Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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−	[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]	+	[[Datei:Parabeln.png | thumb]]
−	{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen|Funktion]] (auch [[Potenz- und Polynomfunktionen|Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$	+	{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen|Funktion]] (auch [[Potenz- und Polynomfunktionen|Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$<br /><div align="right">mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </div> }}
−	<div align="right">mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </div> }}	+
−		+	<br />'''Hinweis:'''<br />* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).
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−	'''Hinweis:'''	+
−	* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).	+
	* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')		* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')
−	* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').	+	* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben''). <br />: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]
−	: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]	+
−		+
	== Graph, Parameter und Eigenschaften ==		== Graph, Parameter und Eigenschaften ==
−	[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.	+	[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.
		+	Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form<br />$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
−	Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form	+	Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:<br />----<br />[[Datei:Graph mit a.gif|right]]
−	$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$	+
−	Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
−	----
−	[[Datei:Graph mit a.gif|right]]
		+	<br />'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''
		+	<br />* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.<br />* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen. <br />* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $]] ist, desto steiler ist der Graph. <br />* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.
−	'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''	+	{| style="background-color:#D3D3D3"<br />|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.<br /> <br />Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht. <br />|}
−	* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.	+	----<br />[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]
−	* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.	+
−	* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.	+
−	* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.	+
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−	{| style="background-color:#D3D3D3"	+
−	|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.	+
−		+
−	Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.	+
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−	[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]	+
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	'''$b$ verschiebt den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''		'''$b$ verschiebt den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''
		+	<br />* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.<br />* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.
−	* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.	+	'''!Achtung! Merke dir:'''<br />* $b<0\rightarrow$ rechts<br />* $b>0\rightarrow$ links
−	* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.	+
−	'''!Achtung! Merke dir:'''
−	* $b<0\rightarrow$ rechts
−	* $b>0\rightarrow$ links
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	<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>		<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>
−	<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.	+	<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.
	Wer selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.		Wer selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.
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	</div>		</div>
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−	----	+	----<br />[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]
−	[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]	+
		+	<br />$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).
−	$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).	+	<br />* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.<br />* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenursprung.<br />* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.
−		+	<br><br /><br><br /><br><br /><br>
−	* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.	+
−	* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenursprung.	+
−	* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.	+
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	== Nullstellen quadratischer Funktionen ==		== Nullstellen quadratischer Funktionen ==
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	[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]		[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]
−	Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.	+	Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.
−		+
−	Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:	+
−	* 2 Nullstellen	+
−	* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)	+
−	* 0 Nullstellen.	+
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−	Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.	+
		+	Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:<br />* 2 Nullstellen<br />* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)<br />* 0 Nullstellen.
−	Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]	+	<br />Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.
		+	<br />Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]
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	<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>		<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>
−	<div class="mw-collapsible-content">	+	<div class="mw-collapsible-content">
		+	'''Lösung:''' <br />Zuerst setzen wir die Funktion 0: <br />$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$<br />Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5<br />$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$<br />[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|right|200px]]<br />$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$<br />$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$<br />$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$<br />$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$<br />'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse. <br /></div><br /></div>
−	'''Lösung:'''	+	<br><br /><br><br /><br>
−	Zuerst setzen wir die Funktion 0:	+
−	$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$	+
−	Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5	+
−	$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$	+
−	[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]	+
−	$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$	+
−	$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$	+
−	$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$	+
−	$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$	+
−	'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.	+
−	</div>	+
−	</div>	+
−	<br>	+	== Typische Rechenbeispiele bei gegebener Funktionsgleichung ==<br />{{Vorlage:Beispiel|1=Ein Ball wird in die Höhe geworfen. Die Funktion $h(t)=-0.1x^2+0.3x+3$ gibt die Höhe des Balles in Metern (m) nach t Sekunden (s) an. <br /><br><br /><br><br /><br><br />a) Bestimmen Sie die Abwurfhöhe des Balles.<br /><br><br />b) Ermitteln Sie die Höhe des Balles nach 6 Sekunden.<br /><br><br />c) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball auf dem Boden aufkommt.<br /><br><br />d) Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball eine Höhe von 2 m hat. <br /><br><br />e) Skizzieren Sie den Graphen von h(t) im Intervall $[-2;8]$<br /><br><br />f) Erklären Sie, wie mithilfe der Nullstellen der Funktion h(t) jener Zeitpunkt bestimmt werden kann, bei dem der Ball seine maximale Höhe erreicht. <br />|2= <br />a) Es gilt $$h(t)=-0.1t^2+0.3t+3$$. Bereits am $c=3$ erkennt man, dass die Anfangshöhe 3m ist. Alternativ kann man auch für $t=0$ einsetzen (da hier der Beginn ist):<br />$$h(0)=-0.1\cdot 0^2+0.3\cdot 0+3$$<br />$$h(0)=3$$
−	<br>	+
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−	== Typische Rechenbeispiele bei gegebener Funktionsgleichung ==	+	b) Laut Angabe ist $t=6$. Setzen wir dies in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir:<br />$$h(6)=-0.1\cdot 6^2+0.3\cdot 6+3$$<br />$$h(6)=1.2\ m$$
