|
|
| Zeile 80: |
Zeile 80: |
| | == Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte == | | == Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte == |
| | | | |
| − | [[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
| + | {{:Extremstellen}} |
| − | $x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | {| border ="1" | + | |
| − | | '''Definition:'''
| + | |
| | | | |
| − | | '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | '''Formale Definition''':
| |
| − | Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)
| |
| − |
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
| |
| − | |}
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | [[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]
| |
| − |
| |
| − | Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
| |
| − | Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).
| |
| − |
| |
| − | Somit erhalten wir...
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | === Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
| |
| − | {| border="1" align="center"
| |
| − | |
| |
| − | {|
| |
| − | |
| |
| − | * $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| |
| − | | $\Rightarrow\ \ \ \ $
| |
| − | | $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| |
| − | | $\Rightarrow\ \ \ \ $
| |
| − | | $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f
| |
| − |
| |
| − | |-
| |
| − |
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| |
| − | | $\Rightarrow\ \ \ \ $
| |
| − | | dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
| |
| − | |}
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:
| |
| − |
| |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| |
| − |
| |
| − | <span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>
| |
| − |
| |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| |
| − | [[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
| |
| − | Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | {| border="0" align="center"
| |
| − | |-
| |
| − | |$f'(x)=3x^2$
| |
| − | $0=3x^2$
| |
| − |
| |
| − | $\rightarrow x=0$
| |
| − | |
| |
| − | $\ $ und $\ \ \ \ $
| |
| − | |
| |
| − | $f''(x)=6x$
| |
| − |
| |
| − | $f''(0)=0$
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | === Musterbeispiel ===
| |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| |
| − |
| |
| − | <span style="color:#A020F0> '''Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>
| |
| − |
| |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| |
| − | '''Lösung:'''
| |
| − | Zuerst bestimmen wir die 1. Ableitung $f'(x)$ und die zweite Ableitung $f''(x)$:
| |
| − | $$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
| |
| − | $$f'(x)=x^2-8x+7$$
| |
| − | $$f''(x)=2x-8$$
| |
| − |
| |
| − | Nun setzen wir die 1. Ableitung 0 (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt 0 ist):
| |
| − | $$0=x^2-8x+7$$
| |
| − | $$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7}}{2}$$
| |
| − | $$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
| |
| − | $$x_1=1$$
| |
| − | $$x_2=7$$
| |
| − |
| |
| − | [[Datei:Extremwerte.png|thumb|right|300px|Graph mit Hoch- und Tiefpunkt]]
| |
| − |
| |
| − | Somit haben wir 2 '''mögliche Extremstellen''' gefunden. Nun müssen wir noch überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte (oder weder noch) handelt. Hierzu setzen wir $x_1=1$ und $x_2=7$ in die zweite Ableitung ein:
| |
| − |
| |
| − | $f''(1)=2\cdot 1-8=-6<0 \rightarrow $ rechtsgekrümmt $\rightarrow$ Hochpunkt
| |
| − |
| |
| − | $f''(7)=2\cdot 7-8=+6>0 \rightarrow $ linksgekrümmt $\rightarrow$ Tiefpunkt
| |
| − |
| |
| − | Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ Tiefpunkt befindet.
