Differenzen- und Differentialquotient: Unterschied zwischen den Versionen

• $\Delta$ (= Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für „Unterschied“. $\Delta x$ ist der Unterschied auf der $x$-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der $y$-Achse.
• Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht, ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
• Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass er aus dem Quotienten (= Ergebnis einer Division) zweier Differenzen (= Ergebnis einer Subtraktion) entsteht:

$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$

• $Aha!$ Hier findest du ein Arbeitsblatt zum Differenzenquotienten

Zuerst machen wir eine Wertetabelle :

Nun setzen wir ein: $$\bar{k}_{[4,8]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(8)-f(4)}{8-4}=\frac{3.2-(-1.6)}{8-4}=\frac{4.8}{4}=\underline{\underline{1.2} }$$

b) Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte $(4\vert -1.6)$ und $(8\vert 3.2)$.

Der Differenzenquotient $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ gibt die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten an.

Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Sekante an.

$$s(t)=0.1\cdot t^2$$ $$s(5)=0.1\cdot 5^2=2.5\ m$$ A: Nach $5$ Sekunden hat das Fahrzeug einen Weg von $2.5 m$ zurückgelegt.

b) $s(t)=8.1 m$ und gesucht ist das passende $t$: $$s(t)=0.1\cdot t^2$$ $$8.1=0.1\cdot t^2$$ $$81=t^2$$ $$\pm 9=t$$ A: Da die negative Lösung nicht infrage kommt (das Auto fährt an, somit betrachten wir nur positive Werte für die Zeit), hat das Fahrzeug nach $9 s$ eine Distanz von $8.1 m$ erreicht.

Graph von $s(t)$ samt der Sekante durch die beiden Punkte aus a) und b).

c) Die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der $5.$ und $9.$ Sekunde entspricht der durchschnittlichen Steigung des Graphen von $s(t)$ im Intervall $[5;9]$ (siehe Abbildung rechts).

Die durchschnittliche Steigung kann mit dem Differenzenquotienten berechnet werden: $$\bar{k}_{[5;9]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{s(9)-s(5)}{9-5}\underbrace{=}_{\textrm{siehe a) und b)} } \frac{8.1-2.5}{9-5}=\frac{5.6}{4}=1.4\textrm{ m/s}$$

ACHTUNG: Da wir beim Differenzenquotient die Meter (= im Zähler) durch die Sekunden (= im Nenner) dividiert haben, erhalten wir als Einheit "Meter pro Sekunde" ($m/s$).

Laut Angabe sind aber $km/h$ gefordert, somit wandeln wir noch um: $$ 1.4\ m/s \underbrace{=}_{:1000}0.0014\ km/s \underbrace{=}_{\cdot 60\ \textrm{min}\cdot 60\ \textrm{sek} }5.04\ km/h$$ (Alternativ hätten wir die $1.4 m/s$ einfach mit $3.6=\frac{60\cdot 60}{1000}$ multiplizieren können.)

Somit hat das Fahrzeug zwischen der $5.$ und $9.$ Sekunde eine durchschnittliche Geschwindigkeit von $5.04 km/h$.

• Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der $x$-Achse der beiden Punkte $A$ und $B$ immer näher gegen $0$ gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert.

• $Aha!$ $\ $ Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen.
• Anstelle von $k$ wird auch $f'(x)$ geschrieben und damit gilt:

$$ {f'(x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

1. Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung $f'(x)=k$ der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.
2. Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=2$.

• 1. Bestimmen der momentanen Steigung $f'(x)$

$\begin{align} f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\ f'(x)= 2\cdot x \end{align}$

Graphische Lösung der Aufgabe 2

• 2. Bestimmen der momentanen Steigung bei $x=2$:

$$f'(x)=2x$$ $$f'(2)=2\cdot 2$$ $$f'(2)=4$$ Die Steigung der Funktion an der Stelle $x=2$ beträgt $4$.

1. Verschieben Sie den Punkt $P$. Auf der rechten Graphik wird laufend die Steigung $k$ beim jeweiligen $x$-Wert von $P$ abgetragen. Verschieben Sie $P$ solange, bis in der rechten Graphik ein schöner Funktionsgraph zu sehen ist. Dieser Graph ist der Graph von $f'(x)$ (=1. Ableitung von $x$).

2. Geben Sie eine andere Funktion im Eingabefeld ein. Versuchen Sie den Graphen von $f'(x)$ zuerst zu erraten und zeichnen Sie ihn erst dann durch Verschieben des Punktes $P$.

Funktionen zum Eintippen:
a) $f(x)=1.5x^3-4x^2$
b) $f(x)=0.05x^4-0.225x^3-0.325x^2+0.9x+0.5$
c) $f(x)=3x$

1. $f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$
   
   
2. $f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$
   
   
3. $f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$
   
   
4. $f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$
   
   
5. $x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
   
   
6. $x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$
   
   $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1-\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$
   
   
7. $f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$

$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$ Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren: $$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$ $$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen: $$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis: $$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$ $$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

• Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
• Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen: $$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$ $$h'(x)=\frac{2x^2+x-1-x^2+x}{x^2+2x+1}$$ $$h'(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+2x+1}$$

$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

• Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

• Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$.

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen: $$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$

• Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$.
• Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$.

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$ $$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$