Wachstums- und Zerfallsprozesse: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 22. September 2026, 10:36 Uhr

Einleitung und Grundbegriffe
Lineares Wachstum
Exponentielles Wachstum
Unterschied: Lin. vs. Exp.
Exponentielle Abnahme
Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen
Matura-Aufgaben
W1 und W2: beschränkte Modelle
W1 und W2: logistisches Modell
W1- und W2-Matura-Aufgaben

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen Funktionen beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:

Grundbegriffe

$t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren, Tagen, Stunden oder ... . Die Einheit steht immer in der Angabe!)
$N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt $0$)
$N(t)...$ Anzahl/Größe nach $t$ Zeiteinheiten (z. B. $t$ gebe die Stunden an, dann ist $N(5)$ die Anzahl nach $5$ Stunden)

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Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$

Definition und Verwendung

Graph einer linearen Zunahme

Graph einer linearen Abnahme

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert $k$ wächst. Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann: $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

Ist $k>0$, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
Ist $k<0$, so handelt es sich um eine lineare Abnahme

Hinweise:

Bei $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$ handelt es sich um eine lineare Funktion der Form

$$ y=k\cdot x+d$$

Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$

Herleitung der Funktionsgleichung:

Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z. B. pro Stunde) um den Wert $k$.

Dann gilt für $N(1)=$ Individuen nach einer Stunde:

$$N(1)=N_0+k$$

Nach $2$ Stunden hat sich die Population wieder um $k$ vermehrt und damit ist

$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$

Und nach $3$ Stunden gilt

$$N(3)=N(2)+k=(N_0+2k)+k=N_0+3k$$

Ganz allgemein gilt dann für die Population nach $t$ Stunden:

$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

Musterbeispiel:

Stanislaus hat ein Geburtsgewicht von $3120 g$. Nach $3$ Wochen hat er bereits $3900 g$.

Erstelle ein lineares Modell, welches die Abhängigkeit des Gewichts vom Alter beschreibt.
Was bedeuten die Parameter $k$ und $d$ in diesem Zusammenhang?
Stanislaus ist bei seiner Taufe $10$ Wochen alt. Welches Gewicht hat er?
Wann erreicht Stanislaus ein Gewicht von $6,2 kg$?

Lösung

$y=260x+3120$, wobei $y=$ Gewicht in $g$, $x=$ Alter in Wochen
$k$ beschreibt die wöchentliche Zunahme in Gramm und $d$ beschreibt das Geburtsgewicht von Stanislaus
$y=260\cdot 10+3120=5720$. Stanislaus wiegt nach $10$ Wochen $5720 g$.
Löse die Gleichung: $6200=260x+3120$. Lösung: $x=11,84$. Also erreicht Stanislaus in der $12.$ Woche nach der Geburt ein Gewicht von $6,2 kg$.

Übungsaufgaben

Wassertonne

Wassertonne (Lösung)

$Bifie$ : Tauchen

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Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$

Definition und Verwendung

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Faktor $a>1$ wächst. Wie bei den Exponentialfunktionen gibt es auch hier zwei Formeln:

Graph einer exponentiellen Zunahme

$$N(t)=N_0\cdot a^t $$

$$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$

$a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe Exponentialfunktionen).

Beispiel:

$a=1.26$

$\rightarrow $

die Population wächst um den Faktor $1.26$

$\rightarrow $

die Population wächst pro Zeiteinheit um $26 \%$

$\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.

Es gilt: $a=e^\lambda $

Verdoppelungszeit

Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des exponentiellen Wachstums folgt). Aus diesem Grund definiert man die:

Definition: Verdoppelungszeit $\tau $

Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$

$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ ($=$"tau") Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$

1. Musterbeispiel: Berechnung der Verdoppelungszeit bei bekannter Anfangsmenge

Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$

Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um $6.5 \%$ p. a. (d. h. $6.5 \%$-ige Verzinsung pro Jahr).

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn $100€$ auf dem Sparbuch liegen.
b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d. h. berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von $350€$ an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.

Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

Lösung

a) $N_0=100$; $a=(1+\frac{6.5}{100})=1.065 \ \ \rightarrow$ $\underline{\underline{N(t)=100\cdot 1.065^t}}$

b)

$N_0=100$
$a=1.065$
$N(t)=200$
$t=$?

Bestimmung der Verdoppelungszeit

$$200=100\cdot 1.065^t$$ $$2=1.065^t |\log$$ $$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$ $$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$ $$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c) Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit $11.01$ Jahre, da sich hier das Anfangskapital von $350€$ auf $700€$ verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

2. Musterbeispiel: Berechnung der Verdoppelungszeit bei unbekannter Anfangsmenge

Die Größe einer Bakterienpopulation nach $t$ Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.

a) Bestimmen Sie, um wie viel Prozent sich die Population pro Stunde vergrößert.
b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

Lösung

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14 \%$ Wachstum pro Stunde.

b) Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d. h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir: $$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$ $$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$ $$ 2=1.14^t \ \ \ |\log ( \ )$$ Wichtig: In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$ ist. Dies kam auch schon im 1. Musterbeispiel vor. $$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$ $$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$ $$\underline{\underline{t=5.29}}$$ A: Die Verdoppelungszeit beträgt $5.29$ Stunden.

3. Musterbeispiel: Bestimmen des Wachstumsfaktors bei bekannter Verdoppelungszeit

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt $17$ Tage ($t$ gibt die Tage an).

a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das $8$-Fache des Anfangswertes vorhanden ist.

