Ableitung bestimmen: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | |Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ | + | |Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert. |
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| Konstantenregel | | Konstantenregel | ||
$c\in \mathbb{R}$ | $c\in \mathbb{R}$ | ||
| − | || c || 0 | + | || c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$ |
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| − | |Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ | + | |Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird. |
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| − | | $e$-Funktion|| $e^x$ || $e^x$ | + | | [[$e$-Funktion|Exponentialfunktionen(3.5.)]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird (d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x) |
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| − | | Logarithmus || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ | + | | [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ || |
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| − | | Trigonometrische Funktionen || $sin(x)\\ cos(x)$ || $cos(x)\\ -sin(x)$ | + | | [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)\\ cos(x)$ || $cos(x)\\ -sin(x)$ || |
| + | [[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer weider zur Ausgangsfunktion zurück.]] | ||
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=== Produktregel === | === Produktregel === | ||
Version vom 6. September 2014, 10:53 Uhr
In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) zu bestimmen.
Hinweis: Im Folgenden sei f(x) auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar (d.h. f'(x) existiert). Dies muss streng mathematisch vorausgesestzt werden)
Inhaltsverzeichnis
Was ist $f'(x)$?
füge noch besseres Bild ein!
Der Differentialquotient berechnet die Steigung der Tangente t.
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Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$.
$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle x an.
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Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung
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$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: |
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle | $\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$ |
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt | $\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt. |
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend | $\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse. |
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend | $\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse. |
Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
siehe noch:
- http://geogebratube.org/material/show/id/83408
- http://geogebratube.org/material/show/id/46089
- http://geogebratube.org/material/show/id/43313
- http://geogebratube.org/student/m46089
Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln
Grundlegende Regeln
| Regel | $f(x)$ | $f'(x)$ | Bemerkung |
|---|---|---|---|
| Potenzregel | $x^n$ | $n\cdot x^{n-1}$ | Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert. |
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$ |
c | 0 | konstante Funktionen haben Steigung $= 0$ |
| konstanter Faktor
$a\in \mathbb{R}$ |
$a\cdot f(x)$ | $a\cdot f'(x)$ | Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen. |
| Summenregel | $f(x)+g(x)$ | $f'(x)+g'(x)$ | Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird. |
| [[$e$-Funktion|Exponentialfunktionen(3.5.)]] | $e^x$ | $e^x$ | Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird (d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x) |
| Logarithmus | $ln|x|$ | $\frac{1}{x}$ | |
| Trigonometrische Funktionen | $sin(x)\\ cos(x)$ | $cos(x)\\ -sin(x)$ |
{{Vorlage:Beispiel|
