Integration

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Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel

Hier lernst du nächeres über die Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke.

Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden. Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff Stammfunktion.

Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1

Integrationsregeln

• Potenzregel

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.

• Summenregel

$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$

Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

• Faktorregel

$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$

Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

• Regel für $\frac{1}{x}$

$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$

Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

Beispiele

Bestimmen Sie die Stammfunktionen:

$y=2,5$

$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$

$y=-x+0,5$

$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$

$y=x^2$

$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$

$y=9x^2-8x+1$

$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$

$y=2x+3$

$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$

$y=\frac{1}{x}$

$\int(\frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert +c$

Zusatzmaterial

Quiz

Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral

Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln

Lernvideos

Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2

Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3

Gruppe 3: Das bestimmte Integral

Hier lernst du nächeres über das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche

Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

Hier lernst du nächeres über die Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen.

Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

Hier lernst du nächeres über die Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven.

Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

Hier lernst du nächeres über die die Integration von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung

GeoGebra-Formelsammlung

Ober- Untersumme

$\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$

GeoGebra
Untersumme/Obersumme [ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert>, <Anzahl der Rechtecke> ]

Flächen zwischen 2 Kurven

$\int_{a}^{b} (f(x)-g(x) ) \cdot dx$

GeoGebra
IntegralZwischen[ <Funktion>, <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]

bestimmtes Integral und orientierte Fläche

$\int_{a}^{b} f(x)=F(b)-F(a)$

GeoGebra
Integral[ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]

Unbestimmtes Integral und die Integrationsregel

GeoGebra
Integral[ <Funktion> ]

Arbeitsblatt, dass die Idee der Rechtecke erklärt

1. zweite Bankreihe
2. dritte Bankreihe
3. vierte Bankreihe
4. vierte Bankreihe

Übungsaufgaben

• ? Quiz-Aufgabe (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

• $Bifie$ Erddamm (leicht-mittel)

• $Bifie$ Volumenstrom (mittel-schwer-mittel)

hierbei werden auch die Themen wie die momentane Änderungsrate und Umkehraufgaben benötigt.

• $Bifie$ Pinboard (mittel)

hier brauchst du auch Wissen über Kurvendiskussionen und über das Lösen von Gleichungssystemen bzw. Umkehraufgaben

• $Bifie$ Wasserkanal (mittel-mittel-leicht)

hier brauchst du auch Wissen über Kurvendiskussionen bzw. Steigung und Steigungswinkel sowie den Flächeninhalt eines Trapez'

• $Bifie$: Energieverbrauch beim Joggen (mittel)

Welche Inhalte brauchst du hier noch: exponentielle Abnahme und Differenzen- und Differentialquotient

• $Bifie$ Schmuckstück (leicht-mittel-mittel)

Was brauchst du hier noch: Quadratische Funktionen bzw. Umkehraufgaben

• $Bifie$ Minirampe (mittel)

Hier brauchst du auch Wissen über Kurvendiskussionen sowie über Steigung und Steigungswinkel und über Umkehraufgaben