Lösung:

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein: $$N(t)=N_0\cdot a^t$$ $$N(17)=N_0\cdot a^{17}$$ $$2\cdot N_0=N_0\cdot a^{17} \ \ \ |:N_0$$ $$2=a^{17} \ \ \ |\sqrt[17]{\ \ \ }$$ $$\sqrt[17]{2}=a$$ $$\underline{\underline{a=1.0416}}$$ A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt $1.0416$, womit pro Tag $4.16 \%$ dazu kommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach $17$ Tagen zu einer Verdoppelung gekommen ist. Da sich das exponentielle Wachstum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:

nach $2\cdot 17=34$ Tagen kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
Nach $3\cdot 17=51$ Tagen kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)

Somit dauert es $51$ Tage. Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

Merke:

Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)

Mehrfache Verdoppelung eines exponentiellen Wachstums

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Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

Lineares Wachstum	Exponentielles Wachstum
Addition um eine konstante Zahl	Multiplikation um einen konstanten Faktor
immer $+k$	immer $\cdot a$
Graph ist eine Gerade	Graph ist eine exponentielle Kurve
wächst immer um dieselbe konstante Zahl $k$	wächst immer schneller
Graph einer linearen Zunahme	Graph einer exponentiellen Zunahme

Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme $k$ bzw. $a$:

Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um $5 \%$ zu:
Der Meeresspiegel steigt jährlich um $4 cm$:
Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor $1.2$:
Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um $1 cm$ dicker:
Ein Kapital wird jährlich mit $3 \%$ p. a. verzinst.
Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um $12 \%$.

Lösung:

Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um $5 \%$ zu: exponentiell mit $a=1.05$
Der Meeresspiegel steigt jährlich um $4 cm$: linear mit $k=4 cm$
Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor $1.2$: exponentiell mit $a=1.2$
Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um $1 cm$ dicker: linear mit $k=1 cm$
Ein Kapital wird jährlich mit $3 \%$ p. a. verzinst. exponentiell mit $a=1.03$
Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um $12 \%$: exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme

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Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$

Definition:

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

Graph einer exponentiellen Abnahme

$$N(t)=N_0\cdot a^t $$

$$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$

$a<1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe Exponentialfunktionen)

Beispiel:

$a=0.64$

$\rightarrow $

die Population verringert sich um den Faktor $0.64$

$\rightarrow $

die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=0.36=36 \%$

$-\lambda<0 ...$ ist die Abnahmerate

Es gilt: $a=e^{-\lambda} $

Halbwertszeit

Eine besondere Eigenschaft der exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum). Aus diesem Grund definiert man die:

Definition: Halbwertszeit $\tau $

Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$

$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$

Musterbeispiel:

Von einer bestimmten Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich $4 \%$.

a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch $1 \%$ der Anfangsmenge vorhanden?

Lösung:

a) $a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b) Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein, erhält man: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$ $$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$ $$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$ $$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$ $$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$ $$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwertszeit beträgt ca. $17$ Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann $\lambda$ bestimmt werden: $$0.96=e^{-\lambda}$$ $$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$ $$-\ln 0.96=\lambda$$ $$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesetz in der $e^{-\lambda}$-Form: $$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d) Gefragt ist, wann $$N(t)=1 \textrm{% von }N_0$$ ist. Formulieren wir dies noch "mathematischer", so erhalten wir: $$N(t)=0.01\cdot N_0$$ Setzen wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formel man nimmt), so erhält man: $$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$ $$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$ $$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$ $$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$ $$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$ $$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als $112$ Stunden sind $99 \%$ der Anfangsmenge zerfallen.

Merke: $\ \ \ \ \ \ $

Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$.

Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.

Übungsaufgaben

Weitere Übungsaufgaben (klicke hier) und die dazugehörenden Lösungen (klicke hier).

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In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ verwendet. Das Vorgehen mit der Darstellungsform zur Basis $e$ mit $f(x)=c\cdot e^{ \pm \lambda x} $ funktioniert auf die selbe Weise.

Merke

Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen, gehe so vor:

Möglichkeit 1:
Direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie den Änderungsfaktor $a$ heraus
und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
Möglichkeit 2:
Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $f(x):=c\cdot a^x$ in CAS,
gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit Löse({Gl1,Gl2},{a,c}) und ≈.

Achtung: $a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.

Wie sieht das in GeoGebra CAS aus?

$\rightarrow $
Die richtige Antwort lautet $f(x)=30\cdot 1,29567^x $

WH:

Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: Wiederholung

Aufgabe: Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.

Aufgabe: Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.

Übungsbeispiel: Möglichkeit 1 mit dem Matura-Beispiel Kunststoffmüll a1)

Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Masse an Kunststoff kann näherungs weise durch die Exponentialfunktion $f$ beschrieben werden.

$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1950
$f(t)$... jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff zur Zeit $t$ in Millionen Tonnen

Im Jahr 1950 betrug die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff 2 Millionen Tonnen. Seitdem stieg die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff um jeweils 8,5 % pro Jahr im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr an.

Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $f$ auf.

Lösung:

$f(t)=2\cdot 1,085^t $

Hier musst du aus dem Text den Anfangswert sowie die jährliche prozentuelle Änderung herauslesen und entsprechend in die Form $f(t)=c\cdot a^t$ einsetzen. Du musst wissen, dass $c$, also die Zahl ohne den Exponenten, der Anfangswert und $a$, die Zahl mit dem Exponenten, der Änderungsfaktor ist. Der Änderungsfaktor gibt an, AUF wie viel % der Grundwert jährlich ansteigt: $100 %+8,5 % = 108,5 % \mathrel{\hat=} 1,085 $.

