Ableitung bestimmen

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In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) zu bestimmen.

Hinweis: Im Folgenden sei f(x) auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar (d.h. f'(x) existiert). Dies muss streng mathematisch vorausgesestzt werden)

Was ist $f'(x)$?

füge noch besseres Bild ein!

Der Differentialquotient berechnet die Steigung der Tangente t.

Definition

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte Differentialquotient von $f(x)$. $$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$ und gibt die momentane Steigung der Funktion $f$ an der Stelle x an. $f'(x)$ wird auch als 1. Ableitung von f(x) bezeichnet.

Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung

Merke

$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten:

$f(x)$	$f'(x)$
1. $f(x)$ hat bei $a$ eine Extremstelle	$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
2. $f(x)$ hat bei $b$ einen Wendepunkt	$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
3. $f(x)$ ist monoton wachsend	$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
4. $f(x)$ ist monoton fallend	$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!

Graph von f(x)

1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)	2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.
3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.	$f'(x)$ schön eingezeichnet

$Aha!$ Ein GeoGebra-Applet, in dem du das graphische differenzieren weiter üben kannst.

siehe noch:

• http://geogebratube.org/material/show/id/83408
• http://geogebratube.org/material/show/id/46089
• http://geogebratube.org/material/show/id/43313
• http://geogebratube.org/student/m46089

Rechnerishes Bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln

Grundlegende Regeln

Regel	$f(x)$	$f'(x)$	Bemerkung
Potenzregel	$x^n$	$n\cdot x^{n-1}$	Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
Konstantenregel $c\in \mathbb{R}$	c	0	konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
konstanter Faktor $a\in \mathbb{R}$	$a\cdot f(x)$	$a\cdot f'(x)$	Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
Summenregel	$f(x)+g(x)$	$f'(x)+g'(x)$	Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
$e$-Funktion	$e^x$	$e^x$	Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird (d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
Logarithmus	$ln|x|$	$\frac{1}{x}$
Trigonometrische Funktionen	$sin(x)\\ cos(x)$	$cos(x)\\ -sin(x)$	Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer weider zur Ausgangsfunktion zurück.

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