Kurvendiskussionen
Inhaltsverzeichnis
Überblick und Einleitung
Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
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Wichtig!: Die folgenden Punkte gehören ebenfalls zum Thema Kurvendiskussionen, werden aber auf anderen Seiten behandelt:
Grundwissen über f(x), f'(x) und f''(x)
Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..
| $f(x)$ | $f'(x)$ | $f''(x)$ | |
|---|---|---|---|
| Gibt an ... | den Funktionswert an der Stelle x | die Steigung von f an der Stelle x | die Krümmung von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung) |
| physikalische Interpretation | Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder Höhe eines Objektes etc. |
momentane Änderungsrate/Geschwindigkeit an der Stelle x | Beschleunigung an der Stelle x |
| wenn $>0$ | Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse | $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend. | $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu. |
| wenn $<0$ | Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse | $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend. | $f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab. |
| wenn $=0$ | Nullstellen | Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein Extremum. | Möglicherweise befindet sich hier ein Wendepunkt .
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Nullstellen
Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte
| Definition: | Lokale Extremstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen Hoch- oder Tiefpunkt hat.
Formale Definition: Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt) |
Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt steigt f nicht und fällt f nicht). Somit gilt $f'(x)=0$ Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt rechtsgekrümmt (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt linksgekrümmt (d.h. $f''(x)>0$).
Somit erhalten wir...
Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum
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Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:
Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:
| $f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$ $\rightarrow x=0$ |
$\ $ und $\ \ \ \ $ |
$f''(x)=6x$ $f''(0)=0$ |
Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!
Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!
Musterbeispiel
Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$
Lösung: Zuerst bestimmen wir die 1. Ableitung $f'(x)$ und die zweite Ableitung $f''(x)$: $$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$ $$f'(x)=x^2-8x+7$$ $$f''(x)=2x-8$$ $$f Nun setzen wir die 1. Ableitung 0 (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt 0 ist): $$0=x^2-8x+7$$ $$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7}}{2}}$$ $$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$ $$x_1=1$$ $$x_2=7$$
Somit haben wir 2 mögliche Extremstellen gefunden. Nun müssen wir noch überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte (oder weder noch) handelt. Hierzu setzen wir $x_1=1$ und $x_2=7$ in die zweite Ableitung ein: $f''(1)=2\cdot 1-8=-6<0 \rightarrow $ rechtsgekrümmt $\rightarrow$ Hochpunkt $f''(7)=2\cdot 7-8=+6>0 \rightarrow $ linksgekrümmt $\rightarrow$ Tiefpunkt
Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ Tiefpunkt befindet. Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ ein: $f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow H(1|33.33)$ $f(7)=\frac{7^3}{3}-4\cdot 7^2+7\cdot 1+30=-2.67\rightarrow T(7|-2.67)$
Wendepunkt und Wendetangente
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Wie erkennt man einen Wendepunkt?
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt.
Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt
Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
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Video
Musterbeispiel
Zusatzvideos zur Vertiefung
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Online-Musterbeispiele und -Übungen
- Musterbeispiel von Jutta Gut
- Musterbeispiel von "Matheguru"
- WICHTIG Online-Übung von Kurvendisskussionen (GeoGebra)
Maturabeispiele
- Steinschleuder (Bifie-Aufgabe: mittel)
- Welche Inhalte bruachst du hier noch: Differentialquotient
- Zylindrisches Gefäß (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
- Geländewagen (Bifie-Aufgabe: schwer-mittel-schwer)
- Welche Inhalte brauchst du hier noch: Differenzenquotient
- Hefepilz (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
- Straßenbahn (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
- Simulation eines Golfballflugs (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel-schwer)
- Schispringen (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
- Welche Inhalte brauchst du hier noch: quadratische Funktionen und Geschwindigkeit