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Übungsbeispiel: Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel W-Lan b1)

Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$.

$d(x)=c\cdot a^x $

$x$... Entfernung in m $d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s

Sie ermittelt folgende Messwerte:

Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.

Lösung:

$c≈772,22605 $ und $a≈0,91674$

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Merke

Sonderfall bei Möglichkeit 2: Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information.

Dafür gibt es mehrere Wege:

Weg 1: In GeoGebra CAS

- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung und setze gleich für den Anfangswert $c=1$ ein ($1 \mathrel{\hat=} 100 %$) z.B. $f(x):=1\cdot a^x$ in CAS,
gib die Info (z.B. ein Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit Löse(Gl1,a) und ≈ oder dem Shortcut $x\color{red}{≈}$.

- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung, gib die Info als Gleichung ein und löse sie mit Löse(Gl1,a). Achtung: Hier funktioniert der Shortcut nicht!

Weg 2: Verwende das geometrische Mittel.

WH: geometrisches Mittel $a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $

Beispiel zum geometrischen Mittel

Das Kapital ist in drei Jahren insgesamt um 22,5034 % angestiegen. Berechne, um wie viel Prozent das Kapital durchschnittlich pro Jahr angestiegen ist.

Lösung:

Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung in einem Jahr $a$ berechnet man mit

$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $
D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.

Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.

Übungsbeispiel: Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel Leuchtdioden c1)

Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte Lichtstrom. Dieser wird in der Einheit Lumen angegeben. Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird. Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache. Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden.
$L(t)=L_0 \cdot a^t $

$t$... Zeit in Jahren
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen
$L_0$... maximaler Lichtstrim zur Zeit $t=0$ in Lumen
$a$... positiver Parameter

Berechnen Sie den Parameter $a$.

Lösung:

$a≈1,34928$

Mit GeoGebra-CAS: Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll!

oder

Mit dem geometrischen Mittel:

$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Weitere Beispiele

Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

Matura-Beispiele

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

Vermischte Beispiele

Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen (Lösungen enthalten)

Weitere Aufgaben (S. Riedmann)

... und hier die Lösungen

$Bifie$ : Schiunfälle (bifie-Aufgabe: leicht)

siehe auch Beschreibende Statistik

$Bifie$ : Neuronen in der Großhirnrinde (bifie-Aufgabe: leicht)

$Bifie$ : PKW-Bestand (leicht)

$Bifie$ : Alkoholspiegel (leicht-leicht-mittel-mittel)

$Bifie$ : Wirkame Substanz eines Medikamentes (bifie-Aufgabe: mittel)

$Bifie$ : Tauchen (bifie-Aufgabe)

Siehe auch: Gleichungen aufstellen und Äquivalenzumformungen

$Bifie$ : Taschengeld (bifie-Aufgabe)

$Bifie$ : Luftdruck1 (bifie-Aufgabe)

$Bifie$ : Bevölkerung (bifie-Aufgabe)

$Bifie$ : Holzbestand und Waldfläche (bifie-Aufgabe)

$Bifie$ : Hefeteig (bifie-Aufgabe)
siehe auch Lineare Funktionen

$Bifie$ : Altersbestimmung (bifie-Aufgabe)

$Bifie$ : Kleintransporter (bifie-Aufgabe)

$Bifie$ : Radausflug (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)

Siehe auch

* Beschreibende Statistik

* Trigonometrie

$Bifie$ : Bevölkerungswachstum in den USA (leicht-leicht-mittel)

Siehe für Aufgabe b) und c) auch Differenzen- und Differentialquotient

Inhaltsverzeichnis

1 Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme
2 Funktionsgleichung aufstellen
- 2.1 Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung

Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

Aufgabe: Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!

Abkühlung eines Tees
Erwärmung von Schokoladeneis
Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme

Funktionsgleichung

In der Formelsammlung findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum.

Definition

Es gilt:

$S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
$0<a<1$
$t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$

Das beschränkte Wachstum wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben.
$S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$.

Die beschränkte Abnahme wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben.
$S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $.

WH: Betrag einer Zahl $|x|$

Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der Abstand der Zahl $x$ zu $0$ auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$

Graph

beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)

beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)

Aufgabe: Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst.

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke auf diesen Link .

Merke

$N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.

WH: Asymptote

Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.

Aufgabe: Versuche es selbst in GeoGebra:

Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
Gib im CAS-Fenster den Befehl Schnittpunkt( Funktion, Funktion) ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
Gib im Algebra-Fenster den Befehl Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert) ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.

- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

Übungsbeispiel: Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert.

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$).

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

Lösung:

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist,

z.B. $a=0,3$:
$0,3^1=0,3 $
$0,3^2=0,09$
$0,3^5=0,00243 $
$0,3^{10}=0,0000059049$
usw.

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert

Übungsbeispiel: Matura-Beispiel Weltbevölkerung c1)

Angabe

Lösung:

blabla

+ GG-Screenshot + Video?

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Übungsbeispiel: Matura-Beispiel Videoplattform c1)

Angabe

Lösung:

blabla

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

Weltbevölkerung* c1)
Begründung zur Asymptote
Videoplattform* c1)
Anfangswert und Schranke einzeichnen
Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)
zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
Küchengerät* a1)
zum Anfangswert argumentieren
Trinkflaschen* c2)
Anfangswert angeben

Funktionsgleichung aufstellen

Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: Wiederholung

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).

Merke

Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.

Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung

Übungsbeispiel: Matura-Beispiel xy c1)

Angabe

Lösung:

blabla

+ GG-Screenshot + Video?

