Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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	d) Ermitteln Sie, zu welchem Zeiptung der Ball eine Höhe von 2 m hat.		d) Ermitteln Sie, zu welchem Zeiptung der Ball eine Höhe von 2 m hat.
		+	e) Skizzieren Sie den Graphen von h(t) im Intervall $[-2;8]$
		+	f) Erklären Sie, wie mithilfe der Nullstellen der Funktion h(t) jener Zeitpunkt bestimmt werden kann, bei dem der Ball seine maximale Höhe erreicht.
		+	|2=
		+	a) Es gilt $$h(t)=-0.1t^2+0.3t+3$. Bereits am $c=3$ erkennt man, dass die Anfangshöhe 3m ist. Alternativ kann man auch für $t=0$ einsetzen (da hier der Beginn ist):
		+	$$h(0)=-0.1\cdot 0^2+0.3\cdot 0+3$$
		+	$$h(0)=3$$
		+
		+	b) Laut Angabe ist $t=6$. Setzen wir dies in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir:
		+	$$h(6)=-0.1\cdot 6^2+0.3\cdot 6+3$$
		+	$$h(6)=1.2\ m$$
		+
		+
		+	c) Gesucht ist die Nullstelle der Funktion. D.h. für welches t gilt, dass $h(t)=0$ ist:
		+	$$0=h(t)$$
		+	$$0-0.1t^2+0.3t+3$$
		+	Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:
		+	$$t_1=-4.18\ \ \ {textrm{ und }\ \ \ t_2=7.18$$
		+	Der Ball landet nach 7.18 s auf dem Boden.
		+
		+	d) Für welches t ist $h(t)=2$?
		+	$$2=h(t)$$
		+	$$2=-0.1t^2+0.3t+3\ \ \ \vert -2$$
		+	$$0=-0.1t^2+0.3t+1$$
		+	Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:
		+	$$t_1=-2\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=5$$
		+	Somit hat der Ball nach 5 Sekunden eine Höhe von 5 m.
		+
		+	e)
		+	Bild einfügen
		+
		+	d) Nach c) lauten die Nullstellen $t_1=-4.18$ und $t_2=7.18$. Da die Parabel symmetrisch zum Scheitelpunkt ist und die Parabel nach unten offen ist ($a=-0.1<0$), liegt der Scheitelpunkt/Hochpunkt genau zwischen den beiden Nullstellen:
		+	$t_{max}=\frac{-4.18+7.18}{2}=1.5$
		+	Nach 1.5 s erreicht der Ball seine maximale Höhe.
		+
		+
		+
		+
		+	}}
	== Scheitelpunktform ==		== Scheitelpunktform ==
	=== Allgemein ===		=== Allgemein ===

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Version vom 11. September 2014, 18:02 Uhr

Definition

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (auch Polynomfunktion 2. Grades genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$ mit $a,b,c\in$ $\mathbb{R} $ .

Hinweis:

• !Wichtig! Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine Parabel und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

• Quadratische Funktionen haben immer genau einen Hoch- oder Tiefpunkt. Diesen nennt man Scheitelpunkt (oder Scheitel)

• Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als Normalform bezeichnet (sozusagen: im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben).

Neben der Normalform gibt es auch noch die Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$

Graph, Parameter und Eigenschaften

$Aha!$ $\ $ Schau dir dieses Arbeitsblatt an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben sei eine quadratische Funktion der Form $$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die Parameter $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:

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$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt

• Ist $a>0$, so ist die Parabel nach oben offen.
• Ist $a<0$, so ist die Parabel nach unten offen.
• Je größer $|a|$ ist, desto steiler ist der Graph.
• $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus eins nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

Achtung: Im Gegensatz zu den linearen Funktionen darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant. Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.

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$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:

• Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt rechts (!) der y-Achse.
• Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt links (!) der y-Achse.

!Achtung! Merke dir:

• $b<0\rightarrow$ rechts
• $b>0\rightarrow$ links

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$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das d bei den linearen Funktionen).

• Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
• Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
• Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

Nullstellen quadratischer Funktionen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:

• 2 Nullstellen
• 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
• 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die quadratische Gleichung $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch qudratische Gleichungen

Typische Regenbeispiele bei gegebener Funktionsgleichung

== Scheitelpunktform == === Allgemein === [[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]] Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel: $$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$

$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an. $w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung $s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung
[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen. [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform === Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw. b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können. === Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ === '''Methode''': Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term! [[Datei:Bsp.png|left]] === Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform === '''Methode:''' Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]]. [[Datei:Bsp.png|left]]


== Funktionsgleichung bestimmen == '''Typische Aufgabenstellung''': : ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind'' '''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege: a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$ b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.


'''Musterbeispiel''' {| border="1" !| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ !| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$ |- | '''Wird verwendet, wenn:''' * Scheitelpunkt nicht bekannt ist. * 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind. * [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen. |'''Wird verwendet, wenn:''' * Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist. |- | '''Berechnung der [[Parameter]]''' # Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung. # Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst. | '''Berechnung der [[Parameter]]''' # w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden. # a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'') |- |colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:''' Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen |- |
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]
Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein: $$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$ $$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$ $$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$ Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem: $$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$ $$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$ $$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$ Löst man dieses, so erhält man: $a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$ $$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$ |[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt: $w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde $s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde $$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$ Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten: $$3=a\cdot (0-2)^2-1$$ $$3=a\cdot 4-1$$ $$4=4\dot a$$ $$a=1$$ $$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

Online-Übungsmaterialien

• ? : Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform

Matura-Beispiele

• $Bifie$ Wasserstrahl (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Nullstelle

• $Bifie$ Laptops (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)

  siehe auch: Quadratische Gleichungen

• $Bifie$ : Bungeejumping (leicht-mittel-mittel)

  für b) brauchst du den Differenzen- und Differentialquotient (erst in der 4. Klasse!)

• $Bifie$ Skispringen (leicht-mittel-mittel)

  Aufgabe b) lernst du erst in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)

• $Bifie$ Ortsumfahrung (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)

  Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen da du hier die Tangentengleichung bestimmen musst.