Trigonometrie: Unterschied zwischen den Versionen

Begriffe

rechtwinkliges Dreieck

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ($=$ Dreieck mit einem $90°$-Winkel).

• Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt Hypotenuse. Sie ist IMMER gegenüber vom rechten Winkel.
  

• Die beiden kürzeren Seiten heißen Katheten. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:

* Die Gegenkathete GK liegt $\beta$ gegenüber.

* Die Ankathete AK liegt an $\beta$ an.

Wichtig: Beachte, dass es immer vom ausgehenden Winkel abhängt, welche Kathete die Gegenkathete (gegenüber dem Winkel) und welche Kathete die Ankathete (dem Winkel anliegend) ist!

Sinus, Cosinus und Tangens

Definition

Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H: $\ \mathbf{sin\ \alpha = \frac{GK}{H}}$ Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H: $\ \mathbf{cos\ \alpha = \frac{AK}{H}}$ Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK: $\ \mathbf{tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}}$

Steigung und Steigungswinkel

Steigung und Steigungswinkel

Aus dem Kapitel Lineare Funktionen wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$ Somit erhalten wir die Formel:

Mit dieser Formel kann nun einfach zwischen der (prozentuellen) Steigung und dem Steigungswinkel gewechselt werden:

Eine $10 m$ lange Rampe legt einen Höhenunterschied von $1.4 m$ zurück.
- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.
- Bestimmen Sie
$\qquad \qquad \quad$ a) den Steigungswinkel.
$\qquad \qquad \quad$ b) die prozentuelle Steigung.

Skizze der Rampe

a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}\ \ \ \ \vert $ im TR: $sin^{-1}$

$\alpha = 8.05°$

b) Mithilfe der Formel $k=\tan \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen: $$k=\ tan\ \alpha$$ $$k=\tan \ 8.05°$$ $$k=0.14=14 \%$$ A: Die Steigung beträgt $14 \%$.

Übungen im rechtwinkligen Dreieck

• ? : Online-Übungen zur Überprüfung, ob die richtige Formel verwendet wurde

• ? : Weitere Übungen zur Überprüfung der Formel

• ? : Und noch eine Übung dazu

• Rechenbeispiele von Jutta Gut (mit Lösungen)

• Aufgabenblatt mit Textaufgaben (mit Lösungen)

Vermessungsaufgaben

Begriffe

Blick des Auges (links) auf ein Objekt

• Höhenwinkel

Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horizontalen ($=$ waagrechte Gerade) und „dem Blick in die Höhe“.

• Tiefenwinkel

Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horizontalen ($=$ waagrechte Gerade) und „dem Blick in die Tiefe“.

• Sehwinkel

Der Sehwinkel ist jener Winkel, der das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) „einfängt“.

Beispiele

• Beispiele zu den Vermessungsaufgaben von Jutta Gut (mit Lösungen)

Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis

Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis

Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius $r=1$. Sein Umfang beträgt $$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$

Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven $x$-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:

1) Gradmaß (abgekürzt mit °)

So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.

• Eine volle Umdrehung hat $360°$.
• Eine halbe Umdrehung hat $180°$.

2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)

Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens $r$ (siehe Skizze) bestimmt werden.

• Bei einer vollen Umdrehung hat $r$ die Länge $2\cdot \pi$ ($=$ Umfang des Einheitskreises, siehe oben). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
• Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ $rad$.

$Aha!$ : Das folgende Arbeitsblatt hilft dir, den Zusammenhang von Bogenmaß und Gradmaß zu verstehen

Sollte das Applet nicht funktionieren, klicke hier.

Merke	Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung: $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$ $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$ Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Bogenmaß) gegeben ist.

Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis

Theorie

Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:

Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis

• Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke $= y$-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

• Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke $= x$-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

• Der Tangens entspricht der Länge des Tangentenabschnittes der Tangente durch den Punkt $(1,0)$.

$Aha!$ : Das folgende Arbeitsblatt zeigt dir den Zusammenhang von Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis:

Sollte das Applet nicht funktionieren, klicke hier.