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

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Videoplattform* a1)
ein Parameter ermitteln
Online-Shopping* b1)
ein Parameter ermitteln
Küchengerät* a2)
ein Parameter ermitteln
Thermometer* b)
zwei Parameter ermitteln
Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)
zwei Parameter ermitteln

Inhaltsverzeichnis

1 logistisches Wachstum
- 1.1 Funktionsgleichung
- 1.2 Graph
  - 1.2.1 Matura-Beispiele zur Schranke
2 Funktionsgleichung aufstellen

Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

Aufgabe: Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!

Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
Entwicklung der Weltbevölkerung
Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

logistisches Wachstum

Funktionsgleichung

asdf

Graph

asdf

Matura-Beispiele zur Schranke

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Kraftfahrzeug-Bestand* b2)

Funktionsgleichung aufstellen

asdf

Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

Eigenständige Suche im Aufgabenpool

Öffne die Seite des Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP).

Mit dem Deskriptor B_W_3.5 kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?

Zudem kannst du mit dem Schlagwort Exponentialgleichungen nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?

Spezifische Aufgaben

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

Videoplattform* a) :
Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
Videoplattform* b2)
mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
Videoplattform* c)
Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
Schilf* c)
Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
Kraftfahrzeug-Bestand* b)
mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
Online-Shopping* b1)
Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
Trinkflaschen* c2)
mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
Küchengerät a1)+a2)
mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
Thermometer* b)
Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
Öffentlicher Verkehr in Wien* b)
mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
Pilze* b)
mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
Grafikkarte* b)
mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
Thermosflasche* b)
Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
Speiseeis (2)* b)
mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen

@@ Zeile 377: / Zeile 377: @@
-= Funktionsgleichung aufstellen =
+= Exponentielle Abnahme =
+==Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ ==
+'''Definition:'''
-In der Mathematik gibt es oft mehrere Lösungsmöglichkeiten. Im folgenden Artikel wird nur einen Weg behandelt, welcher aber universal angewendet werden kann.
+Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer '''um den gleichen Faktor verkleinert'''.
-== Wiederholung==
+[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
+{| border="1" align="center"
-<span style="color:#A020F0"> '''
+|-
-=== <big>Wissenswertes</big> ===
+| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
-''' </span>
+| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
+|-
+| $a<1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])
-<div class="mw-collapsible-content"> Um eine Funktionsgleichung aufstellen zu können, muss man die sogenannten ''Parameter'' bzw. ''Koeffizienten'' (die noch unbekannten Zahlen in der allgemeinen Funktionsgleichung) berechnen.
+Beispiel:
+{|
+| $a=0.64$
+|$\rightarrow $
+| die Population verringert sich um den Faktor $0.64$
+| $\rightarrow $
+| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=0.36=36 \%$
+|}
+| $-\lambda<0 ...$ ist die Abnahmerate
+Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
+|}
+<br>
+<br>
-{{Vorlage:Merke|1=  Egal zu welcher Art von Funktion du die Funktionsgleichung aufstellen willst, der Ablauf in GeoGebra CAS bleibt immer gleich!}}
+=== Halbwertszeit ===
+Eine besondere Eigenschaft der exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
+Aus diesem Grund definiert man die:
-Folgende Dinge musst du wissen, damit du eine Funktionsgleichung aufstellen kannst: <br/>
+{| border ="1"
-* die allgemeine Form der Funktionsgleichung, z.B.
+| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>
-:- linearen Funktion, z.B. $ f(x)=k\cdot x+d $
-:- quadratische Funktion (Polynomfunktion 2. Grades), z.B. $ f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c $
-:- kubische Funktion (Polynomfunktion 3. Grades), z.B. $f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d $
-:- Exponentialfunktion, z.B. $f(x)=c\cdot a^x $
-* dass es genau so viele Informationen braucht, wie du unbekannte Parameter in der Funktionsgleichung hast, z.B.
-:- bei der linearen Funktion möchtest du $ k $ und $ d $ - also zwei unbekannte Parameter - herausfinden, daher brauchst du zwei Informationen
-:- bei der kubischen Funktion möchtest du $a, b, c$ und $d$ - also vier unbekannte Parameter - herausfinden, daher brauchst du vier Informationen
-:- bei der Exponentialfunktion möchtest du $c$ und $a$ - also zwei unbekannte Parameter - herausfinden, daher brauchst du zwei Informationen
-* dass du diese Informationen als Gleichung der Form $f(...)=...$ in CAS eintippen musst
-* Ablauf in GeoGebra
-</div>
+| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
+$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
+|}
-</div>
-<br/>
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
+<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>
-<span style="color:#A020F0"> '''
-=== <big>Ablauf in GeoGebra</big> ===
-''' </span>
 <div class="mw-collapsible-content">
+Von einer bestimmten Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich $4 \%$.
+* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
+* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
+* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
+* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch $1 \%$ der Anfangsmenge vorhanden?
-# Öffne das CAS-Fenster.
-# Gib in der 1. Zeile die allgemeine Funktionsgleichung mit einem $:=$ ein, z.B. $ f(x):=k\cdot x+d $
-# Gib in den nächsten Zeilen so viele Gleichungen der Form $ f(...)=... $ ein, wie unbekannte Parameter in der allgemeinen Funktionsgleichung vorkommen.
-# Löse die bei 3. eingegebenen Gleichungen ...
-## ... indem du alle Gleichungen markierst und den Shortcut $ x\color{red}{=} $ oder $ x\color{red}{≈} $ verwendest
-## ... indem du in der nächsten Zeile den Befehl '''Löse(Liste von Gleichungen, Liste von Variablen)''' verwendest.
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0> '''Beispiel:''' Eingabe in GeoGebra CAS </span>
+<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
 <div class="mw-collapsible-content">
+a)
+$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
-[[Datei:Lernpfad1_Ablauf_GG_+_Erklärung.jpg|700px|left]]
-<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
+b)
+Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein, erhält man:
+$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
+$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
+$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
+$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
+$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
+$$\underline{\underline{t=16.98}}$$
-</div>
+A: Die Halbwertszeit beträgt ca. $17$ Stunden.
-</div>
-</div>
+c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann $\lambda$ bestimmt werden:
+$$0.96=e^{-\lambda}$$
+$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
+$$-\ln 0.96=\lambda$$
+$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$
-</div>
+Somit lautet das Zerfallsgesetz in der $e^{-\lambda}$-Form:
+$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
-<br/>
+d)
+Gefragt ist, wann $$N(t)=1 \textrm{% von }N_0$$ ist. Formulieren wir dies noch "mathematischer", so erhalten wir: $$N(t)=0.01\cdot N_0$$
+Setzen wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formel man nimmt), so erhält man:
+$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
+$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
+$$0.01=e^{-0.041\cdot t}   | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
+$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
+$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
+$$\underline{\underline{t=112.32}}$$
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
+A: Erst nach etwas mehr als $112$ Stunden sind $99 \%$ der Anfangsmenge zerfallen.
-<span style="color:#A020F0> ''' Achtung: '''  mögliche Fehlerquellen und Hinweise </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-* Achte darauf, dass du den $ := $ bei der Defintion der allgemeinen Funktionsgleichung sowie die Malpunkte $ \cdot $ zwischen den einzelnen "Buchstaben" nicht vergisst!
-* Die unabhängige Variable muss immer zusammenpassen, z.B. $h( \color{green}{ \textbf{t} } )=k\cdot \color{red}{ \textbf{x} } +d $ ist falsch $\rightarrow h(\color{green}{ \textbf{t} })=k\cdot \color{green}{ \textbf{t} }+d $ ist richtig
-* Setze die Werte richtig in $ f(\color{green}{\textbf{...}})=\color{blue}{\textbf{...}} $ ein: die <span style="color:green"> unabhängige Variable </span> kommt in die Klammer, die <span style="color:blue"> abhängige Variable </span> kommt nach dem =.
-* Für den Befehl '''Löse(Liste von Gleichungen, Liste von Variablen)''' brauchst du Listen. Diese gibt man mit '''{ ... }''' ein.
-* Damit du die Gleichung der vorhergegangenen Zeilen nicht nochmals tippen musst, kannst du auf diese Zeile mit dem '''$ \$ $-Zeichen ''' verweisen.
 </div>
 </div>
-<br/>
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
-<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' leicht </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-Stelle die Funktionsgleichung der linearen Funktion $f$ auf, deren Graph durch die Punkte $(1|5)$ und $(3,5|10)$ geht.
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
-<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content"> $f(x)=2\cdot x+3 $
-<br />
-[[Datei:Lernpfad1 Ü1.png|links|500px|Funktionsgleichung mit Hilfe GeoGebra CAS einfach aufstellen.]]
-<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
 </div>
@@ Zeile 485: / Zeile 483: @@
 </div>
-</div>
-</div>
+{| border ="1"
+|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke: $\ \ \  \  \ \     $    ''' </p>
-<br/>
+|
+* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
-<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Schlosspark b2)'' </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-Ein rechteckiges Blumenbeet mit den Seitenlängen $b$ und $h$ ist in einen Bereich für Rosen und einen Bereich für Tulpen unterteilt. Die Begrenzungslinie zwischen diesen Bereichen kann modellhaft durch den Graphen der Funktion $f$ beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung). <br/>
+* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$.
+|
+|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|600px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]]
+|}
+<br>
+<br>
-[[Datei:Lernpfad1 Ü2.png|links|300px|Matura-Bsp. Schlossparl b)]] <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
+=== Übungsaufgaben ===
+Weitere [https://www1.vobs.at/maturawiki/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [https://www1.vobs.at/maturawiki/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].
+<br>
+<br>
+<!-- == Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
+=== Definition und Verwendung===
+=== Musterbeispiel ===
+-->
-$f$ ist eine Polynomfunktion 3. Grades mit $f(x)=a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x+d $. <br />
+<!-- == Beschränktes und Logistisches Wachstum ==
-Folgende Punkte liegen auf dem Graphen von $f$ : $(3 | 0,8), (5 | 2,7), (7 | 3,7), (9 | 2,3)$. <br/><br/>
+-->
-Berechnen Sie mithilfe dieser Punkte die Koeffizienten $a, b, c$ und $d$.
+{| align="right"
+| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink: Matura-Aufgaben |$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
+|}
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
-<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content"> Ergebnis der Koeffizienten
-<br />
-Bildschirmvideo
+= Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen =
-<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
+In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ verwendet. Das Vorgehen mit der Darstellungsform zur Basis $e$ mit $f(x)=c\cdot e^{ \pm \lambda x} $ funktioniert auf die selbe Weise.
-</div>
-</div>
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
-<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0
-Lösungsvideo: Selbst erstellt
-<br />
-</div>
-</div>
-</div>
-</div>
-== Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion aufstellen ==
@@ Zeile 536: / Zeile 523: @@
 * Möglichkeit 1: <br/> Direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie den Änderungsfaktor $a$ heraus <br/> und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. <br/>
 * Möglichkeit 2: <br/>  Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $f(x):=c\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse({Gl1,Gl2},{a,c})'' und ≈.
-:- Gibt es nur eine Info und du sollst damit den Änderungsfaktor $a$ herausfinden, kannst du den Anfangswert $c=1$ einsetzen ($1 \mathrel{\hat=} 100 %$) oder das [[geometrische Mittel]] verwenden.
 }}
@@ Zeile 553: / Zeile 539: @@
 <span style="color:#228B22"> '''WH:'''  </span>
 * Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
-* Eine ausführliche Wiederhilung findest du hier: [[Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung|Wiederholung]]
+* Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: [[Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung|Wiederholung]]
 '''Aufgabe:''' Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.
@@ Zeile 612: / Zeile 598: @@
 Sie ermittelt folgende Messwerte: <br/>
 [[Datei:Lernpfad1 Ü3.png|Matura-Bsp. W-Lan b1)|links|300px]]
-<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
+<br/><br/><br/><br/><br/>
 Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.
 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
 <span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content"> $c≈772,22605 $ und $a≈0,91674$
+<div class="mw-collapsible-content"> $c≈772,22605 $ und $a≈0,91674$ <br/>
-<br />
+[[Datei:Lernpfad1 Ü4.png|links|350px|Lösung zum Matura-Bsp. W-Lan b1)]]
-GeoGebra-Screenshot
+<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
 </div>
@@ Zeile 635: / Zeile 621: @@
 </div>
-</div>
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
-<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Möglichkeit 2 </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-Aufgabe <br/>
-Ausklappbare Musterlösung
-</div>
 </div>
-= Exponentielle Abnahme =
+{{Vorlage:Merke|1=  '''Sonderfall bei Möglichkeit 2:''' Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. <br/>
-==Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ ==
-'''Definition:'''
+Dafür gibt es mehrere Wege:
-Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer '''um den gleichen Faktor verkleinert'''.
+* Weg 1: In GeoGebra CAS <br/>
+:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung und setze gleich für den Anfangswert $c=1$ ein ($1 \mathrel{\hat=} 100 %$) z.B. $f(x):=1\cdot a^x$ in CAS, <br/> gib die Info (z.B. ein Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)'' und ≈ oder dem Shortcut $x\color{red}{≈}$.
+:- Definiere die allgemeine Funktionsgleichung, gib die Info als Gleichung ein und löse sie mit ''Löse(Gl1,a)''. <span style="color:#FF8C00"> '''Achtung:'''  </span>  Hier funktioniert der Shortcut nicht!
-[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]
+* Weg 2: Verwende das [[geometrische Mittel]]. }}
-{| border="1" align="center"
+<span style="color:#228B22"> '''WH:'''  </span> geometrisches Mittel
-|-
+$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $
-| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
-| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
-|-
-| $a<1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])
-Beispiel:
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
-{|
+<span style="color:#A020F0> '''Beispiel zum geometrischen Mittel''' </span>
-| $a=0.64$
+<div class="mw-collapsible-content"> Das Kapital ist in drei Jahren insgesamt um 22,5034 % angestiegen. Berechne, um wie viel Prozent das Kapital durchschnittlich pro Jahr angestiegen ist. <br/>
-|$\rightarrow $
-| die Population verringert sich um den Faktor $0.64$
-| $\rightarrow $
-| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=0.36=36 \%$
-|}
-| $-\lambda<0 ...$ ist die Abnahmerate
-Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
-|}
-<br>
-<br>
-=== Halbwertszeit ===
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
-Eine besondere Eigenschaft der exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
+<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
-Aus diesem Grund definiert man die:
+<div class="mw-collapsible-content">
+* Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
+* Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung ''in einem Jahr'' $a$ berechnet man mit
+$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $ <br/> D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.
+* Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.
+</div>
-{| border ="1"
+</div>
-| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>
+</div>
+</div>
-| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
-$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
-|}
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
+<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel ''Leuchtdioden c1)'' </span>
-<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>
 <div class="mw-collapsible-content">
-Von einer bestimmten Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich $4 \%$.
+Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte ''Lichtstrom''. Dieser wird in der
-* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
+Einheit Lumen angegeben.
-* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
+Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird.
-* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
+Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache.
-* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch $1 \%$ der Anfangsmenge vorhanden?
+Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden. <br/>
+$L(t)=L_0 \cdot a^t $ <br/>
+$t$... Zeit in Jahren <br/>
+$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen <br/>
+$L_0$... maximaler Lichtstrim zur Zeit $t=0$ in Lumen <br/>
+$a$... positiver Parameter <br/>
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
+Berechnen Sie den Parameter $a$.
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
 <span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
+<div class="mw-collapsible-content"> $a≈1,34928$
+<br />
+'''Mit GeoGebra-CAS:''' Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll! <br/>
-<div class="mw-collapsible-content">
+[[Datei:Lernpfad1 Ü5 Version 2.png|links|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] oder [[Datei:Lernpfad1 Ü5.png|350px|Lösung Matura-Bsp. Leuchtdioden c1)]] <br/>
-a)
+'''Mit dem geometrischen Mittel:''' <br/>
-$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
+$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $
-b)
+</div>
-Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein, erhält man:
-$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
-$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
-$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
-$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
-$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
-$$\underline{\underline{t=16.98}}$$
-A: Die Halbwertszeit beträgt ca. $17$ Stunden.
+</div>
-c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann $\lambda$ bestimmt werden:
-$$0.96=e^{-\lambda}$$
-$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
-$$-\ln 0.96=\lambda$$
-$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$
-Somit lautet das Zerfallsgesetz in der $e^{-\lambda}$-Form:
-$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
-d)
-Gefragt ist, wann $$N(t)=1 \textrm{% von }N_0$$ ist. Formulieren wir dies noch "mathematischer", so erhalten wir: $$N(t)=0.01\cdot N_0$$
-Setzen wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formel man nimmt), so erhält man:
-$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
-$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
-$$0.01=e^{-0.041\cdot t}   | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
-$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
-$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
-$$\underline{\underline{t=112.32}}$$
-A: Erst nach etwas mehr als $112$ Stunden sind $99 \%$ der Anfangsmenge zerfallen.
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
+<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
+<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0
 </div>
 </div>
-</div>
 </div>
+</div>
-{| border ="1"
+== Weitere Beispiele ==
-|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke: $\ \ \  \  \ \     $    ''' </p>
+=== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ===
+Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.
-|
+<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />
-* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.
-* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$.
-|
-|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|600px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]]
-|}
-<br>
 <br>
-=== Übungsaufgaben ===
+=== Matura-Beispiele ===
-Weitere [https://www1.vobs.at/maturawiki/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [https://www1.vobs.at/maturawiki/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].
+Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
-<br>
-<br>
-<!-- == Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
-=== Definition und Verwendung===
-=== Musterbeispiel ===
--->
-<!-- == Beschränktes und Logistisches Wachstum ==
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BPilze%2A%3Bd%3BA_382%3B1145%3B&l=n  Pilze* d1) ] <br/>
--->
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BNachhaltige%20Entwicklungsziele%2A%3Bc%3BA_374%3B1109%3B&l=n  Nachhaltige Entwicklungsziele* c1) ] <br/>
-{| align="right"
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BKunststoff%2A%3Bb%3BA_368%3B1089%3B&l=n  Kunststiff* b2) ] <br/>
-| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink: Matura-Aufgaben |$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Ba%3BB_640%3B1078%3B&l=n  Weltbevölkerung* a1) ] <br/>
-|}
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BK%C3%A4se%20%2A%3Ba%3BA_341%3B1009%3B&l=n  Käse* a1) ] <br/>
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BRaucherentw%C3%B6hnung%20%2A%3Bb%3BA_338%3B993%3B&l=n  Raucherentwöhnung* b1) ] <br/>
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenblumen%20%2A%3Bb%3BA_329%3B952%3B&l=n  Sonnenblumen* b1) ] <br/>
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BObst%20%2A%3Bc%3BA_320%3B933%3B&l=n  Obst* c1) ] <br/>
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BWinterdienst%20%2A%3Bc%3BA_315%3B916%3B&l=n  Winterdienst* c1) ] <br/>
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BDesinfektion%20%2A%3Ba%3BB_530%3B903%3B&l=n  Desinfektion* a1) ] <br/>
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teila%3BSonnenlicht%20und%20Vitamin%20D%20%2A%3Bb%3BA_300%3B864%3B&l=n  Sonnenlicht und Vitamin D* b1) ] <br/>
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BStreaming%20%2A%3Ba%3BB_501%3B851%3B&l=n  Streaming* a1) ] <br/>
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BSozialausgaben%20%281%29%20%2A%3Bb%3BB_481%3B813%3B&l=n  Sozialausgaben (1)* b1) ] <br/>
 = Matura-Aufgaben =
@@ Zeile 828: / Zeile 772: @@
 = W1 und W2: beschränkte Modelle =
-Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)
+Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>
-== blablabla ==
+'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
+* Abkühlung eines Tees
+* Erwärmung von Schokoladeneis
+* Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
+* Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule
+== Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme==
+=== Funktionsgleichung ===
+In der [https://aufgabenpool.at/amn/gk/srdp_am_ma_formelsammlung.pdf Formelsammlung] findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum.
+{{Vorlage:Definition |1=
+Es gilt:
+* $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen)
+* $0<a<1$
+* $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ <br/><br/>
+Das '''beschränkte Wachstum''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. <br/><br/>
+Die '''beschränkte Abnahme''' wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. <br/> $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $. <br/><br/>
+}}
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
+<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:'''  </span> [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Betragsfunktion Betrag einer Zahl $|x|$ ] </span>
+<div class="mw-collapsible-content">
+* Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
+* Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
+* Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der '''Abstand der Zahl $x$ zu $0$''' auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
+* z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
+</div>
+</div>
+=== Graph ===
+[[Datei:beschränkte Zunahme.png|thumb|links|410px|beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)]] [[Datei:beschränkte Abnahme.png|thumb|rechts|445px|beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)]]
+<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
+'''Aufgabe:''' Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst. <br/>
+Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [https://www.geogebra.org/m/qxxgqd4t auf diesen Link ]. <br/>
+ {{#widget:Iframe
+ |url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/dstgeupx/width/1472/height/872/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false
+ |width=  883
+ |height=  523
+ |border=0
+ }}
+{{Vorlage:Merke|1=  $N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.
+}}
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
+<span style="color:#A020F0> <span style="color:#228B22"> '''WH:'''  </span> Asymptote </span>
+<div class="mw-collapsible-content"> Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.
+</div>
+</div>
+'''Aufgabe:''' Versuche es selbst in GeoGebra:
+# Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
+# Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
