Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Matura Wiki
(→Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen) |
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* [[Direkte_und_indirekte_Proportionalität|Direkte und indirekte Proportionalität]] | * [[Direkte_und_indirekte_Proportionalität|Direkte und indirekte Proportionalität]] | ||
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− | + | {| align="right" | |
+ | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Definition einer Funktion|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | ||
+ | |} | ||
=Definition einer Funktion= | =Definition einer Funktion= | ||
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Jedem Element der Definitionsmenge ($x$) darf NUR EIN Element der Wertemenge ($y$) zugeordnet werden. | Jedem Element der Definitionsmenge ($x$) darf NUR EIN Element der Wertemenge ($y$) zugeordnet werden. | ||
− | ABER: | + | '''ABER:''' |
Ein Element der Wertemenge ($y$) kann mehreren Elementen der Definitionsmenge ($x$) zugeordnet werden. | Ein Element der Wertemenge ($y$) kann mehreren Elementen der Definitionsmenge ($x$) zugeordnet werden. | ||
(vgl. das Musterbeispiel der Schülerinnen ($x$, Definitionsmenge) und der Noten ($y$, Wertemenge). }} | (vgl. das Musterbeispiel der Schülerinnen ($x$, Definitionsmenge) und der Noten ($y$, Wertemenge). }} | ||
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\end{align}$ | \end{align}$ | ||
--> | --> | ||
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+ | {| align="right" | ||
+ | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Darstellung einer Funktion|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | ||
+ | |} | ||
=Darstellung einer Funktion= | =Darstellung einer Funktion= | ||
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Ein Beispiel für eine solche Zuweisung von Zahlen auf Zahlen siehst du im unteren Applet. Beachte hierbei auch die verschiedenen Darstellungen der Funktion: | Ein Beispiel für eine solche Zuweisung von Zahlen auf Zahlen siehst du im unteren Applet. Beachte hierbei auch die verschiedenen Darstellungen der Funktion: | ||
− | |||
a) '''Mengendiagramm''': Die Elemente der Definitionsmenge werden durch die Funktion mit Elementen der Wertemenge verbunden. | a) '''Mengendiagramm''': Die Elemente der Definitionsmenge werden durch die Funktion mit Elementen der Wertemenge verbunden. | ||
− | b) '''Wertetabelle''': In einer Tabelle | + | b) '''Wertetabelle''': In einer Tabelle werden die Zuordnungen von $x$- und $y$-Werten angegeben. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | c) '''Graph''': Die $x$- und $y$-Werte aus der Wertetabelle können in einem [[Koordinatensystem]] als Punkte mit den Koordinaten $(x\vert y)$ angegeben werden. Der Punkt $(1\vert 4)$ würde dann bedeuten, dass der Zahl $1$ aus der Definitionsmenge die Zahl $4$ in der Wertemenge zugeordnet wurde. Das entstehende Gebilde nennt man dann den '''Graphen der Funktion'''. | ||
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<br/> | <br/> | ||
Hat man eine Funktion, die jedem Wert aus der Definitionsmenge seinen doppelten Wert zuordnet, so kann man dies auch folgendermaßen schreiben: | Hat man eine Funktion, die jedem Wert aus der Definitionsmenge seinen doppelten Wert zuordnet, so kann man dies auch folgendermaßen schreiben: | ||
− | $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } y=2x$$ | + | $$f: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{W} \textrm{ mit } y=2x$$ |
wobei $x$ im Definitionsbereich und $y$ im Wertebereich liegt. | wobei $x$ im Definitionsbereich und $y$ im Wertebereich liegt. | ||
Eine oft gebräuchlichere Schreibweise für eine Funktionsgleichung ist: | Eine oft gebräuchlichere Schreibweise für eine Funktionsgleichung ist: | ||
− | $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } f(x)=2x$$ | + | $$f: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{W} \textrm{ mit } f(x)=2x$$ |
− | $$\textrm{ (gesprochen: f von x ist 2 mal x)}$$ | + | $$\textrm{ (gesprochen: $f$ von $x$ ist $2$ mal $x$)}$$ |
− | + | ||
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Nun lernen wir, mithilfe einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle und anschließend einen Graphen zu erstellen: | Nun lernen wir, mithilfe einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle und anschließend einen Graphen zu erstellen: | ||
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{{Vorlage:Beispiel|1= | {{Vorlage:Beispiel|1= | ||
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b) Skizziere den Graphen der Funktion $f$. | b) Skizziere den Graphen der Funktion $f$. | ||
Um den Graphen zu zeichnen, verwenden wir die Werte aus der Wertetabelle. Jede Spalte entspricht dabei einem Punkt mit $x$-Koordinate und $y$-Koordinate. | Um den Graphen zu zeichnen, verwenden wir die Werte aus der Wertetabelle. Jede Spalte entspricht dabei einem Punkt mit $x$-Koordinate und $y$-Koordinate. | ||
− | + | Nehmen wir beispielsweise den Punkt aus der untersten Zeile $(0.5\vert 2.5)$, so müssen wir $0.5$ entlang der $x$-Achse nach rechts und $2.5$ entlang der $y$-Achse hinauf (bei Schwierigkeiten mit dem Einzeichnen der Punkte, siehe [[Koordinatensystem]]). | |
Zeichnest du alle Punkte ein, so erhältst du: | Zeichnest du alle Punkte ein, so erhältst du: | ||
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{{Vorlage:Merke|1= $\ $ | {{Vorlage:Merke|1= $\ $ | ||
# Eine Wertetabelle erstellt man, indem man für $x$ einen Wert aus dem Definitionsbereich einsetzt und den $y$-Wert ausrechnet. | # Eine Wertetabelle erstellt man, indem man für $x$ einen Wert aus dem Definitionsbereich einsetzt und den $y$-Wert ausrechnet. | ||
− | # Einen Graphen erstellt man, indem man zuerst die Punkte $(x | + | # Einen Graphen erstellt man, indem man zuerst die Punkte $(x\vert y)$ aus der Wertetabelle einzeichnet und anschließend ''passend verbindet''. Den $x$-Wert nach rechts/links und den $y$-Wert hinauf/hinunter. |
− | (Beachte: Was es heißt, die Punkte | + | (Beachte: Was es heißt, die Punkte „''passend zu verbinden''“ kommt immer auf die Art der Funktion an - dies lernst du in den weiteren Kapiteln) |
}} | }} | ||
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}} | }} | ||
− | = | + | |
− | == | + | {| align="right" |
+ | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Zusammenfassendes Video|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | =Zusammenfassendes Video= | ||
+ | ==Zusammenfassendes Video== | ||
{{Vorlage:Video|1=myLx0d5wmHw}} | {{Vorlage:Video|1=myLx0d5wmHw}} | ||
− | + | {| align="right" | |
+ | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Aufstellen einer Funktionsgleichung|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | ||
+ | |} | ||
=Aufstellen einer Funktionsgleichung= | =Aufstellen einer Funktionsgleichung= | ||
==Aufstellen einer Funktionsgleichung - Abhängige und unabhängige Variable== | ==Aufstellen einer Funktionsgleichung - Abhängige und unabhängige Variable== | ||
− | Oft besteht die Aufgabe darin, aus einem Text eine passende Funktionsgleichung aufzustellen. Dabei muss zuerst überlegt werden, was die x- und was die y-Variable (oder f(x) ) sein soll. Dabei gilt folgende Grundregel: | + | Oft besteht die Aufgabe darin, aus einem Text eine passende Funktionsgleichung aufzustellen. Dabei muss zuerst überlegt werden, was die $x$- und was die $y$-Variable (oder $f(x)$) sein soll. Dabei gilt folgende Grundregel: |
{{Vorlage:Merke|1= | {{Vorlage:Merke|1= | ||
$\\ $ | $\\ $ | ||
− | * x ist die unabhängige Variable | + | * $x$ ist die unabhängige Variable |
− | * y oder f(x) ist die von x | + | * $y$ oder $f(x)$ ist die von $x$ abhängige Variable |
}} | }} | ||
{{Vorlage:Beispiel|1= Sandra hat doppelt so viel auf ihrem Konto wie Peter. Bestimme jene Funktionsgleichung, die das Gehalt von Peter in Abhängigkeit vom Gehalt von Sandra angibt. | {{Vorlage:Beispiel|1= Sandra hat doppelt so viel auf ihrem Konto wie Peter. Bestimme jene Funktionsgleichung, die das Gehalt von Peter in Abhängigkeit vom Gehalt von Sandra angibt. | ||
|2= | |2= | ||
− | Peters Kontostand ist hier abhängig von Sandras. Somit ist Sandras Kontotand die unabhängige Variable x und Peters Kontostand die abhängige Variable y: | + | Peters Kontostand ist hier abhängig von Sandras. Somit ist Sandras Kontotand die unabhängige Variable $x$ und Peters Kontostand die abhängige Variable $y$: |
− | x ... Kontostand von Sandra<br /> | + | $x$ ... Kontostand von Sandra<br /> |
− | y ... Kontostand von Peter | + | $y$ ... Kontostand von Peter |
Da Sandra doppelt so viel wie Peter auf dem Konto hat, muss Peters Gehalt verdoppelt werden, damit beide gleich viel haben. Das bedeutet: | Da Sandra doppelt so viel wie Peter auf dem Konto hat, muss Peters Gehalt verdoppelt werden, damit beide gleich viel haben. Das bedeutet: | ||
$$2\cdot y=x$$ | $$2\cdot y=x$$ | ||
− | Formt man nun so um, sodass y frei steht, erhält man: | + | Formt man nun so um, sodass $y$ frei steht, erhält man: |
$$y=\frac{x}{2} $$ | $$y=\frac{x}{2} $$ | ||
oder | oder | ||
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}} | }} | ||
− | Eine rechnerische Bestimmung der Funktionsgleichung lernst du [[Funktionsgleichung bestimmen|in diesem Kapitel]] | + | Eine rechnerische Bestimmung der Funktionsgleichung lernst du [[Funktionsgleichung bestimmen|in diesem Kapitel]]. |
− | = Eigenschaften von Funktionen = | + | {| align="right" |
+ | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Eigenschaften von Funktionen|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | =Eigenschaften von Funktionen= | ||
== Eigenschaften von Funktionen == | == Eigenschaften von Funktionen == | ||
=== Monotonieverhalten === | === Monotonieverhalten === | ||
{{Inhalt:Monotonieverhalten}} | {{Inhalt:Monotonieverhalten}} | ||
+ | <br /> | ||
+ | |||
=== Nullstellen === | === Nullstellen === | ||
[[Datei:Kurvendiskussion-1.png|thumb|right|350px|Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet.]] | [[Datei:Kurvendiskussion-1.png|thumb|right|350px|Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet.]] | ||
− | {{Vorlage:Definition|1= '''Nullstellen''' sind jene [[Stellen]] (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0). | + | {{Vorlage:Definition|1= '''Nullstellen''' sind jene [[Stellen]] ($=x$-Werte), an denen der Graph der Funktion die $x$-Achse schneidet (hier ist $f(x)=0$). |
− | + | ||
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Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: $f(x_1)=0$ }} | Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: $f(x_1)=0$ }} | ||
− | + | <br /> | |
− | + | <br /> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
=== Video === | === Video === | ||
− | '''Wichtig | + | '''Wichtig:''' Das folgende Video ist für das jetzige Stoffgebiet nur bis zur Minute 2:00 relevant. Die anschließenden Rechenschritte lernst du erst später. |
{{#ev:youtube|BB43Eja4Pew}} | {{#ev:youtube|BB43Eja4Pew}} | ||
+ | <br /> | ||
− | |||
− | |||
+ | {| align="right" | ||
+ | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Beispiele|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | ||
+ | |} | ||
+ | =Beispiele= | ||
+ | == Interaktive Übungen == | ||
+ | === Quiz: Zusammenhänge als Funktionen erkennen (FA 1.1) === | ||
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+ | <br> | ||
+ | === Quiz: Formeln als Funktionen (FA 1.2 + 1.8) === | ||
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+ | <br> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | === Quiz: Funktionen - Wechsel zwischen Darstellungsformen (FA 1.3) === | |
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+ | <br> | ||
− | |||
+ | === Quiz: Funktionen - Ermitteln und deuten von Werten (FA 1.4) === | ||
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+ | |||
+ | === Quiz: Funktionen - Eigenschaften (FA 1.5) === | ||
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+ | }} | ||
+ | <br> | ||
+ | |||
+ | === Quiz: Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) === | ||
+ | {{#widget:Iframe | ||
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+ | }} | ||
+ | <br> | ||
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==Matura-Aufgaben== | ==Matura-Aufgaben== | ||
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{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne}}(mittel-schwer-leicht) | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=94&file=Regenrinne.pdf Regenrinne}}(mittel-schwer-leicht) | ||
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Rechnen mit Termen(2.1.)|Rechnen mit Termen]]. | : Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Rechnen mit Termen(2.1.)|Rechnen mit Termen]]. | ||
− | |||
{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=95&file=Elektrischer_Widerstand_eines_Drahtes.pdf Elektrischer Widerstand}}(leicht) | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=95&file=Elektrischer_Widerstand_eines_Drahtes.pdf Elektrischer Widerstand}}(leicht) | ||
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Rechnen mit Termen(2.1.)|Rechnen mit Termen]]. | : Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Rechnen mit Termen(2.1.)|Rechnen mit Termen]]. | ||
− | |||
{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten}}(mittel-leicht-leicht-leicht) | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten}}(mittel-leicht-leicht-leicht) | ||
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]] sowie [[Formeln]] und für <span style="background-color: yellow;"> d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]] </span> | : Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]] sowie [[Formeln]] und für <span style="background-color: yellow;"> d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]] </span> | ||
+ | {{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=http://www.mathestunde.at/pool/pdf/Beleuchtungsst%C3%A4rke-190208.pdf Beleuchtungsstärke}} | ||
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+ | ==Weitere Übungen und Ausblick== | ||
+ | * [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] [https://www1.vobs.at/maturawiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7b/Was_man_bei_Funktionen_k%C3%B6nnen_muss_-_Version_2.pdf Überblicksblatt samt Beispielen - was du zur Matura alles über Funktionen wissen musst] | ||
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+ | * [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color: #ff3e96;"> ? </span>]]: Übung, in der du lernst, [https://www.geogebra.org/m/mkYyjnGk Funktionsgleichungen anhand gegebener Punkte zu berechnen] | ||
+ | : Hierfür musst du [[Gleichungssysteme (2.7.) | Gleichungssysteme]] lösen. | ||
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+ | {| align="right" | ||
+ | | <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Matura-Aufgaben|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div> | ||
+ | |} | ||
− | + | [[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]] |