Wichtige Werte

Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das obige Arbeitsblatt sollte dir dabei helfen:

Trigonometrische Funktionen

Trägt man ausgehend vom Einheitskreis die Werte des Sinus in Abhängigkeit der Bogenlänge ab, so erhält man die Sinusfunktion. Analog funktioniert dies für die Cosinus- und Tangensfunktion, wie das folgende Applet zeigt:

Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$

Stellt man den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der $x$-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der $y$-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:

Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$

Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$

Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:

Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$

Tangensfunktion $f(x)=\tan(x)$

Der Graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:

Graph der Tangensfunktion samt den Asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$

Bedeutung der Parameter - Manipulation der Sinusfunktion

Dieses GeoGebra-Applet zeigt dir die wichtigsten Parameter, um den Graphen einer Sinusfunktion oder einer Cosinusfunktion zu verändern.

Das allgemeine Dreieck - Sinussatz und Cosinussatz

Wichtig: Der folgende Abschnitt ist für die schriftliche Matura nur in folgenden Schulzweigen relevant:

• HTL (Teil B)
• BAKIP/BASOP (Teil B)

Allerdings helfen dir die hier beschriebenen Formeln, gewisse Beispiele schneller und einfacher zu berechnen. Daneben könnte dieser Abschnitt auch bei der mündlichen Matura zum Stoffgebiet gehören (Informationen dazu gibt dir deine Lehrperson).

allgemeines Dreieck

Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.

Ohne rechten Winkel können wir die Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:

a) den Sinussatz

b) den Cosinussatz und

c) die allgemeinen Flächenformeln

Im allgemeinen Dreieck braucht man immer $3$ bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechten Winkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).

Sinussatz

Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck

1. eine Seite und

2. der gegenüberliegende Winkel und

3. irgendeine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.

Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleitung des Sinussatzes:

Cosinussatz

Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleitung und die Bedeutung des Cosinussatzes:

Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:

1. $2$ Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist oder

2. alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will.

Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden. gegebene Größen berechenbare Größen
Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden

Beispiele

• Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut (mit Lösungen)

Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck

Interaktive Übungen

Quiz: Sinus, Cosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken (AG 4.1)

Quiz: Sinus und Cosinus für Winkel $>90°$ (AG 4.2)

Quiz: Winkelfunktionen (Sinus- und Cosinusfunktion) (FA 6.1-6.5)

Matura-Aufgaben

• $Bifie$: Leuchtturm (bifie-Aufgabe)

• $Bifie$: Schifahren (bifie-Aufgabe: leicht)

• $Bifie$: Standseilbahn (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)

• $Bifie$: Glaspyramiede des Louvre (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)

Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!

• $Bifie$: Hochwasserschutz (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)

Siehe auch: Formeln aufstellen

• $Bifie$: Gletschermarathon (bifie-Aufgabe: mittel)

• $Bifie$: Geschwindigkeitskontrolle (bifie-Aufgabe: leicht)

Siehe auch: Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung

• $Bifie$: Wetterballon (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)

Siehe auch: Lineare Funktionen

• $Bifie$: Wasserverbrauch (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

• $Bifie$: Die Sonne (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)

Siehe auch: Logarithmus

• $Bifie$: Radausflug (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)

Siehe auch: Beschreibende Statistik und Exponentielle Abnahme

• $Bifie$: Windkraftanlage (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)

• $Bifie$: Zimmerei (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)

Siehe für b) auch: Wahrscheinlichkeitsrechnung

• $Bifie$ Milchverpackung (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für b) Trigonometrie (2.12 und 3.10) und für c) Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)

• $Bifie$: Section-Control

Siehe auch: Differenzen- und Differentialquotient

• $Bifie$: Stadtturm

Siehe auch: Integration und Kurvendiskussionen

• $Bifie$: Freizeitparadies Schöckl

• $Bifie$: Am Fluss

Siehe auch: Formeln sowie Kurvendiskussionen und Normalverteilung