Regression: Unterschied zwischen den Versionen
(→Korrelationskoeffizient $r$) |
(→Matura-Aufgaben) |
||
Zeile 236: | Zeile 236: | ||
}} | }} | ||
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://mathestunde.at/pool/pdf/Schotterwerk_(1)-151120.pdf Schotterwerk] (leicht-mittel-mittel) <br> |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Kosten- und Preistheorie]] | * [[Kosten- und Preistheorie]] | ||
− | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=468&file=Reisekosten.pdf Reisekosten] (leicht-leicht-schwer-leicht) <br> | |
− | + | ||
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] | + | |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Differenzen- und Differentialquotient]] | * [[Differenzen- und Differentialquotient]] | ||
* [[Steigung und Steigungswinkel]] | * [[Steigung und Steigungswinkel]] | ||
− | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=85&file=Preis_und_Absatz.pdf Preis und Absatz] (mittel) <br> | |
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=85&file=Preis_und_Absatz.pdf Preis und Absatz] (mittel) <br> | + | |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Kosten- und Preistheorie]] | * [[Kosten- und Preistheorie]] | ||
− | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://mathestunde.at/pool/pdf/Hustensaft-180219.pdf Hustensaft] (mittel-mittel-leicht) <br> | |
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http:// | + | |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Wahrscheinlichkeit:_Normalverteilung_und_Stetige_Zufallsvariablen|Normalverteilung]] | * [[Wahrscheinlichkeit:_Normalverteilung_und_Stetige_Zufallsvariablen|Normalverteilung]] | ||
* [[Lineare Optimierung]] | * [[Lineare Optimierung]] | ||
− | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=252&file=Intelligenzquotient.pdf Intelligenzquotient] (leicht-leicht-leicht) <br> | |
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=252&file=Intelligenzquotient.pdf Intelligenzquotient] (leicht-leicht-leicht) <br> | + | |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Wahrscheinlichkeit:_Normalverteilung_und_Stetige_Zufallsvariablen|Normalverteilung]] | * [[Wahrscheinlichkeit:_Normalverteilung_und_Stetige_Zufallsvariablen|Normalverteilung]] | ||
* [[Lineare Optimierung]] | * [[Lineare Optimierung]] | ||
− | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=253&file=Kaenguruspruenge.pdf Kängurusprünge] (leicht-mittel-leicht) <br> | |
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=253&file=Kaenguruspruenge.pdf Kängurusprünge] (leicht-mittel-leicht) <br> | + | |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]] | * [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]] | ||
− | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=271&file=Elektronikhersteller.pdf Elektronikhersteller] (mittel-schwer-leicht) <br> | |
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=271&file=Elektronikhersteller.pdf Elektronikhersteller] (mittel-schwer-leicht) <br> | + | |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Kosten- und Preistheorie]] | * [[Kosten- und Preistheorie]] | ||
* [[Wahrscheinlichkeit:_Normalverteilung_und_Stetige_Zufallsvariablen|Normalverteilung]] | * [[Wahrscheinlichkeit:_Normalverteilung_und_Stetige_Zufallsvariablen|Normalverteilung]] | ||
− | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=248&file=Sektkellerei.pdf Sektkellerei] (mittel-leicht-schwer) <br> | |
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=248&file=Sektkellerei.pdf Sektkellerei] (mittel-leicht-schwer) <br> | + | |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Kosten- und Preistheorie]] | * [[Kosten- und Preistheorie]] | ||
− | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://www.mathestunde.at/pool/pdf/Fahrzeugtests_(2)-180219.pdf Fahrzeugtests (2)] (mittel) <br> | |
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http:// | + | |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]] | * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]] | ||
− | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [https://www.mathago.at/wp-content/uploads/PDF/B_158.pdf CeBit (2)] ((leicht-mittel-mittel) <br> | |
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [ | + | |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Integration]] | * [[Integration]] | ||
* [[Wahrscheinlichkeit:_Diskrete_Zufallsvariablen_und_die_Binomialverteilung|Binomialverteilung]] | * [[Wahrscheinlichkeit:_Diskrete_Zufallsvariablen_und_die_Binomialverteilung|Binomialverteilung]] | ||
− | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=301&file=Jahresumsatz.pdf Jahresumsatz] ((leicht-leicht-mittel) <br> | |
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=301&file=Jahresumsatz.pdf Jahresumsatz] ((leicht-leicht-mittel) <br> | + | |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Beschreibende Statistik]] | * [[Beschreibende Statistik]] | ||
* [[Gleichungssysteme (2.7.)]] | * [[Gleichungssysteme (2.7.)]] | ||
− | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=303&file=Kostenanalyse.pdf Kostenanalyse] (leicht-mittel-leicht) <br> | |
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=303&file=Kostenanalyse.pdf Kostenanalyse] (leicht-mittel-leicht) <br> | + | |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Kosten- und Preistheorie]] | * [[Kosten- und Preistheorie]] | ||
* [[Lineare Optimierung]] | * [[Lineare Optimierung]] | ||
− | + | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://www.mathestunde.at/pool/pdf/Urlaubsreisen-160111.pdf Urlaubsreisen] (mittel-leicht-leicht) <br> | |
− | [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http:// | + | |
siehe auch | siehe auch | ||
* [[Finanzmathematik]] | * [[Finanzmathematik]] |
Version vom 29. Januar 2021, 15:50 Uhr
Die Regression ist eine Methode in der Statistik, den Zusammenhang (= Korrelation) zwischen zwei Merkmalen zu überprüfen.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
Sind zwei metrische Merkmale gegeben (z. B. Alter und Verdienst in einer Firma), so kann mithilfe der Regression der Zusammenhang dieser Merkmale überprüft und beschrieben werden.
