schüler einen Multiple-Choice-Test, der aus insgesamt $15$ Fragen besteht. Jede Frage beinhaltet $5$ Antwortmöglichkeiten, wobei nur eine davon korrekt ist.
Nun fragt sie sich, welche Chancen ein Schüler hat, wenn er die Aufgaben nur zufällig ankreuzt:
- a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau $3$ Fragen zu beantworten?
- a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau $3$ Fragen zu beantworten?
- b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit maximal $2$ Fragen richtig zu beantworten?
- b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit maximal $2$ Fragen richtig zu beantworten?
- c) Um den Test zu bestehen, benötigt ein Schüler mindestens $8$ Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Test (bei zufälligem Ankreuzen) zu bestehen?
- c) Um den Test zu bestehen, benötigt ein Schüler mindestens $8$ Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Test (bei zufälligem Ankreuzen) zu bestehen?
- d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler zwischen $4$ und $7$ Punkte erhält?
- d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler zwischen $4$ und $7$ Punkte erhält?
- e) Wie groß ist der Erwartungswert ($E(x)$ bzw. $\mu$) und die Standardabweichung $\sigma$? Interpretiere diese Werte.
- $n=15$
- $p=\frac{1}{5}=0.2$
- Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der richtigen Antworten.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau $3$ Fragen zu beantworten?
Gesucht sind $k=3$ Erfolge: $$P(X=3)=\binom{15}{3}\cdot 0.2^3\cdot 0.8^{12}=0.2501=25.01\%$$ Mit dem TI-8x: $P(X=3)=binompdf(15,0.2,3)=0.2501$
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit maximal $2$ Fragen richtig zu beantworten?
Gesucht ist $k\leq 2$:
$$P(X\leq 2)=\ Technologieeinsatz \ =0.398=39.8\% $$
Mit dem TI-8x: $P(X\leq 2)=binomcdf(15,0.2,2)=0.398$
c) Um den Test zu bestehen, benötigt ein Schüler mindestens $8$ Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Test (bei zufälligem Ankreuzen) zu bestehen?
Gesucht ist $k\geq 8$:
$$P(X\geq 8)=\ Technologieeinsatz\ =0.0042=0.42\%$$
Mit dem TI-8x: $P(X\geq 8) = 1-P(X\leq 7)=1-binomcdf(15,0.2,7)=0.0042$
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler zwischen $4$ und $7$ Punkte erhält?
$$P(4\leq X\leq 7)=\ Technologieeinsatz\ =0.3476=34.76\% $$ Mit dem TI-8x: $$P(4\leq X\leq 7)=P(X\leq 7)-P(X\leq 3)=$$ $$binomcdf(15,0.2,7)-binomcdf(15,0.2,4)=0.3476$$
e) Wie groß ist der Erwartungswert ($E(x)$ bzw. $\mu$) und die Standardabweichung $\sigma$?
- $\mu=n\cdot p=15\cdot 0.2=3$
Der im Durchschnitt zu erwartende Wert von $X$ ist $3$, d. h. die größte Wahrscheinlichkeit liegt bei $3$ richtigen Antworten.
- $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{15\cdot 0.2\cdot 0.8}=1.55$
Die im Durchschnitt zu erwartende Abweichung der Zufallsvariable $X$ vom Erwartungswert $\mu$ ist $1.55$.
Binomialverteilung, Erwartungswert und Standardabweichung (WS 3.1-3.3)
Weitere Übungsbeispiele zur Binomialverteilung
Matura-Aufgaben
$Bifie$ Milchverpackung (leicht-mittel-mittel)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für a) Formeln und für b) Trigonometrie (2.12 und 3.10)
$Bifie$ Torten
(mittel-leicht-leicht-leicht)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Gleichungssysteme sowie Funktionen und Formeln
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Gleichungssysteme sowie Baumdiagramme
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Prozentrechnung
$Bifie$ Produktion von Rucksäcken
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Baumdiagramme
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Trigonometrie
$Bifie$ Netzwerkadministration
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Baumdiagramme sowie Direkte Proportion/Schlussrechnung
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Beschreibende Statistik sowie Rentenrechnung
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Regression sowie Integration
$Bifie$ Erweiterung der Produktionspalette
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Umkehraufgaben bzw. Kosten- und Preistheorie sowie Rentenrechnung und Baumdiagramme
$Bifie$ Produzent von landwirtschaftlichen Geräten
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Umkehraufgaben bzw. Kosten- und Preistheorie sowie Rentenrechnung
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Beschreibende Statistik bzw. Binomialverteilung
