Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. August 2014, 15:44 Uhr

Definition

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $$ y=k\cdot x+d$$ mit $k,d\in$ $\mathbb{R} $

!Wichtig! Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!

Steigung k

Der Parameter k gibt die (prozentuelle) Steigung der Geraden an. Es gilt folgender Zusammenhang:

1. k wird eingezeichnet, indem man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf/hinab geht, um wieder auf der Geraden zu landen.
2. k wird berechnet, indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe Differenzenquotient)
3. k und der Steigungswinkel: $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der

Steigungswinkel ist (siehe Trigonometrie )

d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")

d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:

• ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man homogene lineare Funktionen. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion inhomogen
• bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

Verschiebung von k und d

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke auf diesen Link

Gerade zeichnen

Um eine Gerade zu zeichnen musst du

1. d hinauf/hinab
2. eins nach rechts
3. k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du

1. d hinauf/hinab
2. Nenner nach rechts
3. Zähler hinauf/hinab

Anwendungen

1. Lineare Kosten (siehe Beispiele)
2. Wachstums- und Zerfallsprozesse
3. Kurvendiskussionen

Online-Materialien

Theorie

1. $Schau!\ $ : Hier findest du eine Prezi-Überblickpräsentation (erstellt von Raimund Porod)
2. $Step\ by\ Step!$ : Hier findest du einen Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen

Online-Übungen

1. ? : Selbstest zum Thema Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)
2. ? : Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung
3. ? : weitere Aufgaben zum Bestimmen der Funktionsgleichung

Offizielle Bifie-Aufgaben

• $Bifie$ Gletschermarathon

• $Bifie$ Skipiste

  Siehe auch: Geschwindigkeit und Steigung und Steigungswinkel

Schularbeiten- und Testaufgaben

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

2. Aufgabe

3. Aufgabe

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

5 Aufgabe. Lineare Kosten Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss. Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.