| |
| − | Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte '''in die ursprüngliche Funktion''' $f(x)$ ein:
| |
| − |
| |
| − | $f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow H(1|33.33)$
| |
| − |
| |
| − | $f(7)=\frac{7^3}{3}-4\cdot 7^2+7\cdot 7+30=-2.67\rightarrow T(7|-2.67)$
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | </div>
| |
| − | <br>
| |
| | <br> | | <br> |
| | <br> | | <br> |
| Zeile 242: |
Zeile 87: |
| | | | |
| | == Wendepunkt und Wendetangente == | | == Wendepunkt und Wendetangente == |
| − | [[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
| + | {{:Wendepunkt und Wendetangente}} |
| − | {| border="1" | + | |
| − | '''Definition'''
| + | |
| − | |
| + | |
| − | * Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | * Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | === Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
| + | |
| − | {| border="1" | + | |
| − | |-
| + | |
| − | |Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
| + | |
| − | # $f''(x_0)=0$ UND
| + | |
| − | #$f'''(x)\ne 0$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | === Video ===
| + | |
| − | {| align="center"
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |
| + | |
| − | {{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | === Musterbeispiel ===
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> '''Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> '''1. Wendepunkt''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Zuerst bestimmen wir die zweite Ableitung $f''(x)$ und die dritte Ableitung $f'''(x)$:
| + | |
| − | $$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
| + | |
| − | $$f'(x)=x^2-8x+7$$
| + | |
| − | $$f''(x)=2x-8$$
| + | |
| − | $$f'''(x)=2$$
| + | |
| − | | + | |
| − | Nun setzen wir '''die zweite Ableitung''' 0:
| + | |
| − | | + | |
| − | $$f''(x)=2x-8$$
| + | |
| − | $$0=2x-8$$
| + | |
| − | $$x=4$$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Somit ist die Stelle $x=4$ ein '''möglicher''' Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den x-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Wendepunkt-1.png|thumb|right|300px|Graph mit Wendepunkt]]
| + | |
| − | | + | |
| − | $$f'''(x)=2$$
| + | |
| − | Da die dritte Ableitung konstant 2 ist (d.h. für '''alle''' x den Wert 2 hat), gilt insbesondere
| + | |
| − | $$f'''(4)=2\ne 0$$
| + | |
| − | Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir '''in die ursprüngliche Funktion $f(x)'''$ ein, und erhalten:
| + | |
| − | $$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$
| + | |
| − | | + | |
| − | Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $W(4|15.33)$.
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> '''2. Wendetangente''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Um die Wendetangente $t_W: y=k\cdot x+d$ zu berechnen, brauchen wir zwei Sachen:
| + | |
| − | # den Wendepunkt (diesen haben wir schon zuvor berechnet: $W(4|15.33)$)
| + | |
| − | # die Steigung der Wendetangente. Diese berechnen wir jetzt:
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Die Steigung $k$ der Wendetangente ist ident mit der Steigung der Funktion am Wendepunkt. Somit müssen wir die Steigung von $f(x)$ beim Wendepunkt $W(4|15.33)$ berechnen und dies macht man '''immer mit der 1. Ableitung $f'(x)$''':
| + | |
| − | | + | |
| − | $$f'(x)=x^2-8x+7$$
| + | |
| − | $$f'(4)=4^2-8\cdot 4+79$$
| + | |
| − | $$f'(4)=-9$$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Somit ist $k=-9$
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Wendetangente.png|thumb|right|250px|Graph mit Wendepunkt und Wendetangente]]
| + | |
| − | Um das $d$ zu berechnen, setzen wir nun $k=-9$ und die Koordinaten des Wendepunktes $W(\underbrace{4}_{x}|\underbrace{15.33}_{y})$ in die $y=kx+d$-Darstellung und erhalten:
| + | |
| − | $$y=kx+d$$
| + | |
| − | $$15.33=-9\cdot 4+d$$
| + | |
| − | $$d=51.33$$
| + | |
| − | | + | |
| − | Somit lautet die Gleichung der Wendetangente:
| + | |
| − | $$\underline{\underline{t_W: \ y=-9\cdot x+51.33}}$$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| | | | |
| | == Zusatzvideos zur Vertiefung == | | == Zusatzvideos zur Vertiefung == |
| Zeile 405: |
Zeile 122: |
| | | | |
| | [[Kategorie: Differenzieren]] | | [[Kategorie: Differenzieren]] |
| − | | + | [[Kategorie: Kurvendiskussionen]] |
| − | == Beispiele ==
| + | |
Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..
