Kosten- und Preistheorie: Unterschied zwischen den Versionen

• Zuerst stellen wir die lineare Preisfunktion der Form $p(x)=k\cdot x+d$ auf, wobei $x$ die Mengeneinheiten und $p(x)$ den Preis pro Stück angibt.

Die Funktion kann mithilfe der beiden Punkte bestimmt werden.

1. Variante: Wir setzen die Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ die Funktionsgleichung ein und berechnen k und d, indem wir das Gleichungssystem (hierbei eignet sich z.B. das Additionsverfahren) lösen: $$p(x)=k\cdot x+d$$

1. Punkt: $I:\ \ 3.75= k\cdot 5+d$

2. Punkt: $\underline{II:2.50=k\cdot 10+d\ \ "-"}$

$$1.25=-5\cdot k\ \ \ \rightarrow k=-0.25 \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir die Preisfunktion p mit $$p(x)=-0.25x+5$$

Bestimmung der Funktionsgleichung mithilfe des Steigungsdreiecks.

2. Variante: Da es sich um eine lineare Funktion handelt, kann k auch mithilfe dem Steigungsdreieck der Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ ermittelt werden: $$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{2.50-3.75}{10-5}=-0.25$$ Somit ist $k=-0.25$. Um das d nun noch zu berechnen, setzt man einen der beiden Punkte und k in die Funktionsgleichung ein: Punkt $(5\vert 3.75)$ und $k=-0.25$ in $p(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt ergeben: $$3.75=-0.25\cdot 5+d\rightarrow 3.75+1.25=d \rightarrow d=5$$ Somit erhalten wir: $$p(x)=-0.25\cdot x+5$$

• Nun bestimmen wir mit der Preisfunktion den Höchstpreis und die Sättigungsmenge:

Höchstpreis: $p(0)=d=5$. Der Höchstpreis beträgt 5 Euro pro Mengeneinheit.

Sättigungsmenge: $p(x)=0$

$$0=-0.25x+5$$ $$-5=-0.25x$$ $$x=20$$

Die Sättigungsmenge beträgt somit 20 Mengeneinheiten.

Preisfunktion mit Höchstpreis und Sättigungsmenge

• Die Erlösfunktion erhalten wir mit:

$$E(x)=x\cdot p(x)$$ $$E(x)=x\cdot (-0.25x+5$$ $$E(x)=-0.25x^2+5x$$

Graphen der Preis- und Erlösfunktion

• Die Nullstellen ermitteln wir, indem wir die Erlösfunktion nullsetzen:

$$0=E(x)$$ $$0=-0.25x^2+5x$$ Durch herausheben von x, Quadkom oder den Löse-Befehl erhalten wir $x_1=0$ und $x_2=20$.

• Nun bestimmen wir den maximalen Erlös:

1. Variante: Mithilfe der Eigenschaften einer quadratischen Funktion Die Erlösfunktion E mit $E(x)=-0.25x^2+5x$ ist eine quadratische Funktion mit 2 Nullstellen. Wie jede quadratische Funktion hat sie aufgrund ihrer Symmetrie ihren Scheitelpunkt (Extremstelle) genau zwischen den beiden Nullstellen. $$x_{max}=\frac{0+20}{2}=10$$ Das Erlösmaximum befindet sich somit bei x=10 Mengeneinheiten. Der Erlös beträgt $E(10)=25$ Geldeinheiten.

2. Variante: Mithilfe des Maximum-Befehls (siehe Ti-Taschenrechner bzw. GeoGebra. Das Ergebnis siehst du in der rechten Abbildung

Erlösfunktion mit Erlösmaximum

3. Variante: Mithilfe der Differentialrechnung. Für ein Maximum muss gelten, dass $f'(x)=0$ und $f''(x)<0$ ist: $$E'(x)=-0.5x+5$$ $$0=-0.5x+5\ \ \ \rightarrow x=10$$ Und nun zur 2. Ableitung: $$E''(x)=-0.5$$ $$ E''(10)=-0.5<0 \ \ \ \rightarrow HP$$ Somit befindet sich bei $x=10$ ein Hochpunkt und der Erlös an dieser Stelle beträgt $E(10)=25$

Bestimmen des Grenzerlöses

$$E'(5)=-0.5\cdot 5+5$$ $$E'(5)=2.5 \textrm{€ pro Mengeneinheit}$$

Produziert man statt fünf Mengeneinheiten noch eine zusätzliche sechste, so steigt der Erlös (ungefähr) um 2.5 €.

