Funktionen

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Diese Seite handelt von der Definition und den grundlegenden Eigenschaften von Funktionen. Auf anderen Seiten werden wichtige Funktionstypen genauer behandelt:

• Lineare Funktionen
• Potenz- und Polynomfunktionen

  Quadratische Funktionen

  Kubische Funktionen

• Exponentialfunktionen
• Direkte und indirekte Proportionalität

Überblick

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Definition: Was ist eine Funktion und was ist keine Funktion

Definition

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem Wert aus einer Definitionsmenge genau einen Wert aus einer Wertemenge (Zielmenge) zuordnet. Die Elemente aus der Definitionmenge D werden meist mit x bezeichnet. Die Werte aus der Wertemenge W bezeichnet man mit y oder f(x) ("f von x").

Musterbeispiel einer Funktion: Der Lehrer verteilt die Mathematiknoten

Beispiel einer Funktion: Die Lehrperson (= Funktion) weist jeder Schülerin geanu eine Note zu

Im obigen Beispiel darf jede Schülerin nur eine Note erhalten ABER die mehrere Schülerinnen können dieselbe Note erhalten. Dies ist eine wichtige Eigenschaft von allen Funktionen! Verallgemeinert heißt dies:

Merke

Jedem Element der Definitionsmenge (x) darf NUR EIN Element der Wertemenge (y) zugeordnet werden. ABER Ein Element der Wertemenge (y) kann mehreren Elementen der Definitionsmenge (x) zugeordnet werden. (vgl. das Musterbeispiel der Schülerinnen (x, Definitionsmenge) und der Noten (y, Wertemenge).

Mathematische Funktionen und ihre Darstellungen

In der Mathematik bestehen die Definitions- und Wertemenge in der Regel aus Zahlen (meist aus den reellen Zahlen. Somit weist die Funktion f jeder Zahl x einer Definitionsmenge eine andere Zahl y einer Wertemenge zu. Ein Beispiel für eine soche Zuweisung von Zahlen auf Zahlen siehst du im folgenden Applet. Beachte hierbei auch die verschiedenen Darstellungen der Funktion:

a) Wertetabelle: In einer Tabelle wird die Zuordnungen von x- und y-Werten angegeben.

b) Graph: Die x- und y-Werte aus der Wertetabelle können in einem Koordinatensystem als Punkte mit den Koordinaten (x,y) angegeben werden. Der Punkt (1,4) würde dann bedeuten, dass der Zahl 1 aus der Definitionsmenge die Zahl 4 in der Wertemenge zugeordnet wurde. Das entstehende Gebilde nennt man dann Graph der Funktion

Darstellung: Funktion - Wertetabelle - Graph
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Zuletzt gibt es noch eine weite wichtige Darstellung einer Funktion, die

c) Funktionsgleichung Hat man eine Funktion, die jedem Wert aus der Definitionsmenge seinen Doppelten Wert zuordnet, so kann man dies auch folgendermaßen schreiben: $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } y=2x$$ wobei x im Definitionsbereich und y im Wertebereich liegt. Eine oft gebräuchlichere Schreibweise ist aber: $$f: D\rightarrow W \textrm{ mit } f(x)=2x \textrm{ (gesprochen: f von x ist 2 mal x)}$$

Im Bild sind alle 3 Darstellungsformen der Funktion f mit $f(x)=2x$ dargestellt: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph

Beispiele:

Funktionsgleichung	gesprochen	Bedeutung
$f(x)=x+1$	f von x ist x plus 1	Die Funktion f ordnet jedem x seine um 1 höhere Zahl x+1 zu.
$f(x)=2x$	f von x ist 2 mal x	Die Funktion f ordnet jedem x ihr Doppeltes zu.
$f(x)=3x+1$	f von x ist 3 mal x plus 1	Die Funktion f ordnet jedem x jede Zahl zu, die man erhält wenn man vom Dreifachen von x eins abzieht.

Übung zur Darstellung von Funtkionen: Funktionsgleichung - Wertetabelle - Graph
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Hinweis!

$$\ $$

1. Anstelle von f können auch andere Buchstaben für eine Funktion verwendet werden. Z.B.: $g(x)=x+1$
2. Auch muss nicht immer x als Variable verwendet werden. So wird für die Zeit als Definitionsbereich meist der Buchstabe t verwendet. z.B.: $g(t)=t+1$.

Merke

Wir kennen somit 3 wichtige Darstellungsformen einer Funktion Funktionsgleichung Wertetabelle Graph einer Funktion

Beispiele mit allen 3 Formen

Aufstellen einer Funktionsgleichung - Abhängige und unabhngige Variable

Oft besteht die Aufgabe darin, aus einem Text eine passende Funktionsgleichung aufzustellen. Dabei muss zuerst überlegt werden, was die x- und was die y-Variable (oder f(x) ) sein soll. Dabei gilt folgende Grundregel: Vorlage:VorlageMerke

Beispiele

$\begin{align} f:&\mathbb{R}_{\geq 0} \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \\ &\ \ x \ \ \ \longmapsto y \end{align}$

Weiteres Applet zu Definitions- und Bildbereich: https://www.geogebra.org/m/UWEnxpFJ

Übungen

• ? : Übung, in der du lernst Funktionsgleichungen anhand gegebener Punkte zu berechnen

Hierfür musst du Gleichungssysteme lösen.

• ? : Aufgabe von echteinfach.tv, in der du Funktionsgleichungen den jeweiligen Graphen zuordnest

• Beleuchtungsstärke (bifie-Aufgabe)

Matura-Aufgaben

• $Bifie$ Regenrinne (Bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Rechnen mit Termen.

• $Bifie$ Elektrischer Widerstand (Bifie-Aufgabe: leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Rechnen mit Termen.

• $Bifie$ Torten (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)

  Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Gleichungssysteme sowie Formeln und für d) Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)