Integration: Unterschied zwischen den Versionen
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Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden. | Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden. | ||
Version vom 8. August 2015, 09:59 Uhr
Inhaltsverzeichnis
- 1 Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel
- 2 Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - Bestimmen der Stammfunktionen
- 3 Gruppe 3: Das bestimmte Integral
- 4 Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen
- 5 Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven
- 6 Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung
- 7 GeoGebra-Formelsammlung
Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel
Hier lernst du nächeres über die Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke.
Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - Bestimmen der Stammfunktionen
Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden. Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff Stammfunktion.
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Stammfunktion
Die Funktion $F$ heißt Stammfunktion der Funktion $f$, wenn gilt: $$F'(x)=f(x)$$ Eine andere Schreibweise, die wir erst später rechtfertigen ist: $$F(x)=\int f(x)\cdot dx$$ |
- Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1
Integrationsregeln
- Potenzregel
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
- Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer $n=-1$.
- Summenregel
$$\int [f(x)± g(x)]\,dx=\int f (x)\,dx±\int g (x)\,dx$$
- Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.
- Faktorregel
$$\int c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int f (x)\,dx$$
- Einen konstanten Faktor kann man herausheben.
- Regel für $\frac{1}{x}$
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
- Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$
Beispiele
Bestimmen Sie die Stammfunktionen:
$y=2,5$
$y=-x+0,5$
$y=x^2$
$y=9x^2-8x+1$
$y=2x+3$
$y=\frac{1}{x}$
Zusatzmaterial
Quiz
Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral
Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln
Lernvideos
Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2
Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3
Gruppe 3: Das bestimmte Integral
Hier lernst du nächeres über das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche
Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen
Hier lernst du nächeres über die Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen.
Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven
Hier lernst du nächeres über die Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven.
Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung
Hier lernst du nächeres über die die Integration von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung
GeoGebra-Formelsammlung
Ober- Untersumme
Näherung von $\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$
| GeoGebra |
|---|
| Untersumme/Obersumme [ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert>, <Anzahl der Rechtecke> ] |
Flächen zwischen 2 Kurven
$\int_{a}^{b} (f(x)-g(x) ) \cdot dx$
| GeoGebra |
|---|
| IntegralZwischen[ <Funktion>, <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ] |
Bestimmtes Integral und orientierte Fläche
$\int_{a}^{b} f(x)=F(b)-F(a)$
| GeoGebra |
|---|
| Integral[ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ] |
Unbestimmtes Integral/Stammfunktion und die Integrationsregel
| GeoGebra |
|---|
| Integral[ <Funktion> ] |
Arbeitsblatt, dass die Idee der Rechtecke erklärt
Übungsaufgaben
- ? Quiz-Aufgabe (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")
- $Bifie$ Volumenstrom (mittel-schwer-mittel)
- hierbei werden auch die Themen wie die momentane Änderungsrate und Umkehraufgaben benötigt.
- hier brauchst du auch Wissen über Kurvendiskussionen und über das Lösen von Gleichungssystemen bzw. Umkehraufgaben
- $Bifie$ Wasserkanal (mittel-mittel-leicht)
- hier brauchst du auch Wissen über Kurvendiskussionen bzw. Steigung und Steigungswinkel sowie den Flächeninhalt eines Trapez'
- $Bifie$: Energieverbrauch beim Joggen (mittel)
- Welche Inhalte brauchst du hier noch: exponentielle Abnahme und Differenzen- und Differentialquotient
- $Bifie$ Schmuckstück (leicht-mittel-mittel)
- Was brauchst du hier noch: Quadratische Funktionen bzw. Umkehraufgaben
- Hier brauchst du auch Wissen über Kurvendiskussionen sowie über Steigung und Steigungswinkel und über Umkehraufgaben
