Koordinatensystem
Grundlagen
Das Koordinatensystem wird verwendet, um mathematische Objekte wie Funktionen oder Vektoren graphisch darzustellen. Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:
- die x-Achse (waagrecht) und
- die y-Achse (senkrecht)
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Positionen der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind $(0/0)$.
Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt: An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.
Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.
Punkte im Koordinatensystem
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).
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Einen allgemeinen Punkt schreibt man an als $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) bzw. $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) oder $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet. |
Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:
- A(2/0)
- B(0/-2)
- C(-1/2)