Zuerst werden die Merkmale in einer Punktwolke dargestellt.
Die Regression versucht nun, den Graphen einer Funktion „möglichst gut“ durch diese Punkte zu legen.
„Möglichst gut“ bedeutet dabei, dass die Summe der Quadrate der $y$-Abstände zwischen Funktion und Punkten so gering wie möglich sein soll.
$Aha!$ $\ $ Dieses Arbeitsblatt zeigt dir die grundlegende Idee am Beispiel einer linearen Regression, bei der die „bestmögliche“ Gerade gesucht ist:
Was bei diesem Applet zu tun ist:
1. Hake das Kästchen „Gerade“ an.
2. Nun kannst du dir die vertikalen Abstände der Punkte zur Geraden und die Abstandsquadrate anzeigen lassen.
3. Verschiebe die blauen Punkte auf der Geraden so, dass die Summe der Abstandsquadrate minimal wird.
4. Wenn du glaubst, du hast nun die beste Gerade entdeckt, klicke auf das Kästchen bei „Trendlinie”. Die Trendlinie ist das Ergebnis der linearen Regression und gibt jene Gerade an, deren Abstandsquadrate minimal sind.
Idee der Regression |
---|
|
Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke hier. |
Da wir im Unterricht die Regressionsgleichung immer mithilfe des Technologieeinsatzes lösen, überspringen wir die Herleitung der Regressionsgleichungen.
Regressionsgleichung mithilfe von Technologie berechnen und darstellen
GeoGebra | Ti-8x |
---|---|
Wichtig beim ersten Mal: $\ $ Damit bei der Regression auch der Korrelationskoeffizient angezeigt wird, muss „Diagnostic“ auf „ON“ sein. Dies machst du, indem du auf Folgendes klickst:
$[2nd]+[0]$, dann gehe hinunter zu $DiagnosticOn$ und drücke $2$-mal $[Enter]$. Das Video zeigt dir, wie die Regression mit einer linearen Funktion funktioniert.
|
Lineare Regression
Bei der linearen Regression werden die Daten mithilfe einer linearen Funktion („Gerade“) verbunden.
Musterbeispiel
Alter (X) | Gehalt (Y) |
---|---|
25 | 1800 |
27 | 2500 |
28 | 2400 |
35 | 3000 |
40 | 3000 |
40 | 2000 |
50 | 3600 |
Gegeben ist die folgende Tabelle, die das Alter und Gehalt der Bediensteten in einer Firma angibt.
a) Stellen Sie die Daten in einer Punktwolke dar, wobei das Alter die $x$- und das Gehalt die $y$-Koordinate eines jeden Punktes angeben soll.
b) Ermitteln Sie die Gleichung der Regressionsgeraden und zeichnen Sie diese in die Graphik ein.
c) Berechnen Sie mithilfe der Gleichung der Regressionsgeraden jenes Gehalt, über das eine 45-jährige Person verfügen sollte.
d) Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Regressionsgeraden jenes Alter, bei dem ein Gehalt von $€4 200$ erreicht werden sollte.
b) Ermitteln Sie die Gleichung der Regressionsgeraden und zeichnen Sie diese in die Graphik ein.
