Exponentialfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 2. Februar 2021, 16:19 Uhr

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite Wachstums- und Zerfallsprozesse.

Graph der Exponentialfunktion

Definition

Exponentialfunktionen sind Funktionen, deren Funktionsgleichung die Form $$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } a, b \in \mathbb{R}^+$$ oder $$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$

Hinweise

• In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im Exponenten.
• Im Term $a^x$ ist $a$ die Basis.
• $e$ steht für die Eulersche Zahl.
• $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen.
• $\lambda$ ist der griechische Buchstabe Lambda.

Graph der Exponentialfunktion

Je nach Größe der Parameter $a$ und $b$ bzw. $\lambda$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$

$b$ gibt den Schnittpunkt mit der $y$-Achse an. Begründung: Beim Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist die $x$-Koordinate gleich $0$. Die dazugehörige $y$-Koordinate erhält man dann durch: $f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$ (mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)

$a$ und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.
Für $a>1$ oder $\lambda>0$	ist der Graph monoton steigend. Je größer $a$ bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph.
Für $0<a<1$ oder $\lambda<0$	ist der Graph monoton fallend und nähert sich immer mehr der $x$-Achse.

• $Aha!$ : In diesem Arbeitsblatt kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von $b$ wurde hier der Buchstabe $c$ verwendet.)
• ? : Hier findest du ein Quiz, in dem du das Gelernte überprüfen kannst.

Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion

• Die $x$-Achse ist eine Asymptote des Graphen. D. h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
• Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um „denselben Faktor“ vermehrt (wenn $a>1$) oder vermindert (wenn $0<a<1$) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:

$$f(x+1)=f(x)\cdot a\ \ \textrm{ bzw. }\ \ \ \frac{f(x+1)}{f(x)}=a$$

• Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z. B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z. B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
• siehe Wachstums- und Zerfallsprozesse

Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man $2$ Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse ist, da so $b$ einfach bestimmt werden kann.

1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach)

Angabe: Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|12)$. Bestimme die Parameter $a$ und $b$.

2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel)

Angabe: Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(1|4)$ und $(2|16)$ bestimme die Parameter $a$ und $b$.

3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach)

Angabe: Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|27)$. Bestimme die Parameter $\lambda$ und $b$.

Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

Beispiel zur Bestimmung von Funktionswert und Argument

1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht)

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimme jene Argumente für die gilt

• a) $f(x)=0.3$
• b) $f(x)=0$
• c) $f(x)=-0.5$

Lösung:

Lösung für a)

Graphische Lösung der Aufgabe

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist: $$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$ $$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$ $$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$ $$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$ $$\underline{\underline{x = 4.74}}$$ Alternative Lösungswege:

• Graphisch den Schnittpunkt zwischen $f(x)$ und $y=0.3$ ermitteln (siehe Abbildung rechts)
• Solve-Befehl im TR oder Löse-Befehl mit GeoGebra

Lösung für b)

Da die $x$-Achse des Graphen von $f(x)$ eine Asymptote ist, hat $f(x)$ keine Nullstellen und somit gibt es kein $x$ für das gilt $f(x)=0$. Alternativer Lösungsweg:

• Löse-Befehl mit GeoGebra $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
• Rechnerisch:

$$ f(x)=0$$ $$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$ $$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$ $$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$ Da der Logarithmus nur für positive $x$-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$), ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung $\ln(0)$ überprüfen kannst). Somit hat die Gleichung $-0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

Lösung für c)

Auch hier gibt es keine Lösung, da der Wertebereich der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der $x$-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt (siehe Abbildung bei Lösung a) ).

2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht)

Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.

• a) Bestimme wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
• b) Berechne, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
• c) Fertige eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

Lösung:

Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.

Lösung a) $$f(5)=100\cdot 0.76^5=25.36 $$

Lösung für b) $$f(x)=50\ \ \ \ \textrm{gesucht ist x}$$ $$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$ $$0.76^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$ $$\log 0.76^x= \log 0.5$$ $$x\cdot \log 0.76=\log 0.5$$ $$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.76}$$ $$\underline{\underline{x=2.53}}$$ Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der Logarithmus verwendet.

Lösung c): siehe Abbildung rechts

Quiz: Exponentialfunktionen (FA 5.1-5.6)

Weitere Materialien

• $Step\ by\ Step!$ : Ein | Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner
• ? : Ein Quiz, in dem du den Graphen und die Funktionsgleichung zusammenführen musst

Matura-Aufgaben

• $Bifie$ : Luftdruck (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)

Siehe auch Logarithmus

• $Bifie$ : Vergessenskurve von Ebbinghaus (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

• $Bifie$ : Bevölkerungswachstum in den USA (leicht-leicht-mittel)

Siehe für Aufgabe b) und c) auch Differenzen- und Differentialquotient