Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Infobox: Lineare Funktionen
Inhaltsbereich: Funktionale Abhängigkeiten (FA)
Semester: AHS: 1. Semester HAK: 1. Semester HTL: 1. Semester HLW: 1. Semester BAfEP: 1. Semester
Vorwissen: Funktionen
Folgethemen: Gleichungssysteme; Quadratische Funktionen
Unterrichtsideen: kommt bald

Definition

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $$ y=k\cdot x+d$$ mit $k,d\in$ $\mathbb{R} $.

Merke

Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade.

Graph einer linearen Funktion

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Verändere im folgenden Applet die Werte von $k$ und $d$ und beobachte, was passiert.
Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke auf diesen Link

Steigung $k$

Der Parameter $k$ gibt die (prozentuelle) Steigung der Geraden an. Die Steigung $k$ kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

Steigungsdreieck

Graph mit zwei Steigungsdreiecken

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden $1$ nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung $k$.

Merke

„Fällt“ der Graph einer linearen Funktion, so ist $k$ negativ. „Steigt“ der Graph einer linearen Funktion, so ist $k$ positiv.

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt: $$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ $\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete (inkl. Vorzeichen!)

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

Steigung aus Zahlenpaaren

Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt oder aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat, kann man ihre Steigung $k$ einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung $k$ durch $$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe Differenzenquotient)

Merke

Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also „erster Punkt minus zweiter Punkt“ oder „zweiter Punkt minus erster Punkt“.

Ermittle die Steigung der Geraden, auf der die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ liegen.

Lösung:

Möglichkeit 1: Zeichne die zwei Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

Durch Einzeichnen des Steigungsdreiecks zwischen $P$ und $Q$ können auch $\Delta x$ und $\Delta y$ leicht abgelesen werden (siehe Abb.). Es folgt daraus $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-6}{3}=-2$

Möglichkeit 2: Nachdem die Gerade eingezeichnet wurde, kann ein Steigungsdreieck der Breite $1$ eingezeichnet werden, aus dem $k=-2$ sofort abgelesen werden kann.

Möglichkeit 3: Direkte rechnerische Bestimmung mittels Differenzenquotient: $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2-(-1) }=\frac{-6}{3}=-2$

Steigungswinkel

Manchmal ist der Steigungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung $k$ und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt $$k=\tan(\alpha)$$ (siehe Trigonometrie)

Abstand $d$ auf der $y$-Achse („Ordinatenabschnitt“)

$d$ gibt den $y$-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der $y$-Achse an.

$d$ kann aus dem Graph abgelesen werden (manchmal nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.

Eigenschaften:

• ist $d=0$, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man homogene lineare Funktionen. Ist $d\neq 0$, so nennt man die Funktion inhomogen.
• bei Kostenfunktionen gibt $d$ die Fixkosten an.

Berechnung von $d$

Wenn $d$ noch nicht bekannt ist, kann es aus zwei Punkten, die auf der Geraden liegen, berechnet werden. Diese Punkte sind entweder bekannt oder können aus dem Graph abgelesen werden.

1. Schritt: Berechnung von $k$ (siehe oben)

2. Schritt: $k$ und einen der beiden Punkte in \(y=k\cdot x+d\) einsetzen. $d$ sollte dann die einzige Unbekannte in einer linearen Gleichung sein. Durch Lösen der Gleichung erhält man $d$.

Ermittle $d$ jener Geraden, auf der die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ liegen.

Lösung:

Möglichkeit 1: Zeichne die zwei Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

Man sieht, dass die Gerade die $y$-Achse bei $1$ schneidet. $d$ ist also $1$.

Möglichkeit 2: Direkte rechnerische Bestimmung mittels Gleichung: $3=-2 \cdot (-1)+d \Leftrightarrow 3=2+d \Leftrightarrow 1=d$

Graph zeichnen (Gerade)

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Man kann sie entweder mithilfe zweier Zahlenpaare (Wertetabelle) oder $k$ und $d$ zeichnen.

Zahlenpaare

Zeichne zwei Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem und lege eine Gerade durch sie. Wenn du noch keine Zahlenpaare hast, kannst du sie aus der Wertetabelle der Funktion nehmen bzw. $x$-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Achte darauf, dass die Punkte weit voneinander entfernt liegen, dann wird die Zeichnung genauer!

$k$ und $d$

1. $d$ hinauf/hinab
2. eins nach rechts
3. $k$ hinauf/hinab

Ist $k$ ein Bruch, d. h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du

1. $d$ hinauf/hinab
2. Nenner nach rechts
3. Zähler hinauf/hinab

Gerade mit gegebener Funktionsgleichung zeichnen

Besondere Eigenschaften

Lineare Funktionen erfüllen die Eigenschaft $f(x+1)=f(x)+k$

Beweis: $f(x+1)=k\dot (x+1)+d=kx+k+d=kx+d+k=f(x)+k$

Außerdem ist die Ableitung der linearen Funktion gleich $k$: $\frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f´(x)$

Lineare Funktionen der Form $f(x)=k \cdot x$ werden auch als direkte Proportionalitätsfunktionen bezeichnet. Diese gehen stets durch den Ursprung. Direkte Proportionalitätsfunktionen haben die besondere Eigenschaft, dass wenn x mit einem bestimmten Faktor multipliziert wird, sich auch f(x)um denselben Faktor verändert. Z.B. x wird verdoppelt, so verdoppelt sich auch f(x). Weitere Informationen findest du im Abschnitt Direkte Proportionalität

Video

Was nicht fehlen darf - ein Lied von DorFuchs: (Anmerkung: In Deutschland werden anstatt $k$ und $d$ die Variablen $m$ und $n$ verwendet.)