Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen): Unterschied zwischen den Versionen

Antwort: Auf den ersten Blick wirken beide Angebote gleich gut, da beide insgesamt € 400'000 überweisen. Allerdings kommen nicht alle Einzahlungen zum selben Zeitpunkt, weswegen sie auch anders verzinst werden.

In der Abbildung sind die Zahlungen an einem Zahlenstrahl angeordet

Laut dem Äquivalenzprinzip müssen wir die Einzahlungen zuerst auf denselben Stichtag auf- oder abzinsen, um sie zu vergleichen. Hier gibt es zwei sinnvolle Möglichkeiten:

• Abzinsen auf den Beginn (Berechnung des Barwertes $B$)
• Aufzinsen auf das 3. Jahr (Berechnung des Endwertes $E$)

Der Aufzinungsfaktor r beträgt $r=1.04$ (da $i_{eff}=4$ und $r=1+\frac{i_{eff}}{100}$ )

Zur Verdeutlichung wird bei diesem Beispiel sowohl der Barwert, als auch der Endwert berechnet. Selbstverständlich würde es reichen, wenn nur eines von beiden berechnet wird:

Berechnung des Barwerts Berechnung des Endwerts Wir zinsen alle Einzahlungen zum Beginn ab (d.h. dividieren mit dem Abzinsungsfaktor): Berechnung des Barwertes Angebot A: $B_A=200000+\frac{200000}{r^3}=377'799,27$ Angebot B: $B_B=\frac{195000}{r}+\frac{205000}{r^2}=377'034,02$ Antwort Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist). Wir zinsen alle Einzahlungen zum Ende auf (d.h. multiplizieren mit dem Aufzinsungsfaktor): Berechnung des Endwertes Angebot A: $E_A=200000\cdot r^3+200000=424'972,80 $ Angebot B: $E_B=195000\cdot r^2+205000\cdot r=424'112,00 $ Antwort Somit ist das Angebot A besser für Elizabeth (da es höher ist).

In beiden Fällen (sowohl beim Barwert, als auch beim Endwert) ist das Angebot A besser!

Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:

$r=1+\frac{2}{100}=1.02$

A: $50000\cdot r^7 + 30000=87‘434.28$

B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 89‘197.28$

Antwort: Angebot B ist bei einer Verzinsung von 2% somit besser.

Lösung durch Berechnung des Endwertes $E_7$:

$r=1+\frac{4}{100}=1.04$

A: $50000\cdot r^7 + 30000=95‘796.59$

B: $40000\cdot r^4+45000\cdot r= 93‘594.34$

Antwort: Angebot A ist bei einer Verzinsung von 4% besser.

Lösung:

Hier muss Berechnet werden, wann ist $$\textrm{Wert von Angebot A}=\textrm{Wert von Angebot B}$$ $$ 50000\cdot r^7 + 30000 = 40000\cdot r^4+45000\cdot r $$

Nun muss r berechnet werden. Diese Gleichung löst man am besten mit dem Solve-Befehl, wo wir annehmen können, dass $r$ zwischen 1.02 und 1.04 liegt (siehe Lösungen a) und b) ).

Man erhält: $r=1.0294$ und somit ist $i=2.94$%.

Antwort: Bei einem Zinssatz von 2.94% sind beide Angebote gleichwertig.