Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 11. September 2014, 17:19 Uhr

Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen

Definition

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (auch Polynomfunktion 2. Grades genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$ mit $a,b,c\in$ $\mathbb{R} $ .

Hinweis:

• !Wichtig! Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine Parabel und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

• Quadratische Funktionen haben immer genau einen Hoch- oder Tiefpunkt. Diesen nennt man Scheitelpunkt (oder Scheitel)

• Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als Normalform bezeichnet (sozusagen: im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben).

Neben der Normalform gibt es auch noch die Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$

Graph, Parameter und Eigenschaften

$Aha!$ $\ $ Schau dir dieses Arbeitsblatt an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben sei eine quadratische Funktion der Form $$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die Parameter $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:

$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt

• Ist $a>0$, so ist die Parabel nach oben offen.
• Ist $a<0$, so ist die Parabel nach unten offen.
• Je größer $|a|$ ist, desto steiler ist der Graph.
• $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus eins nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:

• Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt rechts (!) der y-Achse.
• Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt links (!) der y-Achse.

!Achtung! Merke dir:

• $b<0\rightarrow$ rechts
• $b>0\rightarrow$ links

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das d bei den linearen Funktionen).

• Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
• Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
• Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

Nullstellen quadratischer Funktionen

Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:

• 2 Nullstellen
• 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
• 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die quadratische Gleichung $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch qudratische Gleichungen

Musterbeispiel: Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$

Lösung: Zuerst setzen wir die Funktion 0: $$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$ Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5 $$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$

$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$ $$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$ $$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$ $$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$ Antwort: Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.

Typische Regenbeispiele bei gegebener Funktionsgleichung

$$ |[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt: $w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde $s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde $$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$ Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten: $$3=a\cdot (0-2)^2-1$$ $$3=a\cdot 4-1$$ $$4=4\dot a$$ $$a=1$$ $$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

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Online-Übungsmaterialien

• ? : Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform

Matura-Beispiele

• $Bifie$ Wasserstrahl (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Nullstelle

• $Bifie$ Laptops (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)

  siehe auch: Quadratische Gleichungen

• $Bifie$ : Bungeejumping (leicht-mittel-mittel)

  für b) brauchst du den Differenzen- und Differentialquotient (erst in der 4. Klasse!)

• $Bifie$ Skispringen (leicht-mittel-mittel)

  Aufgabe b) lernst du erst in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)

• $Bifie$ Ortsumfahrung (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)

  Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen da du hier die Tangentengleichung bestimmen musst.