Durch Einsatz von Technologie erhalten wir die Gleichung $$f(x)=49.59x+878.63$$
c) Berechnen Sie mithilfe der Gleichung der Regressionsgeraden jenes Gehalt, über das eine 45-jährige Person verfügen sollte.
Aus der Angabe wissen wir, dass $x=45$. Gesucht ist nun der passende $y$-Wert $y=f(45)$.
$$f(x)=49.59x+878.63$$
$$f(45)=49.59\cdot 45+878.63$$
$$f(45)=3110.18 $$
Bei einem Alter von 45 Jahren ist ein Gehalt von $€3 110.18$ zu erwarten.
d) Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Regressionsgeraden jenes Alter, bei dem ein Gehalt von $€4 200$.
Gegeben ist die $y$-Korrdinate $y=f(x)=4200$. Gesucht ist nun der $x$-Wert:
$$f(x)=49.59x+878.63$$
$$4200=49.59x+878.63$$
Durch Freistellen von $x$ (siehe Äquivalenzumformungen) erhalten wir
$$x=66.97$$
Bei einem Alter von ca. $67$ Jahren wäre ein Gehalt von $€4 200$ zu erwarten (vorausgesetzt, die Person ist noch nicht in Pension).
Korrelationskoeffizient $r$
Durch Berechnung der Regressionsgeraden kann noch keine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs zweier Merkmale ($X$ und $Y$) ausgesagt werden. Dazu benötigt man den
|
Korrelationskoeffizient $r$
Der Korrelationskoeffizient $r$ gibt an, wie stark zwei Merkmale $X$ und $Y$ zusammenhängen.
|
$Aha!$ $\ $ In folgendem GeoGebra-Applet lernst du, wie die Korrelation durch die Lage der Punkte verändert wird.
Wie dieses Applet funktioniert:
Verschiebe die grünen Punkte (Datenpunkte), so dass
a) ein starker positiver Zusammenhang (d. h. $r\approx 1$),
b) ein starker negativer Zusammenhang (d. h. $r\approx -1$),
c) ein schwacher negativer Zusammenhang (d. h. $0.3\leq r\leq 0$) oder
d) kein Zusammenhang (d. h. $r=0$)
herrscht.
Übung zum Korrelationskoeffizient |
---|
|
Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke hier. |
Korrelation und Kausalität
|
Eine starke Korrelation (d. h. $\vert r\vert$ nahe bei 1) bedeutet noch lange nicht, dass es auch einen ursächlichen Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen gibt. Oft spielen z. B. noch viel mehr Einflüsse eine Rolle. |
Beispiele für Korrelation aber (wahrscheinlich) keinen direkten ursächlichen Zusammenhang:
- Die Größe der Bevölkerung ($X$) hat Auswirkungen auf die Geschwindigkeit der Plattentektonik ($Y$).
- Je mehr Menschen auf einer Kontinentalplatte leben, desto schneller bewegt sich diese. Beispiele: Indien, Japan.
- Ein Rückgang an Störchen führt zu einer Abnahme an Neugeburten (Quelle).
- Tatsächlich spielt hier eine dritte Variable, nämlich die Verstädterung einer Region eine Rolle.
Matura-Aufgaben
|
Schrittfolge zur Berechnung von Regressionsaufgaben
|
$Bifie$: Schotterwerk (leicht-mittel-mittel)
siehe auch
$Bifie$: Reisekosten (leicht-leicht-schwer-leicht)
siehe auch
$Bifie$: Preis und Absatz (mittel)
siehe auch
$Bifie$: Hustensaft (mittel-mittel-leicht)
siehe auch
$Bifie$: Intelligenzquotient (leicht-leicht-leicht)
siehe auch
$Bifie$: Kängurusprünge (leicht-mittel-leicht)
siehe auch
$Bifie$: Elektronikhersteller (mittel-schwer-leicht)
siehe auch
$Bifie$: Sektkellerei (mittel-leicht-schwer)
siehe auch
$Bifie$: Fahrzeugtests (2) (mittel)
siehe auch
$Bifie$: CeBit (2) ((leicht-mittel-mittel)
siehe auch
$Bifie$: Jahresumsatz ((leicht-leicht-mittel)
siehe auch
$Bifie$: Kostenanalyse (leicht-mittel-leicht)
siehe auch
$Bifie$: Urlaubsreisen (mittel-leicht-leicht)
siehe auch