Ableitung bestimmen

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In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

Was ist $f'(x)$?

Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der Tangente t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.

Definition

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$. $$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle x an. $f'(x)$ wird auch als 1. Ableitung von f(x) bezeichnet.

Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

$Aha!$ Dieses GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert..

Merke

$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten:

$f(x)$	$f'(x)$
1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle	$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt	$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
3. $f(x)$ ist monoton wachsend	$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
4. $f(x)$ ist monoton fallend	$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!

Graph von f(x)

1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)	2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.
3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.	$f'(x)$ schön eingezeichnet

$Aha!$ Dieses Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion

? Ableitungsquiz

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln

Grundlegende Regeln

Regel	$f(x)$	$f'(x)$	Bemerkung
Potenzregel	$x^n$	$n\cdot x^{n-1}$	Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
Konstantenregel $c\in \mathbb{R}$	c	0	konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
Faktorregel $a\in \mathbb{R}$	$a\cdot f(x)$	$a\cdot f'(x)$	Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
Summenregel	$f(x)+g(x)$	$f'(x)+g'(x)$	Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
$e$-Funktion	$e^x$	$e^x$	Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird (d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
Logarithmus	$ln|x|$	$\frac{1}{x}$
Trigonometrische Funktionen	$sin(x)$ $cos(x)$	$cos(x)$ $-sin(x)$	Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.

Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

1. $f(x)=x^3$
2. $f(x)=4x$
3. $f(x)=3$
4. $f(x)=5\cdot x^2$
5. $x^3+5x^2-4x+3$
6. $x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
7. $f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:

1. $f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$
   
   
2. $f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$
   
   
3. $f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$
   
   
4. $f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$
   
   
5. $x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
6. $x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$
   
   $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$
   
   
7. $f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$

Matura-Aufgaben

• $Bifie$ : Leistungskurve

  hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!