−	{{Vorlage:Beispiel|1=Ein Ball wird in die Höhe geworfen. Die Funktion $h(t)=-0.1x^2+0.3x+3$ gibt die Höhe des Balles in Metern (m) nach t Sekunden (s) an.	+
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−	a) Bestimmen Sie die Abwurfhöhe des Balles.	+
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−	b) Ermitteln Sie die Höhe des Balles nach 6 Sekunden.	+
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−	c) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball auf dem Boden aufkommt.	+
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−	d) Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball eine Höhe von 2 m hat.	+
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−	e) Skizzieren Sie den Graphen von h(t) im Intervall $[-2;8]$	+
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−	f) Erklären Sie, wie mithilfe der Nullstellen der Funktion h(t) jener Zeitpunkt bestimmt werden kann, bei dem der Ball seine maximale Höhe erreicht.	+
−	|2=	+
−	a) Es gilt $$h(t)=-0.1t^2+0.3t+3$$. Bereits am $c=3$ erkennt man, dass die Anfangshöhe 3m ist. Alternativ kann man auch für $t=0$ einsetzen (da hier der Beginn ist):	+
−	$$h(0)=-0.1\cdot 0^2+0.3\cdot 0+3$$	+
−	$$h(0)=3$$	+
−	b) Laut Angabe ist $t=6$. Setzen wir dies in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir:	+	<br />c) Gesucht ist die Nullstelle der Funktion. D.h. für welches t gilt, dass $h(t)=0$ ist:<br />$$0=h(t)$$<br />$$0-0.1t^2+0.3t+3$$<br />Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:<br />$$t_1=-4.18\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=7.18$$<br />Der Ball landet nach 7.18 s auf dem Boden.
−	$$h(6)=-0.1\cdot 6^2+0.3\cdot 6+3$$	+
−	$$h(6)=1.2\ m$$	+
		+	d) Für welches t ist $h(t)=2$?<br />$$2=h(t)$$<br />$$2=-0.1t^2+0.3t+3\ \ \ \vert -2$$<br />$$0=-0.1t^2+0.3t+1$$<br />Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:<br />$$t_1=-2\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=5$$<br />Somit hat der Ball nach 5 Sekunden eine Höhe von 5 m.
−	c) Gesucht ist die Nullstelle der Funktion. D.h. für welches t gilt, dass $h(t)=0$ ist:	+	e) <br />[[Datei:Quadratische-fkten-Bsp.png|thumb|center|700px|Graph der Funktion $h(t)$]]
−	$$0=h(t)$$	+
−	$$0-0.1t^2+0.3t+3$$	+
−	Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:	+
−	$$t_1=-4.18\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=7.18$$	+
−	Der Ball landet nach 7.18 s auf dem Boden.	+
−	d) Für welches t ist $h(t)=2$?	+	d) Nach c) lauten die Nullstellen $t_1=-4.18$ und $t_2=7.18$. Da die Parabel symmetrisch zum Scheitelpunkt ist und die Parabel nach unten offen ist ($a=-0.1<0$), liegt der Scheitelpunkt/Hochpunkt genau zwischen den beiden Nullstellen:<br />$t_{max}=\frac{-4.18+7.18}{2}=1.5$
−	$$2=h(t)$$	+
−	$$2=-0.1t^2+0.3t+3\ \ \ \vert -2$$	+
−	$$0=-0.1t^2+0.3t+1$$	+
−	Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:	+
−	$$t_1=-2\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=5$$	+
−	Somit hat der Ball nach 5 Sekunden eine Höhe von 5 m.	+
−	e)	+	<br />Nach 1.5 s erreicht der Ball seine maximale Höhe.
−	[[Datei:Quadratische-fkten-Bsp.png|700px|miniatur|zentriert|Graph der Funktion $h(t)$]]	+
−	d) Nach c) lauten die Nullstellen $t_1=-4.18$ und $t_2=7.18$. Da die Parabel symmetrisch zum Scheitelpunkt ist und die Parabel nach unten offen ist ($a=-0.1<0$), liegt der Scheitelpunkt/Hochpunkt genau zwischen den beiden Nullstellen:
−	$t_{max}=\frac{-4.18+7.18}{2}=1.5$
		+	<br />}}
−	Nach 1.5 s erreicht der Ball seine maximale Höhe.	+	== Scheitelpunktform ==<br />=== Allgemein ===<br />[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]<br />Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:<br />$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$<br /><br><br /><br><br />$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.
−		+
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−	}}	+
−		+
−	== Scheitelpunktform ==	+
−	=== Allgemein ===	+
−	[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]	+
−	Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:	+
−	$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$	+
−	<br>	+
−	<br>	+
−	$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.	+
	$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung		$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung
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	<br>		<br>
−	[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.	+	[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.
−	[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]	+	[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]
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	<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">		<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
−	<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''	+	<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''<br />Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>
−	Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>	+
−	<div class="mw-collapsible-content">	+	<div class="mw-collapsible-content">
		+	<br />[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]
−	[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]	+	<br />'''Lösung:'''<br />* $w=-2$... somit wird die Parabel wird 2 nach rechts verschoben<br />* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben<br />* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).<br />* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.
−		+
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−	'''Lösung:'''	+
−	* $w=-2$... somit wird die Parabel wird 2 nach rechts verschoben	+
−	* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben	+
−	* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).	+
−	* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.	+
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		+	</div>
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−	=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
−	Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass
−
−
−	a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.
−
−	b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.
−
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		+	<br />=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===<br />Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass
		+	<br />a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.
		+	b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.
−	=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===
		+	<br />=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===
−	'''Methode''':
−	Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!
		+	<br />'''Methode''': <br />Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!
−	{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.	+	<br />{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.
	a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.		a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.
−	b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.	+	b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um. <br />|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.
−	|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.	+
−	b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:	+	b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:<br />$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$<br />1. Schritt: ausquadrieren<br />$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$<br />2. Schritt: vereinfachen<br />$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$<br />$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$<br />Die Normalform von $f$ lautet $\underline{\underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}
−	$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$	+
−	1. Schritt: ausquadrieren	+
−	$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$	+
−	2. Schritt: vereinfachen	+
−	$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$	+
−	$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$	+
−	Die Normalform von $f$ lautet $\underline{\underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}	+
	=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===		=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===
−	'''Methode:'''	+	'''Methode:''' <br />Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].
−	Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].	+
		+	<br />{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$<br />Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:
−	{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$	+	$$f(x)=x^2-2x+3$$<br />$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$<br />$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$<br />$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$<br />nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:<br />$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$<br />Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}
