Lineare Funktionen
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Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ $\mathbb{R} $ |
!Wichtig! Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
Inhaltsverzeichnis
Steigung k
Der Parameter k gibt die (prozentuelle) Steigung der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.
Steigungsdreieck
Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.
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"Sinkt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. "Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv. |
Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete (inkl. Vorzeichen!)
$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete
Steigung aus Zahlenpaaren
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt, aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat (durch Einsetzen von x Werten in die Funktionsgleichung), dann kann man ihre Steigung k einfach bestimmen:
Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung k durch $$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe Differenzenquotient)
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Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also "erster Punkt minus zweiter Punkt" oder "zweiter Punkt minus erster Punkt"! |
Ermittle die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ geht.
Möglichkeit 1: Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.
Durch Einzeichnen des Steigungsdreiecks zwischen P und Q können auch $\Delta x $ und $\Delta y$ leicht abgelesen werden (siehe Abb.).
Es folgt daraus $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-6}{3}=-2$
Möglichkeit 2: Nachdem die Gerade eingezeichnet wurde, kann ein Steigungsdreieck der Breite 1 eingezeichnet werden, aus dem $k=-2$ sofort abgelesen werden kann.
Möglichkeit 3: Direkte rechnerische Bestimmung mittels Differenzenquotient:
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2-(-1) }=\frac{-6}{3}=-2$
Steigungswinkel
Manchmal ist der Steiungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung k und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt $$k=\tan(\alpha)$$ (siehe Trigonometrie)
d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")
d gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.
d kann aus dem Graph abgelesen werden (möglicherweise nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.
Eigenschaften:
- ist $d=0$, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man homogene lineare Funktionen. Ist $d\neq 0$, so nennt man die Funktion inhomogen
- bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.
Verschiebung von k und d
Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke auf diesen Link
Graph zeichnen (Gerade)
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Man kann sie entweder mithilfe zweier Zahlenpaare (Wertetabelle) oder k und d zeichnen.
Zahlenpaare
Zeichne zwei Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem und lege eine Gerade durch sie. Wenn du noch keine Zahlenpaare hast, kannst du sie aus der Wertetabelle der Funktion nehmen bzw. x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Achte darauf, dass die Punkte weit voneinander entfernt liegen, dann wird die Zeichnung genauer!
k und d
- d hinauf/hinab
- eins nach rechts
- k hinauf/hinab
Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
- d hinauf/hinab
- Nenner nach rechts
- Zähler hinauf/hinab
Teste dich selbst:
Anmerkung 1: Durch Klicken auf den Graphen, wird die Abbildung größer angezeigt.
Anmerkung 2: Im Quiz sollte es natürlich "schneidet" heißen.
Was nicht fehlen darf - ein Lied von DorFuchs: (Anmerkung: In Deutschland werden anstatt k und d die Variablen m und n verwendet)
Anwendungen
- Lineare Kosten (siehe Beispiele)
- Wachstums- und Zerfallsprozesse
- Kurvendiskussionen
Online-Materialien
Theorie
- $Schau!\ $ : Hier findest du eine Prezi-Überblickpräsentation (erstellt von Raimund Porod)
- $Step\ by\ Step!$ : Hier findest du einen Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen
Online-Übungen
- ? : Selbstest zum Thema Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)
- ? : Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung
- ? : weitere Aufgaben zum Bestimmen der Funktionsgleichung
Offizielle Bifie-Aufgaben
- $Bifie$ Kleintransporter
- Siehe auch: Gleichungssysteme
- $Bifie$ Planetenbahnen (leicht-mittel-leicht)
- Siehe auch: Gleitkommazahlen
- $Bifie$ Kleidungs- und Schuhproduktion (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) Prozentrechnung (1.5.)
- $Bifie$ Hochbeet (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Formeln
- $Bifie$ Impfstoff
- Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Gleichungssystme
Schularbeiten- und Testaufgaben
1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?
Lösung
2. Aufgabe
Lösung
3. Aufgabe
Lösung
4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !
Lösung
5 Aufgabe. Lineare Kosten
Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss. Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.
Lösung
6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.
Lösung
