Ableitung bestimmen: Unterschied zwischen den Versionen
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*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen! | *: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen! |
Version vom 11. April 2020, 15:14 Uhr
In den folgenden Abschnitten geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen. Doch zuerst wiederholen wir noch einmal die Definition von f':
Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. $f'(x)$ existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden.
Was ist $f'(x)$?
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Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$
$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle $x$ an.
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Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung
Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch Betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ graphisch bestimmt werden.
Das folgende Applet zeigt dir den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion. Verschiebe dazu den Punkt $P$ in der linken Graphik:
Aufgaben zu diesem Applet
1. Verschieben Sie den Punkt $P$. Auf der rechten Graphik wird laufend die Steigung $k$ beim jeweiligen $x$-Wert von $P$ abgetragen. Verschieben Sie $P$ solange, bis in der rechten Graphik ein schöner Funktionsgraph zu sehen ist. Dieser Graph ist der Graph von $f'(x)$ (=1. Ableitung von $x$).
2. Geben Sie eine andere Funktion im Eingabefeld ein. Versuchen Sie den Graphen von $f'(x)$ zuerst zu erraten und zeichnen Sie ihn erst dann durch Verschieben des Punktes $P$.
Funktionen zum Eintippen:
a) $f(x)=1.5x^3-4x^2$
b) $f(x)=0.05x^4-0.225x^3-0.325x^2+0.9x+0.5$
c) $f(x)=3x$
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$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: |
$f(x)$ | $f'(x)$ |
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1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle | $\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(a)=0$ |
2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt | $\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt $\rightarrow$ $f''(b)=0$ |
3. $f(x)$ ist monoton wachsend | $\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d. h. oberhalb der $x$-Achse. |
4. $f(x)$ ist monoton fallend | $\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d. h. unterhalb der $x$-Achse. |
Überprüfe dein Wissen
- $f(x)$ und $f'(x)$ - Graphen zuordnen (LearningApps)
Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln
Im Folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.