Differenzen- und Differentialquotient: Unterschied zwischen den Versionen
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* Wie berechne ich die '''durchschnittliche Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der [[Sekante]]? | * Wie berechne ich die '''durchschnittliche Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der [[Sekante]]? | ||
* Wie berechne ich die '''momentane Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der [[Tangente]]? | * Wie berechne ich die '''momentane Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der [[Tangente]]? | ||
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| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Der Differenzenquotient (= durchschnittliche Steigung)|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Der Differenzenquotient (= durchschnittliche Steigung)|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | ||
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= Der Differenzenquotient (= durchschnittliche Steigung)= | = Der Differenzenquotient (= durchschnittliche Steigung)= | ||
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− | + | === Definition === | |
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[[Datei:Diffquotient.png|thumb|500px|right| Der '''Differenzenquotient''' berechnet die Steigung der [[Sekante]] $s$.]] | [[Datei:Diffquotient.png|thumb|500px|right| Der '''Differenzenquotient''' berechnet die Steigung der [[Sekante]] $s$.]] | ||
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wird als '''Differenzenquotient''' bezeichnet. | wird als '''Differenzenquotient''' bezeichnet. | ||
Er gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x \vert f(x))$ und $B=(f(x+\Delta x) \vert x+\Delta x )$ an (siehe Abbildung rechts). }} | Er gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x \vert f(x))$ und $B=(f(x+\Delta x) \vert x+\Delta x )$ an (siehe Abbildung rechts). }} | ||
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<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span> | <span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span> | ||
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− | == Video-Erklärung == | + | === Video-Erklärung === |
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!| Video zum Differenzenquotienten | !| Video zum Differenzenquotienten | ||
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− | == Beispiele == | + | === Beispiele === |
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=0.1x³ - x² + 2x$. | {{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=0.1x³ - x² + 2x$. | ||
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Somit hat das Fahrzeug zwischen der $5.$ und $9.$ Sekunde eine durchschnittliche Geschwindigkeit von $5.04 km/h$. | Somit hat das Fahrzeug zwischen der $5.$ und $9.$ Sekunde eine durchschnittliche Geschwindigkeit von $5.04 km/h$. | ||
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| {{#ev:youtube|VFVL_5OFwMc}} | | {{#ev:youtube|VFVL_5OFwMc}} | ||
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| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Der Differentialquotient (= momentane Steigung, $f'$)|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Der Differentialquotient (= momentane Steigung, $f'$)|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | ||
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= Der Differentialquotient (= momentane Steigung, $f'$) = | = Der Differentialquotient (= momentane Steigung, $f'$) = | ||
− | + | == Der Differentialquotient == | |
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Im oberen Abschnitt haben wir uns überlegt, wie wir die durchschnittliche Steigung in einem vorgegebenen Intervall bestimmen können. Dies gelang uns mithilfe des '''Differenzenquotienten'''. | Im oberen Abschnitt haben wir uns überlegt, wie wir die durchschnittliche Steigung in einem vorgegebenen Intervall bestimmen können. Dies gelang uns mithilfe des '''Differenzenquotienten'''. | ||
Nun überlegen wir uns, wie wir die '''momentane Steigung''' an einem bestimmten Punkt berechnen können. Dies wird uns nämlich der sogenannte '''Differentialquotient''' liefern. | Nun überlegen wir uns, wie wir die '''momentane Steigung''' an einem bestimmten Punkt berechnen können. Dies wird uns nämlich der sogenannte '''Differentialquotient''' liefern. | ||
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[[Datei:Differentialquotient.png|thumb|450px| Der Differentialquotient berechnet die Steigung der [[Tangente]] $t$.]] | [[Datei:Differentialquotient.png|thumb|450px| Der Differentialquotient berechnet die Steigung der [[Tangente]] $t$.]] | ||
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Er gibt die momentane Steigung der Tangente durch den Punkte $A=(x\vert f(x))$ an. }} | Er gibt die momentane Steigung der Tangente durch den Punkte $A=(x\vert f(x))$ an. }} | ||
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* Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der $x$-Achse der beiden Punkte $A$ und $B$ immer näher gegen $0$ gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert. | * Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der $x$-Achse der beiden Punkte $A$ und $B$ immer näher gegen $0$ gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert. | ||
[[Datei:Difquotuebergang.gif]] | [[Datei:Difquotuebergang.gif]] | ||
− | * [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $ | + | * [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $[[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen.]] |
* Anstelle von $k$ wird auch $f'(x)$ geschrieben und damit gilt: | * Anstelle von $k$ wird auch $f'(x)$ geschrieben und damit gilt: | ||
$$ {f'(x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ | $$ {f'(x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ | ||
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− | == Video-Erklärung == | + | === Video-Erklärung === |
Hinweise zum Video: | Hinweise zum Video: | ||
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+ | <br> | ||
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= Differentialquotient ist 1. Ableitung= | = Differentialquotient ist 1. Ableitung= | ||
− | + | == 1. Ableitung $f'$ == | |
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{{Inhalt:Differenzieren:Was ist f'}} | {{Inhalt:Differenzieren:Was ist f'}} | ||
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| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Graphisches Bestimmen von $f'$ |$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Graphisches Bestimmen von $f'$ |$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | ||
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= Graphisches Bestimmen von $f'$ = | = Graphisches Bestimmen von $f'$ = | ||
− | + | == Graphisches Bestimmen von $f'$ == | |
+ | <br> | ||
{{Inhalt:Differenzieren:Graphisches Bestimmen von f'}} | {{Inhalt:Differenzieren:Graphisches Bestimmen von f'}} | ||
+ | <br> | ||
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Zeile 296: | Zeile 300: | ||
|} | |} | ||
+ | = Rechnerisches Bestimmen von $f'$ - Ableitungsregeln = | ||
+ | == Rechnerisches Bestimmen von $f'$ - Ableitungsregeln == | ||
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{{Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'}} | {{Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'}} | ||
{| align="right" | {| align="right" | ||
− | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink: | + | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Änderungsmaße|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> |
|} | |} | ||
− | = Quiz zu Änderungsmaßen = | + | = Änderungsmaße = |
+ | == Quiz zu den Änderungsmaßen (AN 1.1-1.3)== | ||
+ | <br> | ||
{{#widget:Iframe | {{#widget:Iframe | ||
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}} | }} | ||
+ | {| align="right" | ||
+ | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Matura-Aufgaben|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | ||
+ | |} | ||
=Matura-Aufgaben= | =Matura-Aufgaben= | ||
− | + | ==Matura-Aufgaben== | |
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=217&file=U-Bahn.pdf U-Bahn] | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=217&file=U-Bahn.pdf U-Bahn] | ||
− | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http:// | + | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://www.mathestunde.at/pool/pdf/Beleuchtungsst%C3%A4rke-190208.pdf Beleuchtungsstärke] (schwer-mittel-schwer) |
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[indirekte Proportion]] | *: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[indirekte Proportion]] | ||
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*: Hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen. | *: Hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen. | ||
− | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http:// | + | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://mathestunde.at/pool/pdf/Bevoelkerungswachstum_in_den_USA-160826.pdf Bevölkerungswachstum in den USA] (leicht-leicht-mittel) |
*: Siehe für Aufgabe a) auch [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]] | *: Siehe für Aufgabe a) auch [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]] | ||
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− | [[Kategorie: | + | [[Kategorie: Analysis]] |