Ableitung bestimmen: Unterschied zwischen den Versionen
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Aktuelle Version vom 2. Februar 2021, 17:18 Uhr
In den folgenden Abschnitten geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen. Doch zuerst wiederholen wir noch einmal die Definition von f':
Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. $f'(x)$ existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden.
- Was ist $f'(x)$?
- Graphisches Bestimmen von $f'(x)$
- Rechnerisches Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln
- Grundlegende Regeln
- Vertiefende Regeln zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen
- Lernvideos
- Interaktive Übungen
- Matura-Aufgaben
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Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$
$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle $x$ an.
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Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch Betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ graphisch bestimmt werden.
Das folgende Applet zeigt dir den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion. Verschiebe dazu den Punkt $P$ in der linken Graphik:
Aufgaben zu diesem Applet
1. Verschieben Sie den Punkt $P$. Auf der rechten Graphik wird laufend die Steigung $k$ beim jeweiligen $x$-Wert von $P$ abgetragen. Verschieben Sie $P$ solange, bis in der rechten Graphik ein schöner Funktionsgraph zu sehen ist. Dieser Graph ist der Graph von $f'(x)$ (=1. Ableitung von $x$).
2. Geben Sie eine andere Funktion im Eingabefeld ein. Versuchen Sie den Graphen von $f'(x)$ zuerst zu erraten und zeichnen Sie ihn erst dann durch Verschieben des Punktes $P$.
Funktionen zum Eintippen:
a) $f(x)=1.5x^3-4x^2$
b) $f(x)=0.05x^4-0.225x^3-0.325x^2+0.9x+0.5$
c) $f(x)=3x$
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$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: |
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle | $\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(a)=0$ |
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt | $\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt $\rightarrow$ $f''(b)=0$ |
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend | $\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d. h. oberhalb der $x$-Achse. |
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend | $\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d. h. unterhalb der $x$-Achse. |
Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$.
Überprüfe dein Wissen
- $f(x)$ und $f'(x)$ - Graphen zuordnen (LearningApps)
Im Folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.
Allgemeine Regeln
| Regel | $f(x)$ | $f'(x)$ | Bemerkung |
|---|---|---|---|
| Potenzregel | $x^n$ | $n\cdot x^{n-1}$ | Der Exponent kommt herunter, dann wird die Hochzahl um $1$ vermindert. |
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$ |
$c$ | $0$ | Konstante Funktionen haben die Steigung $= 0$. |
| Faktorregel
$a\in \mathbb{R}$ |
$a\cdot f(x)$ | $a\cdot f'(x)$ | Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen. |
| Summenregel | $f(x)+g(x)$ | $f'(x)+g'(x)$ | Eine Summe wird abgeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird. |
| $e$-Funktion | $e^x$ | $e^x$ | Die besondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird.
(d. h. Funktionswert bei $x$ = Steigung bei $x$) |
| Logarithmus | $ln|x|$ | $\frac{1}{x}$ | |
| Trigonometrische Funktionen | $\sin(x)$ $\cos(x)$ |
$\cos(x)$ $-\sin(x)$ |
 Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In diesem Arbeitsblatt findest du eine Begründung dafür. |
Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:
- $f(x)=x^3$
- $f(x)=4x$
- $f(x)=3$
- $f(x)=5\cdot x^2$
- $x^3+5x^2-4x+3$
- $x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
- $f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $
- $f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$
- $f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$
- $f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$
- $f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$
- $x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
- $x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$
$$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1-\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$
- $f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
Weitere Übungen
Ordne im folgenden Applet Funktionen und ihre Ableitungen zu.
Produktregel
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das Produkt zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...
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Produktregel
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$ „Zuerst den ersten Faktor ableiten, den zweiten stehen lassen, $$\textrm{Plus}$$ den ersten Faktor stehen lassen, den anderen ableiten.“ |
Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$ Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren: $$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$ $$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$
Nun setzen wir die Formel zusammen: $$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$
Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis: $$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$ $$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$
Quotientenregel
Um die Ableitung einer Division von $2$ Funktionen (= Quotienten) zu berechnen, verwendet man die ...
|
Quotientenregel
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2 }$$ Im Zähler steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Nenner wird die Nenner-Funktion quadriert. |
Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
- Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
- Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$
Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen: $$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$ $$h'(x)=\frac{2x^2+x-1-x^2+x}{x^2+2x+1}$$ $$h'(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+2x+1}$$
Kettenregel
Um Klammerausdrücke oder verkettete Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die ...
|
Kettenregel
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{g'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$ $f(x)$ wird als äußere Funktion, $g(x)$ als innere Funktion bezeichnet. |
Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$.
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$
- Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$
- Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$.
Nun setzen wir die Kettenregel zusammen: $$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$.
- Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$.
- Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$.
Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$ $$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
| Produkt-, Quotienten- und Kettenregel | Ableitung der Exponentialfunktion |
|---|---|
Quiz: Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1)
Quiz: Begriff Ableitungsfunktion/Stammfunktion (AN 3.1)
Quiz: Grafischer Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (AN 3.2)
- $Bifie$ : Leistungskurve
- hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen
