Inhalt:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

Inhalt:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

Wird die Geschwindigkeit $v$ durch den Graphen angegeben, so ist die Steigung die Beschleunigung $a$. Der Flächeninhalt unter $v$ gibt den Weg $s$ an.

• $s(t)$ gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m$ oder $km$ ...)

• $v(t)$ gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s$ oder $km/h$ ...). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges $s(t)$, d. h.

$$s'(t)=v(t)\textrm{ bzw. } \int v(t)=s(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsstrecke $s_0$ angibt.}$$

• $a(t)$ gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s^2$ oder $km/h^2$ ...). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit $v(t)$, d. h.

$$v'(t)=a(t)\textrm{ bzw. } \int a(t)=v(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ angibt.}$$

Vereinfacht gesagt gilt folgender Zusammenhang:

Anwendungsbeispiel

Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum. Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. $5.5 m/s^2$. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während des ganzen Fluges konstant ist (d. h. $a(t)=5.5 m/s^2$). Die Variable $t$ gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden ($s$) an.

a) Bestimmen Sie die Funktion $v$, die die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit $v(0)=v_0=0$)

b) Bestimmen Sie mithilfe von $v$ die Funktion $s$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

c) $180$ Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).

Berechnen Sie:

• die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.
• die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt.

d) In etwa $36\, 000 km$ Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.

a) Bestimmen Sie die Funktion $v$, die die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit $v(0)=v_0=0$)

Tipp zur Berechnung:

Da die Funktion der Geschwindigkeit $v(t)$ gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung $a(t)$ einmal integrieren. Wir setzen $5.5$ (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für $a(t)$ ein und berechnen $v(t)$. Außerdem ist anzumerken, dass die Integrationskonstante $c=v_0$ wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$) $0$ beträgt und damit $v(0)=0$ gelten muss.

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ $$v(t)=\int 5.5 \cdot dt$$ $$v(t)=5.5 \cdot t + v_0$$ $$v(t)=5.5 \cdot t$$

Antwort: Die Geschwindigkeitsfunktion lautet $v(t)=5.5 \cdot t$.

b) Bestimmen Sie mithilfe von $v$ die Wegfunktion $s$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

Tipp zur Berechnung:

Da die Funktion des Weges $s$ gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit $v(t)$ einmal integrieren. Wir setzen $5.5t$ (dies entnehmen wir aus dem Ergebnis von Aufgabe a) für $v(t)$ ein und berechnen so unser Ergebnis für $s(t)$. Außerdem ist anzumerken, dass die Integrationskonstante $c=s_0$ wegfällt, da unsere zurückgelegte Strecke zu Beginn $0$ ist.

$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$ $$s(t)=\int 5.5t \cdot dt$$ $$s(t)=5.5 \cdot \frac{t^2}{2} +c$$ $$s(t)=2.75 \cdot t^2$$

Antwort: Die Funktionsgleichung lautet $s(t)=2.75 \cdot t^2$.

c) $180$ Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).

Berechnen Sie ...

- ... die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.

Tipp zur Berechnung:

$s(t)$ ist die Formel der zurückgelegten Strecke. Wir setzen daher in diese Formel für die Zeit $t=180$ ein, da wir wissen wollen, wo sich die Rakete nach $180$ Sekunden befindet.

$$s(t)=2.75 \cdot t^2$$ $$s(180)=2.75 \cdot 180^2$$ $$s(180)=89 100 m$$

Antwort: Nach $180$ Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von $89 100 m$.

Das $k$ der Tangente gibt die Geschwindigkeit an.

- ... die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt.

Tipp zur Berechnung:

$v(t)$ ist die Formel, die die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ angibt. Wir setzen daher in diese Formel für die Zeit $t=180$ ein, da wir wissen wollen, wie hoch die Geschwindigkeit der Rakete nach $180$ Sekunden ist. Das Ergebnis erscheint in $m/s$. Wenn das Ergebnis in $km/h$ gewünscht wäre, müsste man das Ergebnis noch mal $3.6$ rechnen.

$$v(t)=5.5 \cdot t$$ $$v(180)=5.5 \cdot 180$$ $$v(180)=990 m/s$$

$$990 m/s \rightarrow 3 564 km/h$$

Antwort: Nach $180$ Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von $3 564 km/h$ erreicht.

d) In etwa $36\, 000 km$ Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.

Tipp zur Berechnung:

Die Funktion $s$ beschreibt den zurückgelegten Weg. Wenn wir die unrealistische Annahme voraussetzen, dass die Rakete „kerzengerade“ emporsteigt, müssen wir somit berechnen, wann $s(t)=36\, 000 km=36\, 000\, 000 m$ beträgt. Wichtig ist hierbei, dass $s(t)$ den Weg in $m$ angibt!

$$36\, 000\, 000=2.75 \cdot t^2$$ $$t\approx 3618.14$$

Antwort: Nach ca. $3618.14$ Sekunden erreichen wir mit unserer Rakete die Höhe $36\, 000\, 000$ Meter.