−	Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:	+
−	$$f(x)=x^2-2x+3$$
−	$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
−	$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
−	$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
−	nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
−	$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$
−	Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}
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		+	<br />'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''<br />{{#widget:Iframe<br /> |url= http://LearningApps.org/view391866<br /> |width= 900<br /> |height= 500<br /> |border=0<br /> }}
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−	== Funktionsgleichung bestimmen ==	+	== Funktionsgleichung bestimmen ==<br />'''Typische Aufgabenstellung''': <br />: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind.''
−	'''Typische Aufgabenstellung''':	+
−	: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind.''	+
−		+	<br />'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:
−	'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:	+
	a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist, verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$		a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist, verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$
−	b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.	+	b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt. <br /><br><br /><br><br /><br>
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	'''Musterbeispiel'''		'''Musterbeispiel'''
−	{| border="1"	+	{| border="1" <br />!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$<br />!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$<br />|-<br />| '''Wird verwendet, wenn:'''<br />* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.<br />* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.<br />* [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen. <br />|'''Wird verwendet, wenn:'''<br />* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist. <br />|-<br />| '''Berechnung der [[Parameter]]'''<br /># Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.<br /># Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.<br />| '''Berechnung der [[Parameter]]'''<br /># w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.<br /># a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')
−	!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$	+
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−	* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.	+
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−	* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.	+
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−	# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.	+
−	# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.	+
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−	# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.	+
−	# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')	+
−	|-	+	|-<br />|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''<br />Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen<br />|-<br />|<br /><br><br />[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|center|300px]]
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−	Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen	+
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	Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:		Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:
		+	<br />$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$<br />$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$<br />$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$
−	$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$	+	Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:<br />$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$<br />$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$<br />$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$
−	$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$	+
−	$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$	+
−	Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:	+	Löst man dieses, so erhält man:<br />$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$<br />$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$<br />|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]<br /><br>
−	$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$	+
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	Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:		Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:
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	$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde		$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde
−	$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde	+	$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde<br />$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$
−	$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$	+
−	Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:	+	Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:<br />$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$<br />$$3=a\cdot 4-1$$<br />$$4=4\dot a$$<br />$$a=1$$<br />$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$
−	$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$	+
−	$$3=a\cdot 4-1$$	+
−	$$4=4\dot a$$	+
−	$$a=1$$	+
−	$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$	+
−		+	<br />Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.
−	Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.	+
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	== Online-Übungsmaterialien ==		== Online-Übungsmaterialien ==
−	* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]	+	* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]
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−	== Matura-Beispiele ==	+	<br />== Matura-Beispiele ==<br />* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]lt;/span>]]amp;lt;/span&gt;" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20&lt;span%20style=&quot;background-color:#7CFC00&quot;&gt;$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]amp;lt;/span&gt;"> <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]lt;/span>amp;lt;/span&gt;" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20&lt;span%20style=&quot;background-color:#7CFC00&quot;&gt;$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]amp;lt;/span&gt;"> <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]lt;/span>amp;lt;/span&gt;" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20&lt;span%20style=&quot;background-color:#7CFC00&quot;&gt;$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]amp;lt;/span&gt;"> <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]lt;/span> [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)<br />*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]
−	* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)	+
−	*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]	+
−	* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=133&file=Laptops.pdf Laptops] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)	+	* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=133&file=Laptops.pdf Laptops] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)<br />*: siehe auch: [[Quadratische Gleichungen]]
−	*: siehe auch: [[Quadratische Gleichungen]]	+
−	* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel)	+	* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel) <br />*: für b) <span style="background-color:yellow"> brauchst du den [[Differenzen- und Differentialquotient]] (erst in der 4. Klasse!) </span>
−	*: für b) <span style="background-color:yellow"> brauchst du den [[Differenzen- und Differentialquotient]] (erst in der 4. Klasse!) </span>	+
−	* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)	+	* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)<br />*: Aufgabe b) lernst du <span style="background-color:yellow"> erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]] </span>
−	*: Aufgabe b) lernst du <span style="background-color:yellow"> erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]] </span>	+
−	* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)	+	* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)<br />*: <span style="background-color:yellow"> Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen </span> da du hier [[Bestimmen der Tangentengleichung | die Tangentengleichung bestimmen musst.]]
−	*: <span style="background-color:yellow"> Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen </span> da du hier [[Bestimmen der Tangentengleichung | die Tangentengleichung bestimmen musst.]]	+
	[[Kategorie: Funktionen]]		[[Kategorie: Funktionen]]