+# Gib im CAS-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion)'' ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
+#Gib im Algebra-Fenster den Befehl ''Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert)'' ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
+::- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
+<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert. </span>
+<div class="mw-collapsible-content">
+Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$). <br/>
+Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
+<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
+<div class="mw-collapsible-content">
+Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, <br/>
+<span style="color:#6495ED"> z.B. $a=0,3$: <br/>
+$0,3^1=0,3 $ <br/>
+$0,3^2=0,09$<br/>
+$0,3^5=0,00243 $<br/>
+$0,3^{10}=0,0000059049$<br/>
+usw. </span>
+Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$
+</div>
+</div>
+</div>
+</div>
+<br/>
+=== Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert ===
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
+<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Weltbevölkerung c1)'' </span>
+<div class="mw-collapsible-content">
+Angabe
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
+<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
+<div class="mw-collapsible-content"> blabla
+<br />
++ GG-Screenshot + Video?
+</div>
+</div>
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
+<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
+<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0
+</div>
+</div>
+</div>
+</div> <br/>
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
+<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''Videoplattform c1)'' </span>
+<div class="mw-collapsible-content">
+Angabe
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
+<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
+<div class="mw-collapsible-content"> blabla
+<br />
++ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|
+</div>
+</div>
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
+<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
+<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0
+</div>
+</div>
+</div>
+</div> <br/>
+Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BWeltbev%C3%B6lkerung%2A%3Bc%3BB_640%3B1078%3B&l=n  Weltbevölkerung* c1) ] <br/> Begründung zur Asymptote
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Bc%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* c1) ] <br/> Anfangswert und Schranke einzeichnen
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3B%C3%96ffentlicher%20Verkehr%20in%20Wien%20%2A%3Bb%3BB_515%3B874%3B&l=n Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)] <br/> zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BK%C3%BCchenger%C3%A4t%20%2A%3Ba%3BB_557%3B943%3B&l=n Küchengerät* a1)] <br/> zum Anfangswert argumentieren
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BTrinkflaschen%20%2A%3Bc%3BB_580%3B976%3B&l=n Trinkflaschen* c2)] <br/> Anfangswert angeben
+<br/>
+== Funktionsgleichung aufstellen ==
+Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: [https://3.vobs.at/maturawiki/index.php/Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Wiederholung Wiederholung] <br/>
+Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).
+{{Vorlage:Merke|1=  Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.}}
+=== Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung ===
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
+<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel:''' Matura-Beispiel ''xy c1)'' </span>
+<div class="mw-collapsible-content">
+Angabe
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
+<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>
+<div class="mw-collapsible-content"> blabla
+<br />
++ GG-Screenshot + Video?
+</div>
+</div>
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:990px">
+<span style="color:#A020F0> '''Quelle:''' </span>
+<div class="mw-collapsible-content"> Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0
+</div>
+</div>
+</div>
+</div>
+Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BVideoplattform%2A%3Ba%3BB_675%3B1137%3B&l=n Videoplattform* a1)] <br/> ein Parameter ermitteln
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Online-Shopping* b1)] <br/> ein Parameter ermitteln
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BOnline-Shopping%20%2A%3Bb%3BB_596%3B1004%3B&l=n Küchengerät* a2)] <br/> ein Parameter ermitteln
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Thermometer* b)] <br/> zwei Parameter ermitteln
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BThermometer%20%2A%3Bb%3BB_540%3B914%3B&l=n Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)] <br/> zwei Parameter ermitteln
 = W1 und W2: logistisches Modell =
-Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)
+Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK) <br/>
-== blablabla ==
+'''Aufgabe:''' Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
+* Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
+* Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
+* Entwicklung der Weltbevölkerung
+* Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
+* Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App
+== logistisches Wachstum ==
+=== Funktionsgleichung ===
+asdf
+=== Graph ===
+asdf
+==== Matura-Beispiele zur Schranke ====
+Du kannst auch den Titel der Aufgabe im [https://www.aufgabenpool.at/amn/index.php?id=AM  Aufgabenpool ] im Feld '''Volltext-/ ID-Suche''' eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
+* [https://aufgabenpool.at/amn/php/beamer.php?coll=teilb1%3BKraftfahrzeug-Bestand%20%2A%3Bb%3BB_607%3B1020%3B&l=n  Kraftfahrzeug-Bestand* b2) ] <br/>
+== Funktionsgleichung aufstellen ==
+asdf
 = W1- und W2-Matura-Aufgaben =
@@ Zeile 843: / Zeile 1.023: @@
 Mit dem Deskriptor '''B_W_3.5''' kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.
-[[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
+<span style="color:#A020F0> ''
+Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
+'' </span>
+<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anleitung_Aufgabenpool.png|left|800px]]
 <br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
-Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen eine Funktion von beschränkten sowie logistische Modelle verwendet wird. Dabei wird aber lediglich mit Technologieeinsatz (z.B. GeoGebra) gerechnet und der Art der Funktion spielt weniger eine Rolle. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.
+</div>
+</div>
-[[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]
-<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
+Zudem kannst du mit dem Schlagwort '''Exponentialgleichungen''' nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px">
+<span style="color:#A020F0> ''
+Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
+'' </span>
+<div class="mw-collapsible-content"> [[Datei:Lernpfad4_Anteiltung_Aufgabenpool_2.png|left|800px]]
+<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
+</div>
+</div>
 == Spezifische Aufgaben ==

Wachstums- und Zerfallsprozesse: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 22. September 2026, 10:36 Uhr

Grundbegriffe

Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$

Definition und Verwendung

Übungsaufgaben

Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$

Definition und Verwendung

Verdoppelungszeit

Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum

Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$

Halbwertszeit

Übungsaufgaben

Weitere Beispiele

Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung

Matura-Beispiele

Vermischte Beispiele

Inhaltsverzeichnis

Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme

Funktionsgleichung

Graph

Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert

Funktionsgleichung aufstellen

Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung

Inhaltsverzeichnis

logistisches Wachstum

Funktionsgleichung

Graph

Matura-Beispiele zur Schranke

Funktionsgleichung aufstellen

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