Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

[+/-]

Widgets

Widgets

Gewünschte Seiten
  • Keine Informationen verfügbar
Wer ist online?
  • Es ist niemand angemeldet.
Aus Matura Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Graph zeichnen (Gerade))
(→‎Steigung k)
Zeile 8: Zeile 8:
 
<br>
 
<br>
 
{{Vorlage:Merke|1=Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade! }}
 
{{Vorlage:Merke|1=Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade! }}
 +
<br>
 +
 +
== Graph einer linearen Funktion ==
 +
Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Grade. Verändere im folgenden Applet die Werte von k und d und beobachte, was passiert!
 +
<br>
 +
Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]
 +
{{#widget:Iframe
 +
|url=  https://www.geogebra.org/material/iframe/id/W8uKujeJ/width/1023/height/527/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto"
 +
|width=  1023
 +
|height=  527
 +
|border=1
 +
}}
 +
<br>
 
<br>
 
<br>
  

Version vom 21. Februar 2017, 14:54 Uhr


Linfkt2.png


Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $$ y=k\cdot x+d$$

mit $k,d\in$ $\mathbb{R} $



Merke
Rotes rufezeichen.png
 Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!


Graph einer linearen Funktion

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Grade. Verändere im folgenden Applet die Werte von k und d und beobachte, was passiert!
Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke auf diesen Link



Steigung k

Linfkt-k-klein.gif



Der Parameter k gibt die (prozentuelle) Steigung der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

Steigungsdreieck

Graph mit zwei Steigungsdreiecken

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.

Merke
Rotes rufezeichen.png
 "Fällt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ.

"Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv.


Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt: $$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ $\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete (inkl. Vorzeichen!)

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

Steigung aus Zahlenpaaren

Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt oder aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat, kann man ihre Steigung k einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung k durch $$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe Differenzenquotient)

Merke
Rotes rufezeichen.png
 Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also "erster Punkt minus zweiter Punkt" oder "zweiter Punkt minus erster Punkt"!



Bsp.png

Ermittle die Steigung der Geraden, auf der die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ liegen!


Lösung:
Beispiel k 2Punkte.png

Möglichkeit 1: Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.


Durch Einzeichnen des Steigungsdreiecks zwischen P und Q können auch $\Delta x $ und $\Delta y$ leicht abgelesen werden (siehe Abb.). Es folgt daraus $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-6}{3}=-2$

Möglichkeit 2: Nachdem die Gerade eingezeichnet wurde, kann ein Steigungsdreieck der Breite 1 eingezeichnet werden, aus dem $k=-2$ sofort abgelesen werden kann.

Möglichkeit 3: Direkte rechnerische Bestimmung mittels Differenzenquotient: $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2-(-1) }=\frac{-6}{3}=-2$


Steigungswinkel

Steigungswinkel

Manchmal ist der Steiungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung k und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt $$k=\tan(\alpha)$$ (siehe Trigonometrie)




d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")


Linfkt-d-neu-klein.gif

d gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

d kann aus dem Graph abgelesen werden (manchmal nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.


Eigenschaften:

  • ist $d=0$, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man homogene lineare Funktionen. Ist $d\neq 0$, so nennt man die Funktion inhomogen.
  • bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.


Berechnung von d

Wenn d noch nicht bekannt ist, kann es aus zwei Punkten, die auf der Geraden liegen, berechnet werden. Diese Punkte sind entweder bekannt oder können aus dem Graph abgelesen werden.

1. Schritt: Berechnung von k (siehe oben)

2. Schritt: k und einen der beiden Punkte in \(y=k\cdot x+d\) einsetzen. d sollte dann die einzige Unbekannte in einer linearen Gleichung sein. Durch Lösen der Gleichung erhält man d.

Bsp.png

Ermittle d jener Geraden, auf der die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ liegen!


Lösung:
Beispiel k 2Punkte.png

Möglichkeit 1: Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.


Man sieht, dass die Gerade die y-Achse bei 1 schneidet. d ist also 1.

Möglichkeit 2: Direkte rechnerische Bestimmung mittels Gleichung: $3=-2 \cdot (-1)+d \Leftrightarrow 3=2+d \Leftrightarrow 1=d$





Graph zeichnen (Gerade)

Linfkt-k-als-bruch.png

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Man kann sie entweder mithilfe zweier Zahlenpaare (Wertetabelle) oder k und d zeichnen.

Zahlenpaare

Zeichne zwei Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem und lege eine Gerade durch sie. Wenn du noch keine Zahlenpaare hast, kannst du sie aus der Wertetabelle der Funktion nehmen bzw. x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Achte darauf, dass die Punkte weit voneinander entfernt liegen, dann wird die Zeichnung genauer!


k und d

  1. d hinauf/hinab
  2. eins nach rechts
  3. k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du

  1. d hinauf/hinab
  2. Nenner nach rechts
  3. Zähler hinauf/hinab

Gerade mit gegebener Funktionsgleichung zeichnen

Falls das Applet nicht funktioniert, klicke hier

Bestimmen der Funktionsgleichung

Im folgenden Applet kannst du dein Wissen testen. Gib dazu die Gleichung der Funktionsgleichung in das Eingabefeld. Beachte, dass Kommazeichen durch Punkte angegeben werden! (z.B. 0.75)

Falls das Applet nicht funktioniert, klicke hier

Besondere Eigenschaften

Lineare Funktionen erfüllen die Eigenschaft $f(x+1)=f(x)+k$

Beweis: $f(x+1)=k\dot (x+1)+d=kx+k+d=kx+d+k=f(x)+k$

Außerdem ist die Ableitung der linearen Funktion gleich k: $\frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f´(x)$



Teste dich selbst:


Anmerkung 1: Durch Klicken auf den Graphen, wird die Abbildung größer angezeigt. Anmerkung 2: Im Quiz sollte es natürlich "schneidet" heißen.



Video

Was nicht fehlen darf - ein Lied von DorFuchs: (Anmerkung: In Deutschland werden anstatt k und d die Variablen m und n verwendet)

Anwendungen

  1. Lineare Kosten (siehe Beispiele)
  2. Wachstums- und Zerfallsprozesse
  3. Kurvendiskussionen




Online-Materialien

Theorie

  1. $Schau!\ $ : Hier findest du eine Prezi-Überblickpräsentation (erstellt von Raimund Porod)
  2. $Step\ by\ Step!$ : Hier findest du einen Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen

Online-Übungen

  1. ? : Selbstest zum Thema Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)
  2. ? : Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung
  3. ? : weitere Aufgaben zum Bestimmen der Funktionsgleichung




Offizielle Bifie-Aufgaben




Schularbeiten- und Testaufgaben



1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?


Lösung

Lösung1.png



2. Aufgabe


Aufgabe2.png


Lösung

Lösung2.png


3. Aufgabe


Aufgabe3.png


Lösung

Lösung3.png


4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !


Lösung

Lösung4.png



5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss. Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.


Lösung

Lösung5.png



6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.



Lösung

Lösung6.png

Von „https://3.vobs.at/maturawiki/index.php?title=Lineare_Funktionen&oldid=5807“