---

Version vom 1. Januar 2016, 11:52 Uhr

Definition

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (auch Polynomfunktion 2. Grades genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$ mit $a,b,c\in$ $\mathbb{R} $ .

Hinweis:
* !Wichtig! Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine Parabel und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

• Quadratische Funktionen haben immer genau einen Hoch- oder Tiefpunkt. Diesen nennt man Scheitelpunkt (oder Scheitel)

• Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als Normalform bezeichnet (sozusagen: im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben).
  : Neben der Normalform gibt es auch noch die Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$

Graph, Parameter und Eigenschaften

$Aha!$ $\ $ Schau dir dieses Arbeitsblatt an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben sei eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die Parameter $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----

$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach oben offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach unten offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht. {| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.

Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|} ----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]] '''$b$ verschiebt den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''
* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse. '''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]
$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).
* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenursprung.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.






== Nullstellen quadratischer Funktionen == [[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]] Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse. Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-3-QINU löst.
Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]




== Typische Rechenbeispiele bei gegebener Funktionsgleichung ==
[[Datei:Bsp.png|left]] == Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-22-QINU




$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an. $w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung $s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung
[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen. [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]



=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass
a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw. b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.
=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===
'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!
[[Datei:Bsp.png|left]] === Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform === '''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].
[[Datei:Bsp.png|left]]





'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''
== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind.''
'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege: a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist, verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$ b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.





'''Musterbeispiel''' {| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'') |-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|


[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|center|300px]]
Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-32-QINU
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-33-QINU
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-34-QINU Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-35-QINU
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-36-QINU
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-37-QINU Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-38-QINU
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt: $w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde $s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-39-QINU Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-40-QINU
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-41-QINU
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-42-QINU
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-43-QINU
UNIQ4436d1500004ab35-MathJax-44-QINU
Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen. |} == Online-Übungsmaterialien == * [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]
== Matura-Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie $Bifie$lt;/span>]]amp;lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]amp;lt;/span>"> $Bifie $Bifie$lt;/span>amp;lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]amp;lt;/span>"> $Bifie $Bifie$lt;/span>amp;lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]amp;lt;/span>"> $Bifie $Bifie$lt;/span> Wasserstrahl (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Nullstelle

• $Bifie$ Laptops (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
  *: siehe auch: Quadratische Gleichungen

• $Bifie$ : Bungeejumping (leicht-mittel-mittel)
  *: für b) brauchst du den Differenzen- und Differentialquotient (erst in der 4. Klasse!)

• $Bifie$ Skispringen (leicht-mittel-mittel)
  *: Aufgabe b) lernst du erst in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)

• $Bifie$ Ortsumfahrung (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
  *: Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen da du hier die Tangentengleichung bestimmen musst.