Quadratische Funktionen
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Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (auch Polynomfunktion 2. Grades genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
mit $a,b,c\in$ $\mathbb{R} $ .
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Hinweis:
- !Wichtig! Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine Parabel und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).
- Quadratische Funktionen haben immer genau einen Hoch- oder Tiefpunkt. Diesen nennt man Scheitelpunkt (oder Scheitel)
- Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als Normalform bezeichnet (sozusagen: im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben).
- Neben der Normalform gibt es auch noch die Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$
Inhaltsverzeichnis
Graph, Parameter und Eigenschaften
$Aha!$ $\ $ Schau dir dieses Arbeitsblatt an und beantworte die darin angeführten Fragen.
Gegeben sei eine quadratische Funktion der Form $$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
Dann haben die Parameter $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt
- Ist $a>0$, so ist die Parabel nach oben offen.
- Ist $a<0$, so ist die Parabel nach unten offen.
- Je größer $|a|$ ist, desto steiler ist der Graph.
- $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus eins nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.
| Achtung: Im Gegensatz zu den linearen Funktionen darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.
Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht. |
$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:
- Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt rechts (!) der y-Achse.
- Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt links (!) der y-Achse.
!Achtung! Merke dir:
- $b<0\rightarrow$ rechts
- $b>0\rightarrow$ links
Zusatz für Interessierte
Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.
$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das d bei den linearen Funktionen).
- Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
- Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
- Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.
Nullstellen quadratischer Funktionen
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.
Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
- 2 Nullstellen
- 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
- 0 Nullstellen.
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die quadratische Gleichung $$f(x)=0$$ löst.
Siehe auch qudratische Gleichungen
Musterbeispiel: Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$
Lösung: Zuerst setzen wir die Funktion 0: $$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$ Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5 $$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$ $$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$ $$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$ $$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$ Antwort: Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
Typische Regenbeispiele bei gegebener Funktionsgleichung
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- Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
- 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
- Nullstellen berechnet werden müssen.
$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:
$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde
$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$
Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$
Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.
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Online-Übungsmaterialien
- ? : Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform
Matura-Beispiele
- $Bifie$ Wasserstrahl (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Nullstelle
- $Bifie$ Laptops (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
- siehe auch: Quadratische Gleichungen
- $Bifie$ : Bungeejumping (leicht-mittel-mittel)
- für b) brauchst du den Differenzen- und Differentialquotient (erst in der 4. Klasse!)
- $Bifie$ Skispringen (leicht-mittel-mittel)
- Aufgabe b) lernst du erst in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)
- $Bifie$ Ortsumfahrung (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
- Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen da du hier die Tangentengleichung bestimmen musst.