Graph der Kostenfunktion K

a) Die Kostenfunktion lautet $K(x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$. Der konstante Term gibt die Fixkosten an, der Term mit den x gibt die variablen Kosten an:

• Fixkosten: $10$
• Variable Kosten: $0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$

b) Gefragt sind die Kosten bei $x=12$ ME und gesucht ist $K(12)$: $$K(12)=0.017\cdot 12 ^3−0.38 \cdot 12^2+3.3\cdot 12+10=24.256 \textrm{ GE}$$

c) Die Kosten betragen $K(x)=60$ und gesucht ist x: $$60=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$$ Mithilfe von Technologie (siehe TI-Befehle bzw. GeoGebra) erhalten wir: $$x=20$$ A: Bei einer Produktion von 20 ME fallen Kosten von 60 GE an.

$$K(x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x+10$$ $$K'(x)=0.034x^2-0.76x+3.3$$ $K'(x)$ gibt uns die Genzkostenfunktion an. Nun müssen wir nur noch die Grenzkosten bei 20 ME, d.h. $K'(20)$ bestimmen: $$K'(20)=0.034\cdot 20^2-0.76\cdot 20+3.3$$ $$K'(20)=8.5\textrm{ GE/ME} $$ Die Grenzkosten bei einer Produktionsmenge von $x=20$ ME betragen 8.5 GE/ME.

Interpretation: Daraus kann geschlossen werde, dass eine zusätzlich produzierte Mengeneinheit Kosten von ca. 8.5 GE/ME verursachen würde.

$$K(x)=0.017x^3 - 0.38x^2 + 3.3x + 10$$ $$\bar{K}(x)=\frac{0.017x^3 - 0.38x2 + 3.3x + 10}{x}$$ $$\bar{K}(x)=0.017x^2 - 0.38x + 3.3 +\frac{10}{x}$$ $$\bar{K}(x)=0.017x^2 - 0.38x + 3.3+10x^{-1}$$

Nun berechnen wir das Minimum der Stückkostenfunktion. Entweder mit dem Minimumbefehl (TI-Befehle,GeoGebra) oder (wie hier) mithilfe der Differentialrechnung (siehe Ableitung bestimmen bzw. Kurvendiskussionen):

Graph der Stückkostenfunktion

Um das Minimum zu berechnen, ermitteln wir zuerst $\bar{K}'(x)$ und setzen dies dann 0: $$\bar{K}'(x)=0.034x - 0.38 -10x^{-2}$$ $$0=0.034x - 0.38 -10x^{-2}\ \ \ \ \vert \cdot x^2$$ $$0=0.034x^3-0.38x^2-10$$ Diese Gleichung löst man am besten graphisch (siehe TI-Befehle bzw. GeoGebra) oder mit dem Löse-Befehl (siehe TI-Befehle bzw. GeoGebra) und erhält: $$x_{opt}=12.93$$

Antwort: Das Betriebsoptimum liegt bei 12.93 Mengeneinheiten.

Die dazugehörenden Stückkosten, die sogenannte langfristige Preisuntergrenze liegt bei: $$\bar{K}(x_{opt})=\bar{K}(12.93)= 2 \textrm{ Euro pro Stück}$$

$$K_v (x)=0.017x^3−0.38x^2+3.3x$$

• daraus erhalten wir die variable Stückkostenfunktion

$$\bar{K_v}(x)=\frac{0.017x^3−0.38x^2+3.3x}{x}=0.017x^2−0.38x+3.3$$

• Nun müssen wir für das Betriebsminimum nur noch das Minimum der Stückkostenfunktion bestimmen:

$$\bar{K_v}(x)=0.017x^2−0.38x+3.3$$ $$\bar{K_v}'(x)=0.034x-0.38$$ $$0=0.034x-0.38\ \rightarrow \underline{\underline{x_{min}= 11.18} }$$ Das Betriebsminimum liegt somit bei 11.18 Mengeneinheiten.

Zuletzt berechnen wir noch die kurzfristige Preisuntergrenze $\bar{K_v}(x_{min})$: $$\bar{K_v}(x)=0.017x^2−0.38x+3.3$$ $$\bar{K_v}(11.18)=0.017\cdot 11.18^2−0.38\cdot 11.18+3.3$$ $$\underline{\underline{\bar{K_v}(x)=1.18} }$$ Die kurzfristige Preisuntergrenze beträgt somit 1.18 GE und wird erreicht, wenn $x_{min}=$11.18 